备战2026年高考数学考试易错题（新高考）专题12 概率（原题版）

专题12概率

目录

易错点01混淆互斥、对立、独立事件的概念

易错点02混淆“有放回”与“不放回”致错

易错点03古典概型问题忽略“等可能性”

易错点04对条件概率理解不透彻致错

易错点01：混淆互斥、对立、独立事件的概念

典例（2024·上海虹口·一模）已知事件A和事件B满足AB，则下列说法正确的是（）．

A．事件A和事件B独立B．事件A和事件B互斥

C．事件A和事件B对立D．事件A和事件B互斥

【答案】B

【分析】根据互斥事件、相互独立事件的定义判断即可.

【详解】因为事件A和事件B满足AB，则一定可以得到事件A和事件B互斥，但不一定对立，故B

正确，C错误；

因为PAB0，当PA，PB不为0时，事件A和事件B不独立，故A错误；

抛掷一枚骰子，记出现1点为事件A，出现2点为事件B，

则A2,3,4,5,6，B1,3,4,5,6，显然事件A和事件B不互斥，故D错误.

故选：B

【易错剖析】

本题容易混淆互斥事件、对立事件和相互独立事件的概率而出错.

【避错攻略】

1.互斥事件与对立事件

（1）互斥事件：在一次试验中，事件A和事件B不能同时发生，即AB=，则称事件A与事件B互

斥，可用韦恩图表示如下：

如果，，，中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件，．．，，彼此互斥．

A1A2…AnA1A2…An

（2）对立事件：若事件A和事件B在任何一次实验中有且只有一个发生，即AB不发生，

AB则称事件A和事件B互为对立事件，事件A的对立事件记为A．

【解读】互斥事件与对立事件的关系

①互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者

之一必须有一个发生．

②对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要不充

分条件，而“对立”则是“互斥”的充分不必要条件．

2、相互独立事件的概念

（1）对于两个事件A，B，如果P(B|A)P(B)，则意味着事件A的发生不影响事件B发生的概率．设

P(AB)

P(A)0，根据条件概率的计算公式，P(B)P(B|A)，从而P(AB)P(A)P(B)．

P(A)

由此可得：设A，B为两个事件，若P(AB)P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．

（2）相互独立事件的性质：如果事件A，B互相独立，那么A与B，A与B，A与B也都相互独立．

两个事件的相互独立性的推广：两个事件的相互独立性可以推广到n(n2，nN*)个事件的相互独立性，

即若事件，，，相互独立，则这个事件同时发生的概率．

A1A2…AnnP(A1A2An)P(A1)(A2)P(An)

易错提醒：(1)判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事

件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件.

(2)互斥事件与相互独立事件的相同点与不同点：①相同点：二者都是描述两个事件间的关系；

②不同点：互斥事件强调两事件不可能同时发生，即P(AB)＝0，相互独立事件则强调一个事件的发生与否

对另一个事件发生的概率没有影响.

1．（24-25高三上·上海·期中）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3

点或4点”，则事件A与事件B的关系为（）

A．是相互独立事件，不是互斥事件B．是互斥事件，不是相互独立事件

C．既是相互独立事件又是互斥事件D．既不是互斥事件也不是相互独立事件

2．（24-25高二上·湖北·期中）一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为1，2，3，4，5，

6的6个小球，从中任意摸出两个球．设事件A1“摸出的两个球的编号之和不超过6”，事件A2“摸出的两

个球的编号都大于3”，事件A3“摸出的两个球中有编号为4的球”，则（）

A．事件A1与事件A2是相互独立事件B．事件A1与事件A3是对立事件

C．事件A1A2与事件A3是互斥事件D．事件A1A3与事件A2A3是互斥事件

3．（24-25高三上·江苏南京·期中）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随

机取两次，事件A表示“第一次取出的球的数字是偶数”，事件B表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件

C表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（）

A．A与B为互斥事件B．B与C相互独立

32

C．P(AB)D．P(C|B)

55

1．（24-25高三上·上海黄浦·期末）掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上面的点数．设事件E：点数是奇数，

事件F：点数是偶数，事件G：点数是3的倍数，事件H：点数是4．下列每对事件中，不是互斥事件的

为（）

A．E与FB．F与GC．E与HD．G与H

2．（2024·全国·模拟预测）分别掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”记为事件A，“第二枚为正面”记

为事件B，“两枚结果相同”记为事件C，那么事件A与B，A与C间的关系是（）

A．A与B，A与C均相互独立B．A与B相互独立，A与C互斥

C．A与B，A与C均互斥D．A与B互斥，A与C相互独立

3．（24-25高三上·上海·开学考试）装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，有如下的一些

事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥

而非对立的事件是（）

A．①B．①②C．②③D．①②③

2573

4．（24-25高三上·上海杨浦·期末）已知PAB，PA，PB，则事件A与B的关系是（）

3284

A．A与B互斥不对立B．A与B对立

C．A与B相互独立D．A与B既互斥又独立

5．（2024·江苏·二模）随着北京冬奥会的举办，中国冰雪运动的参与人数有了突飞猛进的提升.某校为提升

学生的综合素养、大力推广冰雪运动，号召青少年成为“三亿人参与冰雪运动的主力军”，开设了“陆地冰

壶”“陆地冰球”“滑冰”“模拟滑雪”四类冰雪运动体验课程.甲、乙两名同学各自从中任意挑选两门课程学习，

设事件A“甲乙两人所选课程恰有一门相同”，事件B“甲乙两人所选课程完全不同”，事件C“甲乙两人

均未选择陆地冰壶课程”，则（）

A．A与B为对立事件B．A与C互斥

C．A与C相互独立D．B与C相互独立

6．（24-25高三上·上海·期中）对于一个古典概型的样本空间和事件A、B、C、D，其中n60，

nA30，nB10，nC20，nD30，nAB40，nAC10，nAD60，则（）

（注：nA表示集合A的元素个数）

A．A与B不互斥B．A与D互斥但不对立

C．C与D互斥D．A与C相互独立

易错点02：混淆“有放回”与“不放回”致错

典例（24-25高三上·天津南开·期中）从两名男生（记为B1和B2）、两名女生（记为G1和G2）中任意抽取

两人，分别采取不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样．在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男

生一女生的概率分别为（）

21111211

A．,B．,C．,D．,

32462364

【答案】A

【分析】分别写出样本空间，利用古典概型的概率计算公式求解.

【详解】从两名男生（记为B1和B2）、两名女生（记为G1和G2）中任意抽取两人，

记事件A“抽到的两人是一男生一女生”，

在无放回简单随机抽样方式下的样本空间为:

Ω1B1,B2,B1,G1,B1,G2,B2,B1,B2,G1,B2,G2,G1,B1,G1,B2,G1,G2,G2,B1,G2,B2,G2,G1

共12个样本点，

其中AB1,G1,B1,G2,B2,G1,B2,G2,G1,B1,G1,B2,G2,B1,G2,B2有8个样本点，所以

82

P(A).

123

在有放回简单随机抽样方式下的样本空间为:

Ω2B1,B1,B1,B2,B1,G1,B1,G2,B2,B1,B2,B2,B2,G1,B2,G2,G1,B1,G1,B2,

G1,G1,G1,G2,G2,B1,G2,B2,G2,G1,G2,G2共16个样本点，

其中AB1,G1,B1,G2,B2,G1,B2,G2,G1,B1,G1,B2,G2,B1,G2,B2有8个样本点，所以

81

P(A).

162

故选：A.

【易错剖析】

本题求解时容易混淆“有放回”和“无放回”的区别而出错.

【避错攻略】

1.定义和操作方式

（1）无放回抽取：每次抽取后，抽出的元素不再放回原处。例如，如果有10个元素，第一次抽取后

剩下9个，第二次抽取时只剩下9个元素可供选择。

（2）有放回抽取：每次抽取后，元素仍然放回原处，搅拌均匀后再进行下一次抽取。这样，每次抽取

时元素总数保持不变和概率不变。

2.概率模型和应用场景

（1）无放回抽取：适用于超几何分布，主要用于处理总体中成功与失败的独立事件，如抽奖活动中奖

概率等。

（2）有放回抽取：适用于二项分布，常用于重复独立试验的情况，如多次投掷硬币、多次独立试验等。

3.数学表达和计算方法

（1）无放回抽取：计算概率时需要考虑元素的顺序和组合数。例如，从n个元素中抽取m个元素的组

合数为

（2）有放回抽取：每次抽取是相互独立的，因此可以直接使用二项分布公式进行计算，即P(X=k)=

binom(n,p,k)，其中n是试验次数，p是成功的概率，k是成功的次数。

易错提醒：在处理与抽样有关的概率问题时要区分“有放回抽取”和“无放回抽取”的不同，有放回抽取

时每一次抽取背景是一样的，即总体个数不变概率不变；无放回抽取时每一次抽取背景是变化的，即总体

个数要变，概率也变.

1．（2024·四川宜宾·一模）从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中无放回随机抽取两张，则抽到的两张卡

片数字之积是3的倍数的概率为（）

3132

A．B．C．D．

10353

2．（24-25高三上·浙江·期中）某袋子中有大小相同的4个白球和2个红球，甲乙两人先后依次从袋中不放

回取球，每次取1球，先取到红球者获胜，则甲获胜的概率（）

8432

A．B．C．D．

15553

3．（2024·上海徐汇·一模）一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同.每次

将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子.经过重复摸球足够多次试验后发现，摸到黑球的

频率稳定在0.1左右，则据此估计盒子中红球的个数约为（）

A．40个B．45个C．50个D．55个

1

1．（24-25高三上·专题训练）从甲袋中随机摸出1个球是红球的概率是，从乙袋中随机摸出1个球是红

3

1

球的概率是1，从两袋中有放回的各摸两次球且每次摸出一个球，则是（）

26

A．4个球不都是红球的概率B．4个球都是红球的概率

C．4个球中恰有3个红球的概率D．4个球中恰有1个红球的概率

2．（23-24高二下·江苏苏州·期末）在一个口袋中装有大小和质地均相同的5个白球和3个黄球，第一次从

中随机摸出一个球，观察其颜色后放回，同时在袋中加入两个与所取球完全相同的球，第二次再从中随机

摸出一个球，则此次摸出的是黄球的概率为（）

3341

A．B．C．D．

16852

3．（24-25高三·上海·随堂练习）盒中有a个红球，b个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，

并加上同色球c个，再从盒中第二次抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率为（）

bbc

A．B．

ababc

ab

C．D．

ababc

4．（24-25高三上·江西赣州·阶段练习）从1，2，3，4，5这5个数字中每次随机取出一个数字，取出后放

回，连续取两次，至少有一个是奇数的概率为（）

612421

A．B．C．D．

2525525

5．（2024高三·全国·专题练习）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回地随机抽取2张，则抽

到的2张卡片上的数字之和是5的倍数的概率为（）

1122

A．B．C．D．

5353

6．（2024高三·全国·专题练习）口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、

乙两人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为

偶数算甲赢，否则算乙赢.

(1)求甲、乙两人摸出的两个球编号之和为6的概率；

(2)这种游戏规则公平吗？试说明理由.

1

7．袋中装有围棋黑色和白色棋子共7枚，从中任取2枚棋子都是白色的概率为.现有甲、乙两人从袋中

7

轮流摸取一枚棋子.甲先摸，乙后取，然后甲再取，………，取后均不放回，直到有一人取到白棋即终止.每

枚棋子在每一次被摸出的机会都是等可能的.用X表示取棋子终止时所需的取棋子的次数.

（1）求随机变量X的概率分布列和数学期望E(X)；

（2）求甲取到白棋的概率.

易错点03：古典概型问题忽略“等可能性”

【典例】（2025全国高三专题训练）甲乙两人进行一场抽卡游戏，规则如下：有编号1,2,3,4,5,6,7的

卡片各1张，两人轮流从中不放回的随机抽取1张卡片，直到其中1人抽到的卡片编号之和等于12或者所

有卡片被抽完时，游戏结束.若甲先抽卡，求甲抽了3张卡片时，恰好游戏结束的概率是.

29

【答案】

210

【解析】根据题意可知甲抽了3张卡片时，恰好游戏结束相当于从7张卡片中抽取了5张，

且甲抽取的三张卡片数字之和为12，乙抽取的两张卡片数字之和不为12；

5

总的情况相当于从7张卡片中抽取了5张并进行全排列，即共A7种排法；

其中三张卡片数字之和为12的组合有1,4,7；1,5,6；2,3,7；2,4,6；3,4,5共5种情况；

当甲抽取的数字为1,4,7；1,5,6；2,3,7；3,4,5时，

32

乙在剩余的4个数字中随意抽取两张卡片再进行排列，共有4A3A4种；

当甲抽取的数字为2,4,6时，

322

若乙抽取的两张卡片数字可能为5,7，此时不合题意，此时共有A3A4A2种；

32322

所以符合题意的排列总数为4A3A4A3A4A2种，

4A3A2A3A2A2

可得所求概率为3434246126105829

P5.

A7765437543210

29

故答案为：

210

【易错剖析】

在处理古典概型问题时一定要注意基本事件的等可能性，否则容易误用古典概型概率公式而出错.

【避错攻略】

1.古典概型的定义

一般地，若试验E具有以下特征：

①有限性：样本空间的样本点只有有限个；

②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.

称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.

2.古典概型的概率公式

一般地，设试验E是古典概型，样本空间包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义

knA

事件A的概率PA.

nn

3.古典概型解题步骤

（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；

（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；

（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；

A包含的基本事件的个数

（4）利用公式P(A)求出事件A的概率．

基本事件的总数

易错提醒：在解决这类问题时，首要步骤是确认试验是否符合古典概型的特征。随后，关键在于构建样本

空间，这一过程中需特别注意两点：一是样本中的元素是否存在顺序性，因为顺序的不同会构成不同的样

本空间；二是取样时是否允许元素重复，即取样是放回还是不放回，这直接决定了样本中元素是否可以重

复出现。明确了这两点后，就可以计算出样本空间的总样本点数量，以及所求事件对应的样本点数量，最

后利用古典概型的概率计算公式，得出所求事件的概率。

1．（2024·山东日照·三模）从标有1，2，3，4，5的5张卡片中有放回地抽取三次，每次抽取一张，则出

现重复编号卡片的概率是（）

12132223

A．B．C．D．

25252525

2．（2024·广东广州·模拟预测）一个盒子里装有3个黑球，2个白球，它们除颜色外完全相同.现每次从袋

中不放回地随机取出一个球，记事件Ak表示“第k次取出的球是黑球”，k1,2,3，则下列结论不正确的是（）

39

A．PAAB．PAA

12101210

13

C．PA∣AD．PA

21335

3．（2024·全国·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，

每次取1个球.记m为前两次取出的球上数字的平均值，n为取出的三个球上数字的平均值，则m与n之差

的绝对值不大于1的概率为．

2

1．（24-25高三上·江苏连云港·期末）已知在8个电子元件中，有2个次品，6个合格品，每次任取一个测

试，测试完后不再放回，直到2个次品都找到为止，则经过3次测试恰好将2个次品全部找出的概率为（）

1111

A．B．C．D．

2814756

2．（2025高三上·专题训练）从两名男生和两名女生中任意抽取两人，分别采取有放回简单随机抽样和不

放回简单随机抽样，在以上两种抽样方式下，抽到的两人都是女生的概率分别为（）

11111111

A．，B．，C．，D．，

42264664

3．（2024·全国·模拟预测）4个产品中有3个正品，1个次品．现每次取出1个做检查（检查完后不再放回），

直到次品被找到为止，则经过3次检查恰好将次品找到的概率是（）

1113

A．B．C．D．

4324

4．（2024·广东佛山·模拟预测）在《周易》中，长横“”表示阳爻，两个短横“”表示阴爻.有放回

地取阳爻和阴爻三次合成一卦，共有238种组合方法，这便是《系辞传》所说“太极生两仪，两仪生四象，

四象生八卦”.有放回地取阳爻和阴爻一次有2种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻两次有四种情况，有放

回地取阳爻和阴爻三次，八种情况.所谓的“算卦”，就是两个八卦的叠合，即共有放回地取阳爻和阴爻六次，

得到六爻，然后对应不同的解析.在一次所谓“算卦”中得到六爻，这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率是

（）

1595

A．B．C．D．E．均不是

716168

5．（2024·广西·模拟预测）每次从0～9这10个数字中随机取一个数字（取后放回），连续取n次，依次

得到n个数字组成的数字序列．若使该序列中的数字0至少出现一次的概率不小于0.9，则n的最小值是（）

（参考数据lg90.954）

A．23B．22C．21D．20

6．（24-25高二上·北京平谷·阶段练习）从1，2，3，4，5这5个数字中不放回地任取两个数，则两个数都

是奇数的概率是.

7．（24-25高三上·广西贵港·开学考试）甲､乙玩一个游戏，游戏规则如下：一个盒子中装有标号为1,2,3,4,5,6

的6个大小质地完全相同的小球，甲先从盒子中不放回地随机取一个球，乙紧接着从盒子中不放回地随机

取一个球，比较小球上的数字，数字更大者得1分，数字更小者得0分，以此规律，直至小球全部取完，

总分更多者获胜.甲获得3分的概率为.

8．（24-25高三上·天津·阶段练习）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选

的概率为；从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上

的数字之积是4的倍数的概率为.

9．（2024·浙江宁波·一模）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个大小质地完全相同的小球.甲、乙

两人玩游戏，规则如下：第一轮，甲先从盒子中不放回地随机取两个球，乙接着从盒子中不放回地随机取

一个球，若甲抽取的两个小球数字之和大于乙抽取的小球数字，则甲得1分，否则甲不得分；第二轮，甲、

乙从盒子中剩余的两个球中依次不放回地随机取一个球，若甲抽取的小球数字大于乙抽取的小球数字，则

甲得1分，否则甲不得分.则在两轮游戏中甲共获得2分的概率为.

易错点04：对条件概率理解不透彻致错

典例（24-25高二上·辽宁·期末）某高中为了解学生的肥胖是否与经常饮用碳酸饮料有关，现对400名高二

1

学生进行了问卷调查，学生饮用碳酸饮料的统计结果如下：学校有的学生每天饮用碳酸饮料不低于500

4

12

毫升，这些学生的肥胖率为，每天饮用碳酸饮料低于500毫升的学生的肥胖率为.若从该中学高二的学

39

生中任意抽取一名学生，则该学生肥胖的概率为（）

1137

A．B．C．D．

42412

【答案】A

【分析】设相应事件,根据题意利用全概率公式运算求解即可.

13

【详解】设“学生每天饮用碳酸饮料不低于500毫升”为事件A，则PA，PA，

44

12

设“学生肥胖”为事件B，则PBA，PBA，

39

11321

由全概率公式可得PBPAPBAPAPBA，

43494

1

所以若从该中学高二的学生中任意抽取一名学生，则该学生肥胖的概率为.

4

故选：A

【易错剖析】

本题容易混淆“交事件概率”与“条件概率”的区别而致错.

【避错攻略】

1、条件概率

P(AB)

（1）条件概率的定义：一般地，设A，B为两个事件，且P(A)0，称P(B|A)为在事件A发

P(A)

生的条件下，事件B发生的条件概率．

（2）条件概率的性质

①条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即0P(B|A)1．

②必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0．

③如果B与C互斥，则P(BC|A)P(B|A)P(C|A)．

2、全概率公式

（1）全概率公式：P(B)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)；

（）若样本空间中的事件，，，满足：

2A1A2…An

①任意两个事件均互斥，即AiAj，i，j1，2，，n，ij；

②；

A1A2An

③PAi0，i1，2，，n．

则对中的任意事件，都有，且

BBBA1BA2BAn

nn

．

P(B)P(BAi)P(Ai)P(B|Ai)

i1i1

3、贝叶斯公式

P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)

（1）一般地，当0P(A)1且P(B)0时，有P(AB)

P(B)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)

（）定理若样本空间中的事件，，，满足：

22A1A2An

①任意两个事件均互斥，即AiAj，i，j1，2，，n，ij；

②；

A1A2An

③0PAi1，i1，2，，n．

则对中的任意概率非零的事件，都有，

BBBA1BA2BAn

P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)

且P(AB)jjjj

jP(B)n

P(Ai)P(B|Ai)

i1

易错提醒：解决条件概率问题的步骤

第一步，判断是否为条件概率，若题目中出现“已知”“在……前提下”等字眼，一般为条件概率．题

目中若没有出现上述字眼，但已知事件的出现影响所求事件的概率时，也需注意是否为条件概率．若为条

件概率，则进行第二步．

第二步，计算概率，这里有两种思路：

缩减样本空间法计算条件概率，如求P(A|B)，可分别求出事件B，AB包

思路一nAB

含的基本事件的个数，再利用公式P(A|B)＝计算

nB

直接利用公式计算条件概率，即先分别计算出P(AB)，P(B)，再利用公

思路二PAB

式P(A|B)＝计算

PB

32

1．（2025高三·全国·专题练习）已知甲、乙去北京旅游的概率分别为，，甲、乙两人中至少有一人去

43

5

北京旅游的概率为，且甲是否去北京旅游对乙去北京旅游有一定影响，则在乙不去北京的前提下，甲去

6

北京旅游的概率为（）

4321

A．B．C．D．

7532

2．（24-25高三上·天津河东·期末）某厂产品有70%的产品不需要调试就可以出厂上市，另30%的产品经

过调试以后有80%能出厂，则该厂产品能出厂的概率；任取一出厂产品，求未经调试的概率．

3．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）现有质量分别为1,2,3,4,5,7千克的六件货物，将它们随机打包装入

三个不同的箱子，每个箱子装入两件货物，