备战2026年高考数学考试易错题（新高考）模块02 函数与导数（解析版）

模块02函数与导数

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的．

1x

1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数fxlg，则函数gxfx12x1的定义域是（）

1x

1

A．xx2或x0B．xx2

2

1

C．xx2D．xx

2

【答案】B

【分析】根据对数函数中真数大于0，二次根式下被开方数非负，求出定义域.

1x1x

【详解】要使fxlg有意义，则0，

1x1x

即1x1x0，解得1x1，所以函数fx的定义域为1,1，

1x111

要使gxfx12x1有意义，则，解得x2，

2x102

1

所以函数gx的定义域为xx2.

2

故选：B

2ax2,x1,

2．（24-25高三上·甘肃·期末）已知函数f(x)x满足x1,x2R且x1x2，

a,x1

(x2x1)[f(x1)f(x2)]0，则a的取值范围为（）

A．(0,1)B．(1,)C．(1,2]D．(0,1)(1,)

【答案】C

【分析】根据给定条件可得函数的单调性，再利用分段函数单调性，结合指数函数单调性列式求解.

【详解】依题意，函数f(x)满足x1,x2R且x1x2，x1x2fx1fx20，则f(x)是上的增函数，

�

a0

因此a1，解得1a2，

2a2a

所以a的取值范围为(1,2].

故选：C

2π3

3．（24-25高三上·黑龙江·期末）设函数fxsin2x，则曲线yfx在0,处的切线方程为（）

32

A．2x2y30B．x2y30

C．x2y30D．2x2y30

【答案】D

【分析】先求出导函数，再得出切线的斜率进而得出点斜式方程即可.

2π

【详解】由题意得fx2cos2x，

3

32π

于是当时，曲线在点0,处的切线斜率为ky2cos1，

x0x0

23

�=��

3

此时切线方程为yx0，即2x2y30.

2

故选:D.

x2

4．（24-25高三上·山东烟台·期末）函数fxxln的图象大致为（）

1x2

A．B．

C．D．

【答案】B

【分析】利用奇偶性可判断CD不符合，利用赋值法可判断AB.

2

x2222

【详解】由0，可得x1x0，所以xx10，所以0x21，

1x2

解得1x0或0x1，定义域关于原点对称，

2

xx2

又fxxln2xln2fx，故函数fx为奇函数，故排除CD；

1x1x

2

2

12

112112222

又flnln0，flnln10，

22

221232222

11

22

故B符合，A不符合.

故选：B.

0.1

5．（24-25高三上·河北保定·期末）已知acos2，blog20.7，c2，则a、b、c的大小关系为（）

A．abcB．cab

C．bacD．cba

【答案】B

【分析】利用指数函数、对数函数的单调性、余弦值的符号结合中间值法可得出a、b、c的大小关系.

ππ2π

【详解】因为余弦函数ycosx在,π上为减函数，且2，

223

2π1

则coscos20，即a0，

32

121

对数函数ylog2x为增函数，则loglog0.7log，即1b，

222222

又因为c20.10，故cab.

故选：B.

6．（2025高三·全国·专题练习）为加强环境保护，治理空气污染，某生态环境部门对某工厂产生的废气进行

kt

了监测，发现该厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量p与时间t(h)满足pp0e

（p0为初始污染物含量，k为参数）．若污染物含量达到初始含量的12.5%就达到排放标准，且在过滤的前

15个小时消除了50%的污染物，则达到排放标准至少需要（）

A．44小时B．45小时C．46小时D．47小时

【答案】B

【分析】根据条件建立方程，求出过滤过程中废气的污染物含量p，进而得出达到排放标准至少所需的时

间.

【详解】由题意，当t0时，废气的污染物含量pp0，

ln2

(10.5)ppe15k，则k，

0015

ln2

t

所以15．

pp0e

设达到排放标准至少所需的时间为t(h)，

ln2

tt

则15，化简得ln8ln2，

0.125p0p0e15

tt

即3ln2ln2，所以3，解得t45(h)．

1515

故选：B．

b

7．（24-25高三上·湖北·阶段练习）若fxx3ax2bxa27a在x1处取得极大值10，则的值为（）

a

313131

A．或B．或C．D．

222222

【答案】C

f10

【分析】求出fx，由题意可得出f110，解出a、b的值，再结合题意进行检验，即可得解.

Δ0

【详解】因为fxx3ax2bxa27a，则fx3x22axb,

又fxx3ax2bxa27a在x1处取得极大值10，

f132ab0

a2a6

f11aba27a10，解得或，

2b1b9

Δ4a12b0

当a2，b1时，fx3x34x13x1x1，

1

当x1时，fx0，当x1时，fx0，

3

则fx在x1处取得极小值，与题意不符；

当a6，b9时，fx3x212x93x1x3，

当x1时，fx0，当1x3时，fx0，

b93

则fx在x1处取得极大值，符合题意，则，

a62

故选：C.

8．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）已知函数f(x)的定义域为R，且对任意xR，满足

f(x1)f(x)x1,f(x3)f(x)3x，且f(1)0，则f(52)（）

A．651B．676C．1226D．1275

【答案】D

【分析】根据条件变形得到fx3fx3x，再结合条件求得fx3fx3x，再通过赋值求f52

的值.

【详解】由条件f(x1)f(x)x1，可知，fx2fx1x，fx3fx2x1，以上三个

式子相加得：fx3fx3x，

又fx3fx3x，所以fx3fx3x，

f4f131，f7f434，f10f737，…，f52f49349，

以上式子相加得f52f13147...491275，

所以f521275.

故选：D

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

x

9．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知函数fxx1e，则下列结论正确的是（）

1

A．fx在区间2,上单调递增B．fx的最小值为

e2

C．方程fx2的解有2个D．导函数fx的极值点为3

【答案】ABD

【分析】利用导数分析函数fx的单调性与极值，数形结合可判断ABC选项；利用函数的极值点与导数

的关系可判断D选项.

【详解】因为fxx1ex，该函数的定义域为R，fxx2ex，

令fx0，可得x2，列表如下：

x,222,

fx0

1

fx减极小值增

e2

且当x1时，fxx1ex0；当x1时，fxx1ex0，

作出函数fx的图象如下图所示：

对于A选项，fx在区间2,上单调递增，A对；

1

对于B选项，fx的最小值为f2，B对；

e2

对于C选项，方程fx2的解只有1个，C错；

对于D选项，令gxfxx2ex，该函数的定义域为R，

gxx3ex，令gx0，可得x3；令gx0，可得x3.

所以，函数fx的单调递减区间为,3，递增区间为3,，

所以，函数fx的极值点为3，D对.

故选：ABD.

10．（2025高三·全国·专题练习）中华人民共和国国家标准《居室空气中甲醛的卫生标准》规定：居室空气

中甲醛的最高容许浓度为：一类建筑0.08mg/m3，二类建筑0.1mg/m3，二类建筑室内甲醛浓度小于等于

0.1mg/m3为安全范围.已知某学校教学楼（二类建筑）施工过程中使用了甲醛喷剂，处于良好的通风环境下

时，竣工2周后室内甲醛浓度为2.25mg/m3，4周后室内甲醛浓度为0.36mg/m3，且室内甲醛浓度(t)（单

位：mg/m3）与竣工后保持良好通风的时间ttN*（单位：周）近似满足函数关系式(t)eatb，则（）

（参考数据：ln20.7，ln31.1，ln51.6）

2

A．aln

5

B．eb15

C．3周后室内甲醛浓度为0.9mg/m3

D．该教学楼竣工后的甲醛浓度若要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为6周

【答案】ACD

t

a2b2252252

【分析】根据题意列式求解得e，e，即可求出(t)，即可判断选项ABC，令(t)0.1，

516165

利用指对互化解不等式即可判断选项D.

2ab2ab

eee2.25

【详解】由题意可得2，

4ab2ab

eee0.36

22225225

解得eaaln，eb15，

551615

所以A正确，B错误；

t

t

atbab2252

所以(t)eee，

165

3

2252

(3)0.9，故C正确；

165

tt

225212116

令，得，

16510510225

两边取对数得t(ln2ln5)3ln2(2ln33ln5)，

3ln2(2ln33ln5)30.7(21.131.6)

即t5.4，

ln2ln50.71.6

所以该教学楼竣工后的甲醛浓度若要达到安全开放标准，

至少需要放置的时间为6周，故D正确.

故选：ACD

11．（24-25高三上·山东滨州·期末）已知定义域为R的偶函数fx，满足f1xf1x，当0x1时，

fxx．则（）

A．fx的一个周期为2

2513

B．ff

23

111

C．fx的解集为2k,2k（kZ）

222

D．f2k0（kZ）

【答案】ABD

【分析】根据条件推得fx的一个周期为2判断A项，利用函数的周期性和对称性，化简计算即可判断B

项，结合函数的图象即可判断C，D两项.

【详解】对于A，因fx是定义域为R的偶函数，则f(x)f(x)，

由f1xf1x可知：f(x)的图象对称轴为直线x1，且f(x)f(x2)，

即得f(x2)f(x)，则fx的一个周期为2，故A正确；

251113111

对于B，因f()f()，而f()f()f()，

2223333

112513

因为ff，所以ff，故B正确；

2323

对于C，根据题意，可以作出函数fx的图象如下：

11

由上分析知，函数的最小正周期为2，当0x1时，fxx，则由fx可得x1；

22

13

而当1x2时，f(x)2x，则由fx可得1x，

22

113

综上可得0x2时，由fx可得x，

222

113

故对于xR，则fx的解集为(2k,2k),kZ，故C错误；

222

对于D，由图知对于kZ，必有f2k0，故D正确.

故选：ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12．（24-25高三上·全国·专题练习）函数yf(x)为定义在2,2上的增函数，且f(2m)f(m1)，则实

数m的取值范围是．

1

【答案】,1．

3

22m2

【分析】根据函数的单调性可得2m12，解不等式组即可求解.

2mm1

22m2

1

【详解】由题意得2m12，解得m1．

3

2mm1

1

所以实数m的取值范围是,1.

3

1

故答案为：,1

3

13．（23-24高三上·江苏淮安·阶段练习）已知函数fx2x2lnx，若fx在区间2m,m1上单调递增，

则实数m的取值范围是.

1

【答案】[,1)

4

【分析】由导数求解函数的单调递增区间，即可列不等式求解.

2

214x1

【详解】由fx2xlnx得fx4x，

xx

11

由于函数fx的定义域为0,，故令fx0,解得x，故fx的单调递增区间为,，

22

1

2m1

若fx在区间2m,m1上单调递增，则2，解得m1，

4

m12m

1

故答案为：[,1)

4

x22x3,x0

14．（24-25高三上·江西·期中）已知函数fx，若存在实数x1，x2，x3且x1x2x3，

lnx,x0

使得fx1fx2fx3a，则x3x1x2lnx3的最大值为.

【答案】e3

a

【分析】先由题设数形结合得2a3和x3x1x2lnx3e2a，再构造函数

gaea2a,2a3，利用导数求出其最大值即可得解.

【详解】由题f12,f03，当fx3时，x2,0,e3；当fx2时，x1,e2；

故作出fx的图象如图所示：

因为存在实数x1，x2，x3且x1x2x3，使得fx1fx2fx3a，

所以直线ya与图象有三个交点，

�=��23

所以2a3，且2x11x20ex3e，x1x22，

a

所以x3x1x2lnx3e2a，

设gaea2a,2a3，则gaea2aeaa1ea0恒成立，

所以函数在2,3单调递增，所以函数3，

gagamaxg3e

3

所以x3x1x2lnx3的最大值为e.

故答案为：e3.

a

【点睛】关键点睛：解决本题的关键是数形结合得到2a3和x3x1x2lnx3e2a，从而将问题

转化成求函数gaea2a,2a3的最大值，简化了问题的难度.

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（2025高三·北京·专题练习）已知函数fxax2a2xlnx.

(1)当a＝1时，求曲线yfx在点1,f1处的切线方程；

(2)当a＞0时，函数fx在区间1,e上的最小值为，求a的取值范围；

【答案】(1)y2−2

(2)1,

【分析】（1）求出导数fx，根据导数的几何意义求出切线方程；

（2）求出导数fx，分三种情况讨论a的范围，判断单调性求得函数最小值，令所求最小值等于2，排

除不合题意的a的取值，即可求得到符合题意实数a的取值范围.

1

【详解】（1）当a1时，fxx23xlnx，fx2x3，

x

则f(1)=-2，f10，

所以曲线yfx在点1,f1处切线的方程为y2.

12x1ax1

（2）当a0时，fx2axa2，x1,e，

xx

11

令fx0，得x或，

2a

1

当1即a1时，对x1,e，fx0，即函数fx在x1,e上单调递增，

a

所以，符合题意；

fxminf12

1111

当1e，即a1时，x1,，fx0，x,e，fx0，

aeaa

11

所以函数fx在x1,上单调递减，在x,e上单调递增，

aa

1

fxff12，不合题意；

mina

11

当e即0a时，x1,e，fx0，即函数fx在x1,e上单调递减，

ae

，不合题意；

fxminfef12

综上，实数a的取值范围为1,.

2x1ax1

【点睛】思路点睛：本题第二问利用单调性求最值.求出导数fx，x1,e，分析发现

x

1

导数正负取决于ax1的正负，抓住零点与区间1,e的关系讨论，得到函数fx在1,e上的单调性，求

a

出最小值进行判断求解.

8

16．（2024·山西·模拟预测）已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，f(x)a3x3x，且f(1).

3

(1)求a的值，并求出f(x)的解析式；

(2)若f(x)9x9x140在x(0,)上恒成立，求的取值范围.

3x3x,x0

【答案】，

(1)a1f(x)xx

33,x0

(2)(,8]

【分析】（1）利用偶函数性质以及函数值可得a1，再由偶函数定义可得其解析式；

16

（2）将不等式恒成立转化为求3x3x恒成立问题，由基本不等式计算可得的取值范围.

3x3x

18

【详解】（1）因为f(x)是偶函数，所以f(1)f(1)3a，

33

解得a1，

当x0时，可得x0，所以f(x)f(x)3x3(x)3x3x，

3x3x,x0,

所以函数的解析式为

f(x)f(x)xx

33,x0.

（2）由（1）知，当x0时，f(x)3x3x0，

因为f(x)9x9x140在x(0,)上恒成立，

2

xx

9x9x14331616

所以3x3x，

3x3x3x3x3x3x

又因为xx16xx16，

332338

3x3x3x3x

16

当且仅当3x3x时，即xlog(52)时等号成立，

3x3x3

所以8，即的取值范围是(,8].

32

17．（25-26高三上·全国·单元测试）已知函数fxaxbxcx1a,b,cR，且不等式3ax22bxc0

的解集为1,1．

(1)求函数fx图象的对称中心；

(2)证明：函数fx在区间1,1上单调递增；

2

(3)若方程3afx2bfxc0有6个不相等的实数根，求实数a的取值范围．

【答案】(1)0,1

(2)证明见解析

(3),1．

【分析】（1）结合一元二次不等式解集求参，进而求出对称中心；

（2）应用单调性定义证明函数的单调性；

（3）根据方程根的个数列不等式组计算参数范围.

【详解】（1）由3ax22bxc0的解集为1,1知，方程3ax22bxc0有两个不相等的实数根1，且a0，

2b

11,

3a3

则故b0,c3a0，因此fxax3x1．

c

11,

3a

因为yax33x为奇函数，故函数yax33x图象的对称中心为点0,0，

将yax33x的图象向上平移1个单位长度可得fx的图象，

所以函数fx图象的对称中心为点0,1．

（）任取，且，则3322，

2x1,x21,1x1x2fx1fx2ax13x1x23x2ax1x2x1x1x2x23

22

因为x1x20，又1x1x21，即0x11,0x21,1x1x21，

22

则x1x1x2x230，故fx1fx20，即fx1fx2，

所以函数fx在区间1,1上单调递增．

2

（3）因为3afx2bfxc0，所以由（1）知，fx1，从而直线y1与曲线yfx共有6

个公共点．

f11,

又函数fx在区间1,1上单调递增，在区间,1,1,上单调递减，故解得a1，所

f11,

以实数a的取值范围为,1．

1

18．（2024·云南·二模）已知常数a0，函数f(x)x2ax2a2lnx.

2

(1)若x0,f(x)4a2，求a的取值范围;

(2)若x1、x2是f(x)的零点，且x1x2，证明:x1x24a.

e2

【答案】(1)0,

2

(2)证明见解析

【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，即可得到函数的单调性，求出函数的最小值，依题意

22

f(x)min2aln2a4a，即可求出a的取值范围；

（2）由（1）不妨设0x12ax2，设F(x)f(x)f(4ax)，利用导数说明函数的单调性，即可得到

fx1f4ax1，结合fx1fx2及fx的单调性，即可证明.

【详解】（1）由已知得f(x)的定义域为{x|x0}，

2a2x2ax2a2(x2a)(xa)

且f(x)xa.

xxx

a0，

当x(0,2a)时，f(x)0，即f(x)在(0,2a)上单调递减；

当x(2a,)时，f(x)0，即f(x)在(2a,)上单调递增.

所以fx在x2a处取得极小值即最小值，

2，

fxminf2a2aln2a

2222，

x0,fx4afxmin2aln2a4aln2alne

e2e2

0a，即a的取值范围为0,.

22

（2）由（1）知，f(x)的定义域为{x|x0}，

f(x)在(0,2a)上单调递减，在(2a,)上单调递增，且x2a是f(x)的极小值点.

x1、x2是f(x)的零点，且x1x2，

x1、x2分别在(0,2a)、(2a,)上，不妨设0x12ax2，

设F(x)f(x)f(4ax)，

(x2a)(xa)(2ax)(5ax)2a(x2a)2

则F(x).

x4axx(x4a)

当x(0,2a)时，F(x)0,F(2a)0，即F(x)在(0,2a]上单调递减.

0x12a，

Fx1F(2a)0，即fx1f4ax1，

fx1fx20，

fx2f4ax1，

x12a，

4ax12a，

又x22a，f(x)在(2a,)上单调递增，

x24ax1，即x1x24a.

【点睛】方法点睛：（1）给定函数比较大小的问题，需判断函数单调性，根据单调性以及需要比较的数值

构造函数，利用函数的单调性可比较大小；

（2）极值点偏移法证明不等式，先求函数的导数，找到极值点，分析两根相等时两根的范围，根据范围以

及函数值相等构造新的函数，研究新函数的单调性及最值，判断新函数小于或大于零恒成立，即可证明不

等式.

19．（24-25高三上·河北张家口·期末）若定义在D上的函数fx满足:对任意xD，存在常数M，

都有fxM成立，则称M为函数fx的上界，最小的M称为函数fx的上确界，记作M

supfx.与之对应，若定义在D上的函数fx满足:对任意xD，存在常数m，都有fxm

成立，则称m为函数fx的下界，最大的m称为函数fx的下确界，记作minffx.

(1)若fx有下确界m，则m一定是fx的最小值吗?请举例说明.