2026年高考数学复习讲义（新高考）第7节 数列的重构问题（原卷版）

第六章数列第7节数列的重构问题学习导航站核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点题型一增项问题★★★☆☆题型二减项问题★★★☆☆题型三公共项问题★★★☆☆题型四区间取值数列★★★☆☆（星级越高，重要程度越高）限时【变式【变式训练】】挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯【题型分析】数列的重构问题是指在一个数列中通过增项、减项或提取两个数列的公共项,或者把数列的项限定在某一范围内重新构造一个新的数列,求解此类问题要清楚新数列的项、项数与原数列的联系.题型一增项问题★★★☆☆【典例】1已知公差不为0的等差数列{an}中,a1=1,a4是a2和a8的等比中项.(1)求数列{an}的通项公式;(2)保持数列{an}中各项先后顺序不变,在ak与ak+1(k=1,2,…)之间插入2k,使它们和原数列的项构成一个新的数列{bn},记{bn}的前n项和为Tn,求T20的值.【变式训练】1已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n+1.(1)求{an}的通项公式;(2)保持{an}中各项先后顺序不变,在ak与ak+1之间插入k个1,使它们和原数列的项构成一个新的数列{bn},记{bn}的前n项和为Tn,求T100的值(用数字作答).题型二减项问题★★★☆☆【典例】2已知等比数列{an}的前n项和Sn=2n+r,其中r为常数.(1)求r的值;(2)设bn=2(1+log2an),若数列{bn}中去掉与数列{an}相同的项后余下的项按原来的顺序组成数列{cn},求c1+c2+c3+…+c100的值.【变式训练】2(2025·汕头模拟)已知数列{an}的前n项和是Sn,a1=1,点n,Snn(n∈N*)在斜率为12的直线上,数列{an},{bn}满足a1b1+a2b2+…+anbn=2+(n-(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)若数列{an}中去掉和数列{bn}中相同的项后,余下的项按原来的顺序组成数列{cn},且数列{cn}的前n项和为Tn,求T100.题型三公共项问题★★★☆☆【典例】3已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+n2,{bn}为等比数列,公比为2,且b1,b2+(1)求{an}与{bn}的通项公式;(2)把数列{an}和{bn}的公共项由小到大排成的数列记为{cn},求数列{cn}的前n项和Tn.【变式训练】3(2025·泉州质检)已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=4,b1=2,a2=2b2-1,a3=b3+2.(1)求{an}和{bn}的通项公式;(2)数列{an}和{bn}中的所有项分别构成集合A,B,将A∪B的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{cn},求数列{cn}的前60项和S60.题型四区间取值数列★★★☆☆【典例】4(2025·无锡调研)已知Sn是等差数列{an}的前n项和,数列{bn}满足bn=n-(-1)nSn,a1+b1=3,a2-b2=5.(1)求数列{bn}的通项公式;(2)设数列{bn}的前n项和为Tn.①求T10.②若集合A={n|n≤100且Tn≤100,n∈N*},求集合A中所有元素的和.【变式训练】4已知Sn为等差数列{an}的前n项和,且a1=1,S7=28,记bn=[lgan],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg99]=1.(1)求b1,b11,b101;(2)求数列{bn}的前1000项和.【限时【变式训练】】（限时：30分钟）1.已知{an}是首项为2,公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1=4,bn+1=3bn-2n+1.(1)证明:{bn-n}是等比数列,并求{an},{bn}的通项公式.(2)若数列{an}与{bn}中有公共项,即存在k,m∈N*,使得ak=bm成立.按照从小到大的顺序将这些公共项排列,得到一个新的数列,记作{cn},求c1+c2+…+cn.2.(2025·武汉质检)设等比数列{an}的首项为a1=2,公比为q(q为正整数),且满足3a3是8a1与a5的等差中项;数列{bn}满足2n2-(3+bn)n+32bn=0(n∈N*(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)对每个正整数k,在ak与ak+1之间插入bk个2,得到一个新数列{cn}.设Tn是数列{cn}的前n项和,试求T3.设数列{an}的前n项和为Sn=(n-1)2n+1+2,n∈N*.(1)求{an}的通项公式;(2)若bn=ann,抽去数列{bn}中的第1项,第4项,第7项,…,第3n-2项,余下的项顺序不变,组成一个新数列{cn},求{cn}的前2026项和T24.(2025·成都诊断)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且a1为a