备战2026年高考数学考试易错题（新高考）专题05 三角函数（原题版）

专题05三角函数目录题型一：三角函数的定义及公式应用易错点01应用三角函数定义忽略终边位置的讨论易错点02诱导公式认识不深导致变形错误易错点03三角求值不能深挖角的范围出错题型二三角函数的图像与性质易错点04判断三角函数的单调性忽略系数的符号易错点05混淆函数图像变换的规律而致错易错点06参数问题不能准确判断临界点题型一：三角函数的定义及公式应用易错点01：应用三角函数的定义忽略终边位置的讨论典例（24-25高三·全国·专题练习）已知角的终边在直线上，则的值为．【答案】【分析】先分两种情况角的终边在第二象限或第四象限取点再结合余弦函数定义求值即可.【详解】∵角的终边在直线上，∴角的终边在第二象限或第四象限．当角的终边在第二象限时，在角的终边上取一点，则点P到原点的距离，∴．当角的终边在第四象限时，在角的终边上取一点，则点到原点的距离，∴．综上，或．故答案为：.【易错剖析】本题容易忽略对角终边所在象限的讨论而漏解.【避错攻略】1．角的概念（1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．（2）所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是．（3）象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．2．任意角的三角函数（1）定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则，，．（2）推广：三角函数坐标法定义中，若取点P是角终边上异于顶点的任一点，设点到原点的距离为，则，，三角函数的性质如下表：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号＋＋－－＋－－＋＋－＋－记忆口诀：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．3.三角函数的定义中常见的三种题型及解决办法（1）已知角的终边上一点的坐标，求角的三角函数值方法：先求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解。（2）已知角的一个三角函数值和终边上一点的横坐标或纵坐标，求与角有关的三角函数值方法：先求出点到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题。（3）已知角的终边所在的直线方程（），求角的三角函数值方法：先设出终边上一点，求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解，注意的符号，对进行讨论。若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的三角函数值。易错提醒：对三角函数的定义的理解：(1)三角函数是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从角的集合(弧度制)到一个坐标(或比值)的集合的对应．(2)三角函数可以用比值来定义，所以三角函数的定义域是使比值有意义的角的范围．(3)三角函数值的大小与点P(x，y)在角α终边上的位置无关，只由角α的终边位置决定，即三角函数值的大小只与角有关．1．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知角的终边上有一点的坐标是，其中，则（

）A． B． C． D．2．（2025·福建福州·模拟预测）以坐标原点为顶点，轴非负半轴为始边的角，其终边落在直线上，则（

）A． B．C． D．3．（24-25高三上·天津南开·阶段练习）已知顶点在原点，始边在x轴非负半轴的锐角绕原点逆时针转后，终边交单位圆于，则的值为（

）A． B． C． D．1．（2024·山东·一模）已知角终边上一点，则的值为（

）A． B． C． D．2．（24-25高三上·山东青岛·期中）已知锐角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有一点，且，则（

）A． B． C． D．3．（24-25高三上·河北邢台·期中）已知是第四象限的角，为其终边上的一点，且，则（

）A．4 B．4 C． D．4．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知角的终边在直线上，则的值为（

）A． B． C． D．5．（2024高三·全国·专题练习）已知角的终边与直线垂直，则（

）A． B． C． D．6．（24-25高三上·河北承德·期中）如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为，．若，则的值为（

）A． B． C． D．7．（24-25高三上·上海·期中）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，若角的终边经过点，则.8．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半抽重合，角的终边与单位圆的交点坐标是，则．9．（24-25高三上·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，角的终边经过点.若角的终边逆时针旋转得到角的终边，则.10．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知，且α与β的终边关于直线对称，则的最大值为．易错点02：诱导公式认识不清导致变形错误典例（24-25高三上·山西长治·阶段练习）（多选）已知，则下列说法正确的是（

）A． B．C．若，则 D．若，则【答案】ABD【分析】利用诱导公式判断A、C，利用诱导公式及二倍角公式判断B，利用同角三角函数的基本关系求出，再由及两角差的正弦公式判断D.【详解】对于A：，故A正确；对于B：，故B正确；对于C：，故C错误；对于D：因为，所以，又，，所以，则，所以，故D正确.故选：ABD【易错剖析】本题求解时若不能发现角与角之间的关系就不能选择合适的公式进行化简，或者错选公式而陷入繁琐的计算中去.【避错攻略】1.诱导公式的内容（1），，，其中（2），，，其中（3），，，其中（4），．，，其中2.诱导公式的记忆诱导公式一～三可用口诀“函数名不变，符号看象限”记忆，其中“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名，“符号”是指等号右边是正号还是负号，“看象限”是指把看成锐角时原三角函数值的符号．诱导公式四可用口诀“函数名改变，符号看象限”记忆，“函数名改变”是指正弦变余弦，余弦变正弦，为了记忆方便，我们称之为函数名变为原函数的余名三角函数．“符号看象限”同上．因为任意一个角都可以表示为的形式，所以这六组诱导公式也可以统一用“口诀”：“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角（为常整数）的三角函数值：当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当为偶数时，函数名不变，然后的三角函数值前面加上当视为锐角时原函数值的符号．3.利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤（1）“负化正”：用公式一或三来转化．（2）“大化小”：用公式一将角化为到间的角．（3）“小化锐”：用公式二或四将大于的角转化为锐角．（4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值．可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值）．易错提醒：正确应用诱导公式的前提条件有两个：一是弄清什么时候需要应用诱导公式，这时要学会观察所给角与特殊角或条件角与待求角之间的关系，看看它们的和或差是否为的整数倍；二是要记牢诱导公式，做到这一点就需要平时多加练习，将公式牢记在心.1．（24-25高三上·江西新余·阶段练习）已知，则（

）A． B． C． D．2．（24-25高三上·安徽·期中）由，可求得的值为（

）A． B． C． D．3．（24-25高三上·江苏南通·期中）若，则的值为（

）A． B． C． D．1．（24-25高三上·湖北·期中）已知，则的值为（

）A． B． C． D．2．（24-25高三上·山东菏泽·期中）若，则（

）A． B． C． D．3．（24-25高三上·辽宁·期中）若，则（

）A． B． C． D．4．（24-25高三上·湖南·期中）已知，则（

）A． B． C． D．5．（24-25高三上·河南安阳·期中）已知，则的值为（

）A． B． C． D．6．（24-25高三上·广西·期中）已知，则（

）A． B． C． D．7．（2024·全国·模拟预测）已知，则（

）A． B． C． D．8．（24-25高三上·海南海口·阶段练习）若，则的值为（

）A． B． C． D．9．（24-25高三上·上海·阶段练习）若，则易错点03：三角求值中不能挖掘角的范围而出错典例1．（24-25高三上·江苏常州·期中）已知，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据同角三角函数的平方式，求得已知角的正弦值和余弦值，结合余弦的差角公式，可得答案.【详解】由，则，，，由，易知，解得，由，，且，则，可得，所以，当时，，，此时，则，由，，则，易知，解得，此时；当时，，，此时，则，由，，则，易知，解得，；故选：B.【易错剖析】本题在求解过程中要注意结合和三角函数值的符号缩小角的范围，这是本题求解的关键，也是题目的难点和易错点.【避错攻略】1．同角三角函数基本关系及其变形公式2.同角三角函数基本关系式的应用技巧（1）正余弦互化、弦切互化以及“和”“积”转换的解题技巧①利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化.②形如等类型可进行弦化切.（2）注意公式的逆用及变形应用：.（3）应用公式时注意方程思想的应用：对于这三个式子，利用，可以知一求二.3.常用三角公式（1）和角与差角公式：，，；（2）倍角公式：，，；【注意】（1）给值求角问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法；（2）求值问题的一般步骤：①化简条件式子或待求式子；②观察条件与所求式子之间的联系，从函数名称及角入手；③根据题设角的范围求出相应角的函数值；④将已知条件和所求值代入所求式子，化简求值.易错提醒：应用同角三角函数关系式的注意事项：在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意根据角的范围判断符号，而求角的范围除去利用给出的范围，有时还需要根据三角函数值的符号深挖隐含范围.1．（24-25高三上·湖北·期中）已知，，，则（

）A． B． C． D．2．（24-25高三上·河北·阶段练习）已知是方程的两个根，则（

）A． B． C． D．3．（24-25高三上·山东·期中）若，，且，，则（

）A． B． C． D．1．（24-25高一上·河北保定·期中）若，则（

）A． B． C． D．2．（2024·广东肇庆·一模）已知，，则（

）A． B．或C． D．或3．（24-25高三上·云南·阶段练习）已知，，，则（

）A． B． C． D．4．（24-25高三上·湖北武汉·期中）已知，都是锐角，，，则（

）A． B． C． D．5．（24-25高三上·青海·期中）若，，，，则（

）A． B． C． D．6．（24-25高三上·河北·期中）已知，均为锐角，，，则．7．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知，，，，则的值为.（用弧度制表示）8．（2024高三·全国·专题练习）已知是三角形的一个内角，，则．9．（24-25高三上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）（1）已知，，求，；（2）已知，，求；（3）已知，，且，求的值.10．（24-25高三上·山东滨州·期中）已知，，求下列式子(1)(2)(3)和和题型二三角函数的图像与性质易错点04：判断三角函数的单调性忽略的符号典例（2025高三·全国·专题练习）在上的单调递减区间为.【答案】和【分析】化简的解析式，求出的单调递减区间，求出与集合的交集即可.【详解】，令得则的单调递减区间为令,∴在上的单调递减区间为和.故答案为：和.【易错剖析】本题求解时容易忽略在x的系数小于零这一条件，直接将代入正弦函数的减区间而出错.【避错攻略】1正弦函数、余弦函数与正切函数的单调性由正弦函数、余弦函数、正切函数的图形特征(如图)，不难得到三种函数的单调区间(以下k∈Z)：y＝sinxy＝cosxy＝tanx(1)正弦函数的单调递增区间为，单调递减区间为；(2)余弦函数的单调递增区间为[2kπ－π，2kπ]，单调递减区间为[2kπ，2kπ＋π]；(3)正切函数的单调递增区间为，没有单调递减区间．2．求y＝sin(ωx＋φ)、y＝cos(ωx＋φ)、y＝tan(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间的方法：把ωx＋φ看成一个整体，代入对应的单调区间，再把x解出来，便得所求的区间．(注意，为了避免复合函数有关知识点的介入，降低难度，统一规定x的系数ω>0，如果题中ω<0，则应转换成ω>0再求解)【说明】（1）正弦函数在定义域R上不是单调函数，但存在单调区间；正切函数y＝tanx在其定义域内不是单调函数；（2）求解（或判断）三角函数的单调区间（或单调性）是求值域（或最值）的关键一步；（3）确定含有正弦、余弦、正切函数的较复杂的函数单调性时，要注意使用复合函数的判断方法来判断.易错提醒：求三角函数的单调区间时首先要对三角函数解析式进行变形，化为y＝sin(ωx＋φ)、y＝cos(ωx＋φ)、y＝tan(ωx＋φ)的形式，然后求出定义域，结合复合函数单调性的判断方法求解，如对于函数来说，当时，由于内层函数是单调递增的，所以函数的单调性与函数的单调性相同，故可完全按照函数的单调性来解决；但当时，内层函数是单调递减的，所以函数的单调性与函数的单调性正好相反，就不能按照函数的单调性来解决。一般来说，应根据诱导公式将的系数化为正数加以解决，对于带有绝对值的三角函数宜根据图象从直观上加以解决。1．（23-24高一下·河南驻马店·阶段练习）函数的单调递增区间是（

）A． B．C． D．2．（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）函数的单调递增区间为（

）A． B．C． D．3．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）函数的单调递减区间为.1．（24-25高三上·青海西宁·期中）下列函数中，在上为减函数的是（

）A． B．C． D．2．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）将函数的图象向右平移个单位长度，然后将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则下列区间中，函数单调递减的区间是（

）A． B． C． D．3．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）在下列区间函数单调递减的是（

）A． B． C． D．4．（23-24高二下·云南红河·期末）若函数，则函数的单调递增区间为（

）A．， B．，C．， D．，5．（23-24高一下·内蒙古兴安盟·期中）设函数的图象关于原点对称，且相邻对称轴之间的距离为则函数的单调增区间为（

）A． B．C． D．6．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数的图象与函数的图象重合，则在下列哪个区间上单调递增（

）A． B． C． D．7．（2024·湖北·二模）将函数的图象上每一点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（

）A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增C．在区间上单测递减 D．在区间上单调递增8．（2024·江西南昌·一模）已知函数，则下列结论中错误的是（

）A．是奇函数 B．C．在上递增 D．在上递增9．（24-25高三上·天津·阶段练习）函数在的单调递减区间是10．（2024·四川南充模拟）已知函数，有以下说法：①的值域为；②是周期函数；③在上单调递增，在单调递减；④对任意的，方程在区间上有无穷多个解．其中所有正确的序号为．易错点04：混淆函数图像的变化规律致错典例（24-25高三上·山东青岛·阶段练习）要得到函数的图象，只要将函数的图象（

）A．向右平移个单位 B．向左平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位【答案】D【分析】根据三角函数图象平移变换法则判断，注意化为同名函数．【详解】，所以将函数的图象向右平移个单位即得函数的图象，故选：D．【易错剖析】本题求解时容易在两个地方出错，一是没有注意到给出的两个函数不同名，没有用诱导公式变形；二是忽略自变量系数对平移单位的影响.【避错攻略】1.作正弦函数和余弦函数简图的五个关键点（1）在正弦函数，的图象中，五个关键点是：．（2）在余弦函数，的图象中，五个关键点是：．2.φ,ω,A对y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的影响（1）φ对y=sin(x+φ),x∈R的图象的影响如图所示,对于函数y=sin(x+φ)(φ≠0)的图象,可以看作是把y=sinx的图象上所有的点向(当φ>0时)或向(当φ<0时)平移个单位长度得到的.

（2）ω(ω>0)对y=sin(ωx+φ),x∈R的图象的影响如图所示,对于函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象,可以看作是把y=sin(x+φ)的图象上所有点的坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到的.

（3）A(A>0)对y=Asin(ωx+φ),x∈R的图象的影响如图所示,对于函数y=Asin(ωx+φ)(A>0)的图象,可以看作是把y=sin(ωx+φ)的图象上所有点的坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的倍(横坐标不变)而得到的.

3.函数y=sinx的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的步骤易错提醒：在进行图像变换时要注意两点：（1）化简解析式：即将函数解析式化为y=Asin(ωx+φ)（或y=Acos(ωx+φ)）形式；（2）统一名称：即分析变换前后的三角函数是否同名，不同名时用诱导公式化为同名形式；（3）变换：提倡先平移后伸缩（先相位后周期），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少．1．（24-25高三上·四川成都·期中）为得到函数的图象，只需要将函数的图象（

）A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度2．（24-25高二上·上海·阶段练习）把函数的图像经过变换得到图像，这个变换是（

）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位3．（23-24高三下·安徽铜陵·模拟）若函数（）的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则的最小值为（

）A．5 B．3 C．2 D．11．（2024高二上·山东枣庄·学业考试）要得到的图象，只需把图象上所有点的（

）A．横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 B．横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C．纵坐标变为原来的倍，横坐标不变 D．纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变2．（24-25高三上·天津滨海新·期中）已知函数满足，函数，则将图象向（

）平移（

）个单位长度后可以得到的图象.A．左

B．左

C．右

D．右

3．（24-25高三上·贵州·期中）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，且的图象关于点对称，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．44．（2024·北京·模拟预测）将的图象变换为的图象，下列变换正确的是（

）A．将图象上点的横坐标变为原来的倍，再将图象向右平移个单位B．将图象上点的横坐标变为原来的3倍，再将图象向右平移个单位C．将图象向右平移个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的倍D．将图象向右平移个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的3倍5．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长为原来的2倍，然后将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（

）A． B． C． D．6．（24-25高一上·河北衡水·期中）已知，把的图象向右平移φ个单位长度后，恰好得到函数的图象，则φ的值可以为（

）A． B． C． D．7．（24-25高三上·江苏淮安·阶段练习）函数，则下列函数中为奇函数的是（

）A．向左平移后的所得函数 B．向右平移后的所得函数C．向左平移后的所得函数 D．向右平移后的所得函数8．（23-24高一下·广东广州·期末）将函数的图象向左平移个单位后，与函数的图象重合，则的值可以是（

）A．1 B．2 C．3 D．4易错点07：参数问题不能准确判断临界点典例设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解法一】令，求得，故函数的极值点依次为：，因为在区间恰有三个极值点，故，解得；令，求得，故函数的零点依次为：，因为在区间恰有两个点，故解得，从而的是.【解法二】依题意可得，因为，所以，设要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：

则，解得，即．故选：C．【易错剖析】本题在求解过程中往往由于不能准确判断临界点而错判参数的取值范围.【避错攻略】根据三角函数的相关性质求解参数的值或取值范围是三角函数中比较典型的一类问题，这类问题一般涉及值域、单调性及周期性等性质，三角函数因为其函数性质的特殊性，如正弦函数和余弦函数的有界性，往往在确定变量范围或最大、最小值有关问题上起着特殊作用，如果试题本身对自变量的取值范围问题有限制,则更应该充分注意。1、与三角函数单调性有关的参数问题如果解析式中含有参数，要求根据函数单调性求参数的取值范围，通常先求出单调区间，然后利用集合间的关系求解；或转化为使得某个等式或不等式恒(可以)成立，通过分离参数，求出解析式的范围或最值，进而求出参数的范围.【注意】由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的一个单调区间[m，n](区间也可以是开区间或半开半闭区间)求解ω或φ的取值范围，则将区间端点值代入后，去对应(k∈Z)或(k∈Z)列出不等式求解．另外，因为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的单调递减(增)区间的区间长度恰好是eq\f(T,2)，所以具有单调性的区间长度必不超过eq\f(T,2)，根据这个性质有时也可求出ω的范围．2、与对称性有关的参数问题一般来说,若函数f(x)=sin⁡(ωx+φ)在某个区间上单调,并且给出了对称轴方程,则可先利用“该区间长度小于或等于半周期长度”大致确定ω【注意】（1）函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的对称中心为(k∈Z)，对称轴为x＝－eq\f(φ,ω)＋eq\f(kπ,ω)＋eq\f(π,2ω)(k∈Z)，此时函数的对称中心和对称轴可用参数ω表示，对称中心和对称轴的取值与参数ω有着紧密的联系．（2）三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为eq\f(T,2)，相邻对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为eq\f(T,4)，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究ω的取值．3、与三角函数的最值存在有关的参数问题一般考查形式是给出区间最值点的个数求参数范围，这种题目一种思路是求出所有的最值点根据区间内最值点的个数列出不等式求解，另一种思路利用三角函数的最值与对称或周期的关系，可以列出关于ω的不等式，进而求出ω的值或取值范围．4、与三角函数的零点有关的参数问题解决此类问题，要先根据所给的单调区间判断ω的大致范围，再计算对称轴，依据函数在所给区间的极值点及对称轴缩小范围，从而求出ω的范围．注：一般来