安徽省阜阳市临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题（含解析）

高二数学试题(120分钟150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知点P在以F1,F2分别为左、右焦点的双曲线x2-y28=1上,若|PF2|=8,则|PFA.6 B.10 C.2 D.6或102.已知平面α的一个法向量为n=(-4,-2,4),点A(1,-3,0)在平面α内,则点P(0,1,4)到平面α的距离为A.1 B.23 C.2 D.3.已知p:直线ax+5y-4=0与直线2x+(a+3)y+2=0平行,q:a=-5,则q是p的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱AD上一点,DE=23DA,F是棱D1C上一点,FC=14D1C,则异面直线A1E与A.530 B.C.1530 D.5.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=4,BC=3,AC=5,D为棱AB的中点,直三棱柱的各顶点在同一球面上,且球的表面积为34π,则异面直线A1D和B1C所成的角的余弦值为A.21313 BC.32626 D6.在手工课上,王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型(如图),其俯视图可近似看成是两个大小不同,扁平程度相同的椭圆.已知大椭圆的长轴长为50cm,短轴长为48cm,小椭圆的短轴长为16cm,则小椭圆的长轴长为A.503cm B.253cm C.256cm D.7.已知抛物线y2=2px(p>0)上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1,过点F且斜率存在的直线交抛物线C于A,B两点,O为坐标原点,直线AO,BO分别与直线x=-p相交于不同的M,N两点,则S△A.13 B.14 C.16 8.已知双曲线C:y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线均与圆(x-b)2+y2=A.3 B.2 C.3 D.4二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.A.若p是平面α的一个法向量,A,B是直线b上不同的两点,则b∥α的充要条件是p·AB=0B.若对空间中任意一点O和不共线的三点A,B,C,有OP=16OA+13OB+12OC,则P,C.已知{a,b,c}是空间的一个基底,若m=a+c,则{a,b,m}也是空间的一个基底D.若直线l的一个方向向量为e=(1,0,3),平面α的一个法向量为n=-2,0,23,则直线l⊥α10.已知双曲线C:x2a2-y2=1(a>0),若圆M:(x-6)2+y2=1与双曲线CA.双曲线C的渐近线方程为x±5y=0B.双曲线C的实轴长为6C.双曲线C的离心率e=2D.过双曲线C的右焦点的直线与圆M交于A,B两点,则弦长|AB|=211.已知实数x,y满足x2+y2-2x-4y+1=0,则下列结论正确的是A.圆:x2+y2-2x-4y+1=0的半径为2B.3x+4y的最大值为14C.yx的取值范围为-∞,-43∪[0,+∞)D.x2+y2三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知椭圆C:x28+y26=1,过点P(2,1)的直线交椭圆C于A,B两点,若P为AB的中点,则直线13.已知a=(2,-1,λ),b=(-1,4,-2),c=(1,3,1),若a,b,c三向量共面,则实数λ=.

14.已知双曲线C:y2a2-x2b2=1(b>a>0)的上、下焦点分别为F1,F2,两条渐近线的夹角的正切值为43,且点P(6,5)在双曲线C上,则△四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)如图,在空间直角坐标系中,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E1是线段A1B1上靠近点A1的四等分点,F1在棱C1D1上,且D1F1=3F1C1.(1)求向量BE1,D(2)求BE1在D16.(15分)已知F1(-c,0),F2(c,0)是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,圆F2:(x-c)2+y2=16与双曲线C的一条渐近线切于点P,过F1的直线l与C交于A,B两个不同的点.若双曲线C(1)PF1的长;(2)当A,B都在双曲线C的左支上时,直线l的斜率的取值范围.17.(15分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,E为棱BB1上靠近B点的四等分点,AC=1,CC1=BC=4.(1)证明:AC⊥C1E.(2)求平面AEC1与平面ABC夹角的余弦值.18.(17分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为24,过点F2且斜率不为0的直线l交椭圆C于A,B两点,当点F1到直线l(1)求椭圆C的标准方程;(2)若BF2=32F2A,求19.(17分)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点F到其准线的距离为4.(1)求抛物线C的标准方程.(2)设点M(x0,y0)是抛物线C上一点,则过点M的切线的斜率k=1px0.若过焦点F的直线l与抛物线C交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,且抛物线C在A,B两点处的切线分别交x轴于P,Q两点①求|AF|(用x1表示);②求|AP|·|BQ|的取值范围.

参考答案1.D因为双曲线的方程为x2-y28=1,所以a=1,c=1+8=3.已知|PF2|=8,由双曲线的定义可得||PF1|-|PF2||=2a=2,即||PF1|-8|=2,所以|PF1|=6或|PF1|=10.由于c-a=2,故|PF1|=6或2.C由题意知AP=(-1,4,4),则AP·n=4-8+16=12,|n|=(-4)所以点P到平面α的距离d=|AP·n3.A直线ax+5y-4=0与直线2x+(a+3)y+2=0平行,则a(a+3)=10,2a≠-8,解得a=-5或a=2,所以p等价于a=-5或4.A不妨设AB=1,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(1,0,1),E23,0,0,D1(0,0,1),B(1,1,0),C(0,1,0),所以A1E=-13,0,-1,BD1=(-1,-1,1),D1C=(0,1,-1),所以BF=BD1+D1F=BD1+34D1C=-1,-14,14,所以cos<BF,A5.C因为直三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点在同一球面上,所以球心到底面的距离d=BB12.又因为AB=4,BC=3,AC=5,所以AB2+BC2=AC2,所以AB⊥BC,所以底面外接圆的半径r=52.又因为球的表面积为34π,所以球的半径R=342,而R2=r2+d2,所以BB1=3.以B1为原点,B1C1为x轴,B1A1为y轴,B1B为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则B1(0,0,0),A1(0,4,0),C(3,0,3),D(0,2,3),所以B1C=(3,0,3),A1D=(0,-2,3),所以|B1C|=32,|A1D|=13,B1C·A1D=9.设异面直线A1D和B1C所成的角为θ,则6.A由大椭圆和小椭圆的扁平程度相同,可得两椭圆的离心率相同.由大椭圆的长轴长为50cm,短轴长为48cm,可得焦距长为14cm,故离心率e=725,所以小椭圆的离心率e=725.小椭圆的短轴长为16cm,即2b=16cm.由e=1-b2a2,可得a=257.B由题意知抛物线y2=2px(p>0)上任意一点到焦点F的距离与它到直线x=-1的距离相等,因此-p2=-1,p=2,抛物线的方程为y2=4x.设直线AB的方程为y=k(x-且M(-2,yM),N(-2,yN),A(x1,y1),B(x2,y2),由y=k(x-1),y2=4x,得k2x2-(4+2k2)x+k2=0,所以Δ=(4+2k2)2-4k2×k2=16k2+16>0,k≠0,则x1x2=1,所以S△ABOS△MNO=8.C双曲线C:y2a2-x2b2=1的渐近线为y=±abx,因为两条渐近线均与圆(x-b)2+y2=b29相切,所以点(b,0)到直线y=abx的距离等于半径b3,即d=a1+a9.BC若p是平面α的一个法向量,直线b上有不同的两点A,B,当b⊂α时,即使p·AB=0,也不能说明b∥α,故选项A错误;因为16+13+12=1,所以选项B正确;{a,b,c}是空间的一个基底,m=a+c,所以{a,b,a+c}向量两两之间不共线,所以{a,b,m}也是空间的一个基底,故选项C正确;因为直线l的方向向量为e=(1,0,3),平面α的法向量为n=-2,0,23,e·n=-2+0+2=0,所以直线l∥α或l⊂α,故选项D10.AD双曲线的渐近线方程为x±ay=0,圆M的圆心为(6,0),半径为1,所以圆心到渐近线的距离d=61+a2=1,得a=5(负值舍去),所以双曲线的渐近线方程为x±5y=0,故选项A正确;双曲线C的方程为x25-y2=1,双曲线C的实轴长为25,故选项B错误;c2=a2+b2=5+1=6,所以双曲线的离心率e=ca=65因为双曲线的右焦点是圆M的圆心,所以弦长为直径,所以|AB|=2,故选项D正确.11.ACD设3x+4y=z,化为3x+4y-z=0,可知直线3x+4y-z=0与圆(x-1)2+(y-2)2=4有交点,圆的圆心坐标为(1,2),半径为2,有|3+8-z|5≤2,解得1≤z≤21,可得3x+4y的最小值为1,最大值为21,故选项A正确,选项B错误;设k=yx,化为kx-y=0,可知直线kx-y=0与圆(x-1)2+(y-2)2=4有交点,有|k-2|k2+1≤2,解得k≥0或k≤-43,故yx的取值范围为-∞,-43∪[0,+∞),故选项C正确;x2+y2的几何意义为坐标原点到圆(x-1)2+(y-2)2=4上任意一点的距离,圆(x-1)2+(y-2)12.3x+2y-8=0设点A(x1,y1),B(x2,y2),由中点坐标公式可得x1+x22=2,y1+y22=1,所以x1+x2=4,y1+y2=2.由x128+y126=1,x228+y22613.3因为a,b,c三向量共面,故存在实数k,μ使得a=kb+μc,所以(2,-1,λ)=k(-1,4,-2)+μ(1,3,1)=(-k+μ,4k+3μ,-2k+μ),则2=-k+μ,-1=4k14.245由题意可知双曲线C的渐近线方程为y=±abx,设其中一条渐近线y=abx的倾斜角为θ,因为两条渐近线的夹角的正切值为43,则tan2θ=43,即tan2θ=2tanθ1-tan2θ=43,所以tanθ=12或tanθ=-2(舍去).当tanθ=12时,ab=tanθ=12,即b=2a,则双曲线C的方程可化为y2a2-x24a2=4y2-x24a2=1,即4y2-x2=4a2,代入P(6,5),得100-36=4a2,解得a=4,15.解:(1)由题意可得B(1,1,0),E11,14,1,D(0,0,0),F10,34,1,故BE1=0,-34,1,DF1=0,34(2)由(1)可知BE1=0,-34,1,DF1=0,34,1,所以|DF1|=02+(34)

2+12=54,BE1·DF|BE1|·cos<BE1,DF1>·DF1|DF1|=BE1·DF1|DF1|2·DF16.解:(1)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=bax,即bx-ay=0,则点F2(c,0)到直线bx-ay=0的距离为|bc|b2+a2=b.因为以F2为圆心的圆与l相切于点P,所以|PF2|=b=4.因为e=53,即ca=53,所以c=53a.又a2+b2=c2,即a2+16=259a2,所以a=3,c=5.如图,在Rt△PF2中,|F1F2|=2c=10,|PF2|=4,|PF1|2=|F1F2|2+|PF2|2-2|F1F2|·|PF2|cos∠PF2F1=100+16-2×10×4×45=52,所以|PF1|=213(2)当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x+5),设点A(x1,y1),B(x2,y2),联立y=k(x+5),x29-y216=1,可得(16-9k2)x2-90k2x-225k2-144=0.因为直线l与双曲线C交于左支的两点,所以16-9k2≠0Δ=8100k17.解:(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,AC⊂平面ABC,则CC1⊥AC.又AC⊥BC,CC1∩BC=C,CC1,BC⊂平面BB1C1C,因此AC⊥平面BB1C1C.又C1E⊂平面BB1C1C,所以AC⊥C1E.(2)依题意,CC1⊥平面ABC,AC⊥BC,分别以CA,CB,CC1所在直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.因为E为棱BB1上靠近B点的四等分点,AC=1,CC1=BC=4,则A(1,0,0),B(0,4,0),B1(0,4,4),E(0,4,1),C1(0,0,4),所以AC1=(-1,0,4),AE=(-1,4,1).设平面AEC1的一个法向量为m=(x,y,z),则m·AC1=-x+4z=0,m·AE=-x+4y+z=0,令z=1,得m=4,34,1,显然平面ABC的一个