2026年高考数学复习讲义（新高考）第八章 第5节 椭圆（第一课时）（原卷版）

第八章平面解析几何第5节椭圆第一课时学习导航站核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点知识点1椭圆的定义★★★☆☆知识点2椭圆的标准方程和几何性质★★★☆☆（星级越高，重要程度越高）限时训练挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯【知识梳理】知识点1椭圆的定义平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.注：若集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a、c为常数，则有如下结论：(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段F1F2；(3)若a＜c，则集合P为空集.知识点2椭圆的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝eq\f(c,a)∈(0,1)a、b、c的关系c2＝a2－b2【名师点拨】1．a＋c与a－c分别为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值；a与b分别为椭圆上的点到原点距离的最大值和最小值．2．过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦|AB|＝eq\f(2b2,a)，称为通径．3．若过焦点F1的弦为AB，则△ABF2的周长为4a.4．e＝eq\r(1－\f(b2,a2)).离心率e越大，椭圆越扁；离心率e越小，椭圆越圆．5．椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的分母较大，椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的分母较大．6．AB为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则(1)弦长|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|；(2)直线AB的斜率kAB＝－eq\f(b2x0,a2y0).7．若M、N为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)长轴端点，P是椭圆上不与M、N重合的点，则kPM·kPN＝－eq\f(b2,a2).【考向核心题型】1.过点A(2,0)且与圆x2＋y2＋4x－32＝0内切的圆的圆心的轨迹方程为.2．已知F1、F2分别是椭圆5x2＋9y2＝45的左、右焦点，P是椭圆上的动点，则|PF1|·|PF2|的最大值为9，若A(1,1)，则|PA|＋|PF1|的取值范围为.3．已知F1，F2是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且∠F1PF2＝60°.若△PF1F2的面积为3eq\r(3)，则b＝.[引申]本例2中，若将“A(1,1)”改为“A(2,2)”，则|PF1|－|PA|的最大值为，|PF1|＋|PA|的最大值为.【变式训练】(2024·江苏淮安淮阴中学期中)已知F为椭圆C：eq\f(x2,4)＋y2＝1的右焦点，P为C上一点，Q为圆M：x2＋(y－3)2＝1上一点，则|PQ|＋|PF|的最大值为(D)A．3 B．6C．4＋2eq\r(3) D．5＋2eq\r(3)考向二椭圆的标准方程——师生共研1.短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为eq\r(3)的椭圆的标准方程为.2．经过点P(－2eq\r(3)，1)，Q(eq\r(3)，－2)两点的椭圆的标准方程为.3．与椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1有相同离心率，且经过点(2，－eq\r(3))的椭圆的标准方程为.4．(多选题)(2024·重庆调研)已知椭圆C：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1的左、右焦点分别是F1，F2，左、右顶点分别是A1，A2，点P是椭圆C上异于A1，A2的任意一点，则下列说法正确的是()A．|PF1|＋|PF2|＝4B．若△F1PF2的面积为2eq\r(7)，则点P的横坐标为±eq\f(4,3)eq\r(5)C．存在点P满足∠F1PF2＝90°D．直线PA1与直线PA2的斜率之积为－eq\f(9,16)[引申]若将本例3中“离心率”改为“焦点”，则椭圆的标准方程为.【名师点拨】1．求椭圆标准的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a>|F1F2|这一条件．2．用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤：(1)作判断：根据条件判断焦点的位置；(2)设方程：根据焦点位置，设相应的椭圆标准方程．焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠0)；(3)找关系：根据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组；(4)求解，得方程．可概括为先“定位”，再“定量”．3．椭圆系方程的应用(1)与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)有相同的离心率椭圆系方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝λ(λ>0)．(2)与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)共焦点的椭圆系方程为eq\f(x2,a2＋k)＋eq\f(y2,b2＋k)＝1(a>b>0，k＋b2>0)，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便．【变式训练】1．(多选题)若方程eq\f(x2,3－t)＋eq\f(y2,t－1)＝1所表示的曲线为C，则下面四个说法中正确的是()A．若1<t<3，则C为椭圆B．若C为椭圆，且焦点在y轴上，则2<t<3C．曲线C可能是圆D．若C为双曲线，则t<12．(2022·全国甲卷)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(1,3)，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若eq\o(BA1,\s\up6(→))·eq\o(BA2,\s\up6(→))＝－1，则C的方程为()A.eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,16)＝1 B．eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1C.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1 D．eq\f(x2,2)＋y2＝1考向三椭圆的几何性质——多维探究角度1椭圆焦点、顶点、焦距、长轴、短轴1.(2025·安徽蚌埠质检)若椭圆C：eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,2)＝1的离心率为eq\f(\r(6),3)，则椭圆C的长轴长为()A．6 B．eq\f(2\r(6),3)或2eq\r(6)C．2eq\r(6) D．2eq\r(2)或2eq\r(6)角度2求椭圆的离心率1．(2024·江西名校教研联盟开学考)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的焦距为2，且ab＝eq\r(6)，则C的离心率为()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(\r(2),2) D．eq\f(\r(3),3)2．(2025·江苏南通如皋中学测试)F1、F2分别是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左右焦点，过F2作直线交椭圆于A、B两点，已知AF1⊥BF1，∠ABF1＝30°，则椭圆的离心率为()A．eq\f(\r(6)－\r(2),2) B．eq\f(\r(6)－\r(3),2)C．eq\r(6)－eq\r(2) D．eq\r(6)－eq\r(3)3．(2025·山西大同调研)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点P(3c,0)作直线l交椭圆C于M，N两点，若eq\o(PM,\s\up6(→))＝2eq\o(NM,\s\up6(→))，|eq\o(F2M,\s\up6(→))|＝4|eq\o(F2N,\s\up6(→))|，则椭圆C的离心率为________.角度3求椭圆离心率的取值范围1．(2024·河南许昌中学定位考试)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)．若椭圆上存在一点P使eq\f(a,sin∠PF1F2)＝eq\f(c,sin∠PF2F1)，则该椭圆的离心率的取值范围为____________.2．(2025·山西部分学校月考)设F1、F2分别是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左右焦点，若椭圆C上存在点P，使线段PF1的垂直平分线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是()A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1)) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))【变式训练】1．(角度1)椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，点P在C上，|F2P|＝2，∠F1F2P＝eq\f(2π,3)，则C的长轴长为()A．2 B．2eq\r(3)C．2＋eq\r(3) D．2＋2eq\r(3)2．(角度2)(2025·广东三校模拟)已知点F，A分别是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点、右顶点，B(0，b)满足eq\o(FB,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，则椭圆的离心率等于()A．eq\f(\r(3)＋1,2) B．eq\f(\r(5)－1,2)C．eq\f(\r(3)－1,2) D．eq\f(\r(5)＋1,2)3．(角度3)(2024·云南昆明一中双基检测)已知点P(x0，y0)是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))≤0，则椭圆C的离心率的取值范围是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))【知识拓展】与椭圆有关的最值问题1．(2025·浙江数海漫游模拟)已知F1，F2分别为椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左右焦点，过F2的一条直线与C交于A，B两点，且AF1⊥AB，|BF2|＝1，则椭圆长轴长的最小值是()A．4eq\r(2) B．3＋2eq\r(2)C．6 D．4＋2eq\r(2)2．(2024·山东烟台、德州诊断)在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,0)，B(2,3)，向量eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))，且m－n－4＝0.若P为椭圆x2＋eq\f(y2,7)＝1上一点，则|eq\o(PC,\s\up6(→))|的最小值为()A．eq\f(4,5)eq\r(10) B．eq\r(10)C．eq\f(8,5)eq\r(10) D．2eq\r(10)【变式训练】(2024·江苏南通海安中学月考)P为椭圆C：eq\f(x2,4)＋y2＝1上一点，A(1,0)，则|PA|最小值为()A．1 B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(\r(6),3)【限时训练】（限时：60分钟）【基础必刷题】一、单选题1．(2024·四川成都七中开学考)椭圆eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,4)＝1的焦距是2，则m的值为()A．5 B．3C．5或3 D．202．(2024·福建百校联盟联考)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴长为2eq\r(3)，点M在椭圆上，若|MF|的最大值是最小值的3倍，则椭圆的焦距为()A．3 B．4C．1 D．23．(2025·辽宁葫芦岛模拟)已知椭圆G：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，A，B为G的短轴端点，P为G上异于A，B的一点，则直线AP，BP的斜率之积为()A．eq\f(3,4) B．eq\f(4,3)C．－eq\f(3,4) D．－eq\f(4,3)4．(2024·福建泉州二模)若椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,3)＝1(a>0)的离心率为eq\f(\r(2),2)，则该椭圆的焦距为()A．eq\r(3) B．eq\r(6)C．2eq\r(6)或eq\r(3) D．2eq\r(3)或eq\r(6)5．(2025·安徽重点高中联盟校摸底)已知椭圆C：eq\f(x2,λ)＋eq\f(y2,4)＝1(λ>0且λ≠4)，则“C的离心率e＝eq\f(\r(2),2)，是λ＝8”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．(2023·新课标Ⅰ卷)设椭圆C1：eq\f(x2,a2)＋y2＝1(a>1)，C2：eq\f(x2,4)＋y2＝1的离心率分别为e1，e2.若e2＝eq\r(3)e1，则a＝()A．eq\f(2\r(3),3) B．eq\r(2)C．eq\r(3) D．eq\r(6)7．(2025·河南平许济络质检)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(1,2)，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若eq\o(BA1,\s\up6(→))·eq\o(BA2,\s\up6(→))＝－2，则椭圆C的方程为()A．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1 B．eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1C．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 D．eq\f(x2,2)＋eq\f(2y2,3)＝18．(2025·广西示范性高中质检)已知椭圆M：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在M上，Q为PF2的中点，且F1Q⊥PF2，|F1Q|＝b，则M的离心率为()A．eq\f(\r(3),2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(\r(2),2)9．(2024·河南焦作期中)已知椭圆C：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的右焦点为F，点E(0,2)，点P是C上的动点，则|PF|＋|PE|的最小值为()A．5 B．10－2eq\r(5)C．10 D．10＋2eq\r(5)二、多选题10．(2024·山东临沂联考)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C上，且|PF1|的最大值为3，最小值为1，则()A．椭圆C的离心率为eq\f(1,2)B．△PF2F1的周长为4C．若∠F2PF1＝60°，则△PF2F1的面积为3D．若|PF1||PF2|＝4，则∠F2PF1＝60°11．(2025·河南许昌高级中学测试)已知F1，F2分别是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，P是椭圆C上一点，则()A．当a＝eq\r(2)b时，满足∠F1PF2＝90°的点P有2个B．△PF1F2的周长一定小于4aC．△PF1F2的面积可以大于eq\f(a2,2)D．若|PF1|≤2b恒成立，则C的离心率的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,5)))三、填空题12．(2025·湖南长沙长郡中学月考)点M在椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上，F是椭圆的一个焦点，N为MF的中点，|ON|＝3，则|MF|＝________.13．(2025·河北唐山摸底)已知椭圆C的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若△ABF为等腰三角形，则C的离心率为________.14．(2025·广东调研)已知点P在椭圆C：eq\f(x2,10)＋y2＝1上运动，D(0,6)，动点Q满足|DQ|＝eq\r(2)，则|PQ|的最大值为________.15．(2024·云南曲靖一中阶段测试)曲线eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1上点到直线x－2y＋8＝0距离的最小值为________.【巩固必刷题】1．(2025·湖南长沙雅礼中学开学考)过椭圆C：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1的中心作直线l交椭圆于P、Q两点，F是C的一个焦点，则△PFQ周长的最小值为()A．16 B．14C．12 D．102．(2024·江西五市九校联考)若点P既在直线l：x－y＋2＝0上，又在椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上，C的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2，且∠F1PF2的平分线与l垂直，则C的长轴长为()A．eq\f(\