备战2026年高考数学考试易错题（新高考）专题07 导数及其应用（原题版）

专题07导数及其应用目录易错点01对导数的概念理解不到位易错点02错用函数的求导法则易错点03混淆“在某点”和“过某点”切线的区别易错点04利用导数求函数单调区间忽略定义域易错点05混淆极值点与导数等于零的点的区别易错点06已知单调性求参数时混淆条件易错点07判断函数零点个数时画图出错易错点01：对导数的概念理解不到位典例（24-25高二上·全国·课后作业）若函数可导，则等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据导数的定义即可求解.【详解】．故选：C【易错剖析】在解题时要注意，本题容易忽略分母不是分子函数值对应自变量的差而出错.【避错攻略】导数的概念函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或．【解读】①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数；②当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与无限接近；③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率，即．几何意义函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率．物理意义函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即．易错提醒：(1)，要注意定义式中的分母一定是分子两个函数值对应自变量的差，如果不是要通过调整系数实现对应；(2)的代数意义表示函数在处的瞬时变化率；(3)的几何意义表示曲线在处切线的斜率．1．（24-25高二上·全国·课后作业）若可导函数的图象过原点，且满足，则等于（

）A． B．2 C． D．12．（24-25高二下·全国·课后作业）如果函数在处的导数为1，那么（

）A． B．1 C．2 D．3．（24-25高二下·河北石家庄·阶段练习）设函数在点附近有定义，且有（，为常数），则（

）A． B． C． D．1．（24-25高二上·全国·课后作业）若，则（

）A． B． C．1 D．22．（24-25高三上·广西玉林·期中）设是定义在R上的可导函数，若（a为常数），则（

）A． B． C． D．3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则的值为（

）A．2e B．0 C．1 D．e4．（24-25高三上·上海·期中）若函数在处的导数等于，则的值为（

）A．0 B． C． D．2a5．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）若函数在区间内可导，且，则的值为（

）A． B． C． D．6．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）已知函数在处可导，且，则（

）A． B． C． D．27．（24-25高二·全国·课后作业）（多选）若函数在处存在导数，则的值（

）A．与有关 B．与h有关 C．与无关 D．与h无关8．（24-25高三上·浙江·阶段练习）已知：当无穷大时，的值为，记为.运用上述结论，可得.易错点02：错用函数的求导法则典例（24-25高三上·山东聊城·期末）函数的导数为（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用导数的运算法则以及复合函数求导法则可求出原函数的导数.【详解】．故选：B.【易错剖析】本题容易错用复合函数的求导法则而出错，要注意求导公式和求导法则的适用前提.【避错攻略】1．求导的基本公式基本初等函数导函数（为常数）2．导数的四则运算法则（1）函数和差求导法则：；（2）函数积的求导法则：；（3）函数商的求导法则：，则．3．复合函数求导数复合函数的导数和函数，的导数间关系为：易错提醒：（1）复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数,即；（2）求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．注意以下几点：连乘形式则先展开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；分式形式，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元.1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知某函数的导数为，则这个函数可能是（

）A． B． C． D．2．（2025高三·全国·专题练习）下列求导运算错误的是（

）A． B．C． D．3．（24-25高三·全国·联考）已知函数，则（

）A． B． C．1 D．1．（2025高三·全国·专题练习）函数的导数为（

）A． B．C． D．2．（24-25高三上·北京·开学考试）在下列函数中，导函数值不可能取到1的是（

）A． B． C． D．3．（24-25高三上·上海宝山·阶段练习）已知，则（

）A． B．C． D．4．（24-25高三上·山西·期中）若函数满足，则的值为（

）A． B．2 C．3 D．45．（24-25高二下·辽宁·阶段练习）（多选）下列求导运算正确的是（

）A． B．C． D．6．（24-25高三上·陕西咸阳·期中）（多选）下列求导运算正确的是（

）A． B．C． D．7．（24-25高三上·江苏淮安·开学考试）（多选）下列导数运算正确的是（

）A． B． C． D．8．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）（多选）下列导数运算正确的是（

）A． B．C． D．易错点03：混淆“在某点”和“过某点”切线的区别典例（2024·新疆·二模）过点且与曲线相切的直线方程为（

）A． B．7x−4y+9=0C．或7x−4y+9=0 D．或4x−7y+24=0【答案】C【分析】先设过点的切线，再根据点在曲线上及切线斜率等于导数值解方程即可求值进而求出切线.【详解】设过点1,4的曲线y=f(x)的切线为：l:y−y有3x解得x0=1y代入可得或7x−4y+9=0.故选：【易错剖析】本题容易误将（1,4）点当做函数的切点而出错，要注意过P点的切线P不一定是切点.【避错攻略】1．在点P的切线方程切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键．2．过点P的切线方程设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）【注意】在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．易错提醒：（1）利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点：（1）函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．（2）切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点．（3）曲线“在”点处的切线与“过”点的切线的区别：曲线在点处的切线是指点P为切点，若切线斜率存在，切线斜率为，是唯一的一条切线；曲线过点的切线，是指切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．（2）利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程（组）或者参数满足的不等式（组），进而求出参数的值或取值范围．（3）求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点（1）注意曲线上横坐标的取值范围；（2）谨记切点既在切线上又在曲线上．1．（24-25高三上·广东·阶段练习）函数的图象在点处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（

）A． B． C． D．2．（23-24高二下·山西晋城·期末）过原点O作曲线的切线，其斜率为2，则实数（

）A．e B．2 C． D．3．（24-25高三·山东临沂·期中）若过点可以作曲线的两条切线，则（

）A． B． C． D．1．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）曲线在处的切线方程为（）A． B． C． D．2．（24-25高三上·河南·阶段练习）曲线在处的切线经过点，则实数的值为（

）A． B．0 C．1 D．23．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）函数在点处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为（

）A． B． C． D．14．（24-25高三上·天津武清·阶段练习）若直线与曲线相切，则（

）A． B． C． D．45．（2024·河南洛阳·三模）（多选）若过点作曲线的切线，则这样的切线共有（

）A．0条 B．1条 C．2条 D．3条6．（24-25高三·山东日照·期中）已知过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数的取值可能为（

）A． B． C． D．7．（23-24高二下·北京西城·阶段练习）已知直线是曲线的切线，则切点坐标为（

）A． B． C． D．8．（24-25高三上·上海·开学考试）经过点可以作与曲线相切的不同直线共有（

）A．0条 B．1条 C．2条 D．3条易错点04：利用导数求函数单调区间忽略定义域典例（23-24高二下·宁夏吴忠·期中）函数的单调减区间为（

）A． B． C． D．和【答案】D【分析】求出函数的导数，再解不等式即得答案.【详解】函数的定义域为，求导得，由，即，解得或，所以函数的单调减区间为和.故选：D【易错剖析】本题容易忽略定义域为而错选B.【避错攻略】1.函数单调性的判定方法设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数．【解读】①利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号；②在某个区间内，()是函数在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件.例如，函数在定义域上是增函数，但.2.求可导函数单调区间的一般步骤①确定函数的定义域；②求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；③把函数的间断点的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间；④确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性.3函数在区间上单调与求函数单调区间单调递增；单调递增；单调递减；单调递减.易错提醒：（1）求函数的单调区间必须树立定义域优先的思想，即先求函数的定义域，然后再定义域上求函数的单调区间；（2）含参函数单调性讨论的分类标准：①函数类型；②开口方向；③判别式；④导数等于0有根无根；⑤两根大小；⑥极值点是否在定义域内.1．（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）若函数，则函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．2．（2024全国·模拟预测）已知函数，则的单调递增区间为（）A． B．3,4 C． D．3．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）设，.(1)若，求在处的切线方程；(2)若，试讨论的单调性.1．（2024高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间是（

）A． B． C． D．2．（2024高三·全国·专题练习）函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．3．（2024·浙江·模拟预测）函数的单调递增区间是（

）A． B．C． D．4．（2025·全国·模拟预测）已知函数，则（

）A．当时，函数在0,+∞上单调B．当时，函数在0,+∞上不单调C．当时，函数在0,+∞上不单调D．当时，函数在0,+∞上单调5．（23-24高二下·福建福州·期中）函数的单调递减区间是.6．（23-24高二下·上海·期中）函数的严格递减区间是.7．（24-25高三上·福建三明·阶段练习）已知函数.(1)若函数存在一条对称轴，求的值；(2)求函数的单调区间.易错点05：混淆极值点与导数等于零的点的区别典例（2024·辽宁丹东·一模）若是函数的极值点，则的值为（

）A． B．3 C．或3 D．或2【答案】B【分析】根据题意，求出函数的导数，由求出，然后针对的每一个值，进行讨论，验证是不是函数的极值点，即可得答案.【详解】，由题意可知或.当时，，令，解得或，函数在和上单调递增；令，解得，函数在上单调递减，所以是函数的极值点符合题意；当时，，所以函数是上的单调递增函数，没有极值，不符合题意，舍去，故选：B.【易错剖析】导数等于零点的点不一定是函数的极值点，对于可导函数而言，其极值点应满足两个条件，一是导数等于零，二是在极值点两边导函数的符号相反.【避错攻略】1．函数的极值函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点．2．求可导函数极值的一般步骤第一步：先确定函数的定义域；第二步：求导数；第三步：求方程的根；第四步：检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值．易错提醒：（1）①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号．②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点．（2）①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.1．（24-25高三上·吉林长春·阶段练习）若是函数的极小值点，则的极大值为（

）A． B． C． D．2．（24-25高三上·天津武清·期中）已知函数有极值点，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．3．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数在处有极大值，则（

）A．1 B．2 C．3 D．41．（2024·四川泸州·一模）已知函数在处取得极大值，则的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（24-25高三上·江西·阶段练习）若是函数的极小值点，则的极大值为（

）A． B． C． D．3．（24-25高二·全国·课后作业）若函数在处有最值，则a等于（

）A．2 B．1 C． D．04．（24-25高二上·全国·课后作业）设函数，若的极小值为，则（

）A． B． C． D．25．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）在上有极大值，无极小值，则的取值范围是（

）A． B． C． D．6．（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）已知在处有极值，则（

）A．或 B．或 C． D．7．（23-24高二下·山东临沂·期中）已知函数，当时，有极大值．则（

）A．2 B．1 C．0 D．易错点06：已知单调性求参数时混淆条件典例（24-25高三上·山东临沂·期中）若函数的单调递减区间恰为，则实数a的值为．【答案】【详解】由题意得，，∵函数的单调递减区间恰为，即的解集为，∴所以和4是的两根，∴．故答案为：−4.【易错剖析】本题易混淆f(x)在区间D上单调和f(x)的单调区间是D的区别而出错.【避错攻略】1.可导函数f(x)在某区间上单调（1）可以转化为在给定区间上恒成立；（2）给定的区间是原函数单调递增区间（或递减区间）的子区间，利用集合间关系求解2.可导函数f(x)在某区间上不单调（1）可转化为f'(x)在给定区间上有正有负，即在给定区间上有实根（必要条件），且有不等实根（充分条件）；（2）可以通过求函数值域的方法解决.（3）可以利用根的分布方法解决.3可导函数f(x)在某区间上存在单调区间，转化为（或）有解问题.易错提醒：已知函数的单调性求参数时，要注意以下几点：（1）熟悉基本函数的单调性。（2）注意下列二者之间的区别：函数在区间I上单调递增（减）；函数的单调递增（减）区间是D.注意：其中.（3）首先明确已知函数的单调性；然后根据已知条件列出关于所求参数的不等式，正确解出含参数的不等式，结果要用集合或区间的形式表示出来.1．若函数在上单调递增，则的取值范围为（

）A． B． C． D．2．（24-25高二上·全国·课后作业）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．3．（24-25高三上·上海·期中）已知是定义域为R的函数，，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．1．（2024·湖北·一模）已知函数是减函数，则的取值范围为（

）A． B． C． D．2．（2025高三·全国·专题练习）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．3．（22-23高二下·北京海淀·期中）若函数在上不单调，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．4．（24-25高三上·山东枣庄·阶段练习）已知函数，在上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．5．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为（

）A． B． C． D．6．（2019·四川凉山·一模）若都有成立，则的最大值为（

）A． B．1 C． D．易错点07：判断函数零点个数时画图出错典例（24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求函数导数，再根据题意将导函数为零转化为两个函数和有两个交点，然后利用导数求的单调性，进而确定图象，最后根据图象确定实数a的取值范围.【详解】因为，∴，由已知函数f(x)有两个极值点可得有两个解即和有两个交点，，∴当时，，在上单调递增，当时，，在1,+∞上单调递减，故，而时，，时，；大致图象如下：若和有两个交点只需.故选：A.【易错剖析】利用导数研究函数的图像变化时一定要区分图像趋向无穷时，是趋近无穷还是趋近于一个常数.【避错攻略】1．判断函数y=f（x）在某个区间上是否存在零点，主要利用函数零点的存在性定理进行判断．首先看函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是否连续，然后看是否有．若有，则函数在区间内必有零点．2．判断函数y=f（x）的零点个数时，常用以下方法：（1）解方程：当对应方程易解时，可通过解方程，判断函数零点的个数；（2）根据函数的性质结合已知条件进行判断；（3）通过数形结合进行判断，画函数图象，观察图象与轴交点的个数来判断．3．已知函数有零点（方程有根），求参数的取值范围常用的方法：方法1：直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．方法2：分离参数法：先将参数分离，再转化成求函数值域问题加以解决．方法3：数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，再数形结合求解．易错提醒：判断函数零点个数的方法：方法1：利用零点存在性定理判断法；方法2：代数法：求方程的实数根；方法3：几何法：对于不易求根的方程，将它与函数的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利