《微积分（第二版）》全套教学课件

（第二版）微积分

第1章

函数、极限与连续第2章

导数与微分2.5.3微分的几何意义第3章

中值定理与导数的应用第4章

不定积分第5章

定积分及其应用第6章

多元函数微积分第7章

无穷级数第8章

微分方程与差分方程/第9章MATLAB在微积分中的应用全套可编辑PPT课件

1.1函数1.2数列的极限1.3函数的极限1.4无穷小量与无穷大量第1章1.5极限运算法则1.6极限存在准则和两个重要极限1.7无穷小量的比较1.8函数的连续性1.9闭区间上连续函数的性质函数、极限与连续微积分的研究对象是变量.所谓函数关系就是变量之间的依赖关系,极限方法是研究变量的一种基本方法。本章将介绍函数、极限和函数的连续性等基本概念及它们的一些性质。第1章1.1.1函数的概念设x和y

是两个变量,D

是一个非空实数集合.如果对于每一个x∈D,变量y按照一定的法则f,有唯一确定的实数与之对应,则称y

是x

的函数,记作y=f(x).其中x

称为自变量,y称为因变量,D

称为定义域,也可记作Df

或D(f).定义1当x取数值x0∈D,与x0对应的y

的数值称为函数在点x0

处的函数值,记为f(x0)或y

|x=x0.全体函数值的集合称为函数的值域,记作Rf

或f(D),即函数f(x)中的f

表示函数的对应关系.定义域和对应关系f

是确定函数关系的两个要素。如果两个函数的对应关系f

和定义域D

都相同，则这两个函数是相同的。至于自变量和因变量用什么记号表示,则无关紧要。在函数的定义中，对每个x∈D，对应的函数值y总是唯一的，这样定义的函数也称为单值函数.如果给定一个对应法则，按这个法则，对每一个x∈D，总有确定的y值与之对应，但这个y

不总是唯一的，我们称这种法则确定了一个多值函数.对于多值函数，往往只需附加一些条件，就可以将它化为单值函数.本书中没有特别说明的函数，都是指单值函数.函数的表示法一般有三种:表格法、图形法和解析法(公式法).这三种方法各有特点:表格法一目了然,图形法形象直观,解析法便于计算和推导.在实际中可结合使用这三种方法.函数的定义域通常按如下两种情形来确定:一种是对于有实际背景的函数,其定义域由变量的实际意义确定;另一种是抽象地用数学解析式表示的函数,其定义域是使得该解析式有意义的一切实数组成的集合,称之为函数的自然定义域.由于中学数学对此已做详细讨论,在此不再举例说明.下面举几个函数的例子.图1-1图1-2对于任何实数x，有在例1和例2中看到,有时一个函数要用几个式子表示,这种在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式子来表示的函数,通常称为分段函数.

【例4】设某厂生产某种产品1000千克,定价为130元/千克.当一次售出600千克以内时,按原价出售;若一次成交超过600千克时,超过600千克的部分按原价的9折出售,试将总收入表示成销售量的函数.

解设销售x

千克产品的总收入为f(x),则这是一个分段函数,其定义域为

D=[0,1000].用几个式子表示一个(不是几个!)函数,不仅与函数定义并无矛盾,而且有现实意义.在自然科学、工程技术和经济学中,经常会遇到分段函数.图1-31.1.2函数的几种特性设函数f(x)的定义域为D,数集X⊂D.如果存在一个正数M,使得|f(x)|≤M

对任一x∈X

都成立,则称函数f(x)在X上有界.如果这样的M

不存在,则称f(x)在X上无界.例如,函数y=cosx

在(-∞,+∞)内有界,因为对于任何实数x,都有|cosx|≤1.函数的有界性与函数f(x)中自变量x

所取的区间有关.例如,,它在[1,+∞)上有界,在(0,1)内无界.设函数f(x)的定义域为D,区间I⊂D.如果对于区间I

上任意两点x1

和x2,当x1<x2时,恒有f(x1)<f(x2),则称函数f(x)在区间I

上是单调增加的(图1-4);如果对于区间I

上任意两点x1

和x2,当x1<x2

时,恒有f(x1)>f(x2),则称函数f(x)在区间I上是单调减少的(图1-5).单调增加和单调减少的函数统称为单调函数,使函数单调的区间称为函数的单调区间.1.函数的有界性2.函数的单调性例如,y=x3

在区间(-∞,+∞)内是单调增加的,y=x2在区间(-∞,+∞)不是单调函数,但在区间0,+∞上是单调增加的,在区间-∞,0上是单调减少的.图1-4图1-5设函数f(x)的定义域D

关于原点对称,如果对于任一x∈D,f(-x)=f(x)恒成立,则称f(x)为偶函数.如果对于任一x∈D,f(-x)=-f(x)恒成立,则称f(x)为奇函数.不是偶函数也不是奇函数的函数,称为非奇非偶函数.例如,函数y=sinx

是奇函数,函数y=cosx

是偶函数,函数y=sinx+cosx

是非奇非偶函数.由定义显然有:偶函数的图形关于y

轴对称(图1-6),奇函数的图形关于原点对称(图1-7).3.函数的奇偶性图1-6图1-7设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个不为零的常数l,使得对于任一x∈D,有(x±l)∈D,且f(x+l)=f(x)恒成立,则称f(x)为周期函数,l

称为f(x)的周期.通常我们说周期函数的周期是指最小正周期.例如,函数sinx,cosx

都是以2π为周期的周期函数;函数tanx

是以π为周期的周期函数.周期函数f(x)的图形具有周期性.若其周期为l,则在每个长度为l的区间上,函数f(x)的图形具有相同的形状.4.函数的周期性1.1.3反函数与复合函数设函数y=f(x)的定义域为D,值域为f(D).对任意y∈f(D),如果有一个确定的且满足y=f(x)的x∈D

与之对应,其对应关系记为f-1.这个定义在f(D)上的函数x=f-1(y)称为y=f(x)的反函数.它的定义域是f(D),值域是D.习惯上用x

表示自变量,用y

表示因变量.故反函数又记为:y=f-1(x),x∈f(D).一个函数如果有反函数,它必定是一一对应的函数关系.由于单调函数是一一对应的,所以单调函数一定存在反函数.相对于反函数y=f-1(x)来说,原来的函数y=f(x)称为直接函数.把直接函数y=f(x)和它的反函数y=f-1(x)的图形画在同一坐标平面上,这两个函数的图形关于直线y=x是对称的(图1-8).这是这两个函数的因变量与自变量互换的缘故.1.反函数1.1.3反函数与复合函数【例5】求y=3x-1的反函数.解由y=f(x)=3x-1可以求出将上式中的x

与y

互换,得y=3x-1的反函数为:设函数y=f(u)的定义域为Df,函数u=φ(x)的值域为Rφ.如果Df

与Rφ

的交集不是空集,即Df∩Rφ≠⌀,则称函数y=f[φ(x)]为由函数y=f(u)和函数u=φ(x)构成的复合函数.u

称为中间变量.复合函数f[φ(x)]的定义域一般为u=φ(x)的定义域的一个非空子集.函数f

与函数φ

构成的复合函数通常记为

,即(

)=f[φ(x)].1.反函数2.复合函数图1-8有时,也会遇到两个以上函数所构成的复合函数,只要它们顺次满足构成复合函数的条件.例如,函数可构成复合函数这里u

及v

都是中间变量.1.1.4初等函数1.基本初等函数图1-9图1-10图1-9图1-10

(3)对数函数函数y=logax(a

是常数且a>0,a≠1)叫作对数函数.它是指数函数y=ax

的反函数,其定义域为(0,+∞),值域为(-∞,+∞).图形都经过点(1,0).当a>1时,y=logax

单调增加.当0<a<1时,y=logax

单调减少.对数函数的图形在y轴的右方,如图1-12所示.当a=e时,y=logex

简记为lnx,它是常见的对数函数,称为自然对数.其中e=2.71828…为无理数.图1-13

(4)三角函数三角函数有正弦函数y=sinx,余弦函数y=cosx,正切函数y=tanx,余切函数y=cotx,正割函数y=secx,余割函数y=cscx.y=sinx

与y=cosx

都是以2π为周期的函数,它们的定义域都是(-∞,+∞),值域都是闭区间-1,1.y=sinx

是奇函数,y=cosx

是偶函数,如图1-13所示.图1-14图1-15图1-16图1-17图1-18

(5)反三角函数由于三角函数是周期函数,对于其值域内的每个y

值,都有无穷多个x

值与之对应,因此必须限制其在单调区间上才能建立反三角函数.图1-19图1-20图1-21

y=arccotx

是余切函数y=cotx

在区间(0,π)内的反函数,叫作反余切函数.其定义域为(-∞,+∞),值域为(0,π),并在定义域内单调减少.作图时作x=coty的图形,取y∈(0,π)内的一段曲线,如图1-21所示.由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.例如等都是初等函数.本书中所讨论的函数大都是初等函数.2.初等函数1.2.1数列的概念所谓数列,直观地说就是将一些数排成一列,这样的一列数就称为一个数列.数列中的数可以是有限多个,也可以是无限多个.前者称为有限数列,后者称为无限数列.中学讨论的一般是有限数列,我们以后研究的通常是无限数列.一般地,有下述定义:

定义1

设xn=f(n)是一个以正整数集为定义域的函数,将其函数值xn

按自变量n从小到大的次序排成一列:x1,x2,x3,…,xn,….称这列有次序的数为一个数列,记为xn

或xn

=f(n).数列中的每一个数,叫作数列的项.第n

项xn

叫作数列的一般项或通项.例如,都是数列的例子,它们的通项依次为在几何上,数列{xn}可看作数轴上的一个动点,它依次取数轴上的点x1,x2,x3,…,xn,…,如图1-22所示.图1-22

定义2

若数列{xn}满足x1≤x2≤…≤xn≤xn+1≤…,则称xn

为单调增加数列;若数列xn

满足x1≥x2≥…≥xn≥xn+1≥…,则称xn

为单调减少数列.单调增加和单调减少数列统称为单调数列.例如,数列n为单调增加数列,数列为单调减少数列.

定义3若存在正常数M,使得对于一切xn,n=1,2,…,都有|

xn|≤M,则称数列{

xn}是有界的,否则称{

xn}是无界的.注:有界数列的等价定义:若存在常数a,b,对所有的n(n=1,2,…),都有a≤xn≤b,则称数列xn

为有界数列,其中a

称为数列xn

的下界,b

称为数列xn

的上界.1.2.2数列极限的定义对数列{

xn},通常要研究它的变化趋势,即要讨论当n

无限增大时,xn

是否能与某个常数a

无限接近.例如,对于数列通过观察知,当n无限增大时,与常数0无限接近,称0为数列的极限.上述定义可称为数列极限的定性定义.此定义只给出了数列极限的定性描述,没有给出数列极限的定量分析,很难用此定义进行严格的数学论证.因此,有必要给出数列极限的精确、量化的定义.在数列极限的ε-N

定义中,正数ε具有两重性:任意性与相对固定性.只有ε

的任意性,才能保证xn

与a

无限接近;只有ε

的相对固定性,才能通过给定的ε

找到正整数N.N是与ε

有关的,它随着ε

的给定而选定.图1-23用定义验证数列{

xn}的极限是a,关键在于设法由任意给定的ε>0,求出一个相应的正整数N,使得当n>N

时,不等式|

xn-a|<ε

成立.1.2.3收敛数列的性质因为数列{xn}可看作自变量为正整数n

的函数,即xn=f(n),所以数列的极限是函数的极限的一种特殊类型,即当自变量n

取正整数而无限增大(n→∞)时函数xn=f(n)的极限.下面介绍自变量的变化过程为其他情形时函数f(x)的极限,主要研究两种情形:

(1)自变量x

任意地接近于有限值x0

或者趋近于有限值x0(记作x→x0)时,对应的函数值f(x)的变化情形;

(2)自变量x

的绝对值|

x|无限增大即趋于无穷大(记作x→∞)时,对应的函数值f(x)的变化情形.1.3.1x→x0时函数f(x)的极限为了研究x

趋近于x0

时函数的极限,先介绍邻域的概念.设δ>0,称开区间(a-δ,a+δ)为点a

的δ

邻域,记作U(a,δ).即

U(a,δ)={

x|a-δ<x<a+δ

},点a

称为邻域的中心,δ

称为邻域的半径(图1-24).图1-241.邻域设函数f(x)在点x0

的某个去心邻域内有定义,如果在x→x0

的过程中,对应的函数值f(x)无限接近于常数A,则称A

是函数f(x)当x→x0

时的极限.

x→x0表示x

充分接近于x0,但x≠x0,可用不等式0<|x-x0|<δ

表示,其中δ是某个正数.从几何上看,适合不等式0<|x-x0|<δ

的x

的全体,就是x0

的去心δ

邻域,而半径δ

则体现了x

接近x0

的程度,δ

越小,x

越接近于x0.在x→x0

的过程中,对应的函数值f(x)无限接近于常数A,就是|

f(x)-A|能任意小,可用不等式|f(x)-A<ε|来表示,其中ε

是任意给定的要多小有多小的正数.通过以上分析,我们给出x→x0

时函数的极限的定义如下:

定义1设函数f(x)在点x0

的某一去心邻域内有定义,如果存在常数A,对于任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在正数δ,使得当x

满足不等式0<|x-x0|<δ

时,对应的函数值f(x)都满足不等式|

f(x)-A|<ε,则常数A

就叫作函数f(x)当x→x0时的极限,记作如果这样的常数A

不存在,则称x→x0

时,函数f(x)没有极限,习惯上表达成不存在.2.x→x0时函数极限的定义注:(1)定义中的ε

刻画了f(x)与常数A

的接近程度.ε

是任意给定的,δ

一般是随ε而确定的.

(2)定义中0<|x-x0|表示x≠x0,所以x→x0

时f(x)有没有极限,与f(x)在点x0是否有定义并无关系.

=A在几何上的表示:对于任意给定的两条平行直线y=A-ε,y=A+ε,总能找到一个正数δ,当x

在x0

的去心δ

邻域内取值时,对应的曲线y=f(x)全部位于两条平行直线y=A-ε,y=A+ε之间,如图1-25所示.图1-253.左极限与右极限设函数f(x)当|

x|大于某一正数时有定义,如果在x→∞的过程中,对应的函数值f(x)无限接近于常数A,则称A

是函数f(x)当x→∞的极限.

x→∞表示|

x|无限增大,可用不等式|

x|>X

表示,其中X

为某一正数.f(x)无限接近于常数A,可用不等式|f(x)-A|<ε

表示,其中ε

是任意给定的正数.于是,可给出x→∞时f(x)的极限为A的精确定义如下:1.3.2x→∞时函数f(x)的极限

定义2设函数f(x)当|

x|大于某一正数时有定义,如果存在常数A,对于任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在正数X,使得当x

满足不等式|

x|>X

时,对应的函数值f(x)都满足不等式|

f(x)-A|<ε,则常数A

就叫作函数f(x)当x→∞时的极限,图1-271.3.3函数极限的性质1.4.1无穷小量

1.无穷小量的定义

定义1

在自变量x

的某一变化过程中,如果函数f(x)的极限为零,则称函数f(x)在自变量这一变化过程中为无穷小量,简称无穷小.

2.无穷小的基本性质

性质1有限个无穷小的代数和仍是无穷小.1.4.2无穷大量在自变量x

的某一变化过程中,对应的函数值的绝对值|

f(x)|无限增大,则称函数f(x)在自变量x

的这一变化过程中为无穷大量.类似函数极限的情形,可给出无穷大量的精确定义如下(以x→x0

为例):如果x→x0

时函数f(x)<0且|f(x)|无限增大,则称函数f(x)为当x→x0

时的负无穷大量,简称负无穷大,记为limf(x)=-∞.对于其他极限过程(x→x0+,x→x0-,x→∞,x→+∞,x→-∞)中的无穷大的定义,可类似给出.

注:(1)无穷大不是数,不可与很大的数混为一谈.

(2)limf(x)=∞仅是一个记号,它表示函数极限不存在的情形之一.但为叙述方便起见,也可将其称为“当x→x0时,函数f(x)的极限为∞”.

(3)与无穷小类似,无穷大仍同自变量的变化过程密切联系着,谈论无穷大时必须指出自变量的变化过程.x→x0x→x0图1-281.5.1极限的四则运算法则定理1设在自变量x

的同一变化过程中有limf(x)=A,limg(x)=B,则1.5.2复合函数的极限运算法则1.6.1极限存在准则1.6.2两个重要极限1.6.3连续复利公式设有一笔贷款A0(称为本金),年利率为r,则一年末的本利和为A1=A0(1+r);二年末的本利和为A2=A1(1+r)=A0(1+r)2;k

年末的本利和为如果一年分n期利息,年利率仍为r,则每期利率为且前一期的本利和为后一期的本金,于是一年末的本利和为年末共计复利nk次,其本利和为式(3)称为k年末本利和的离散复利公式.如果计息期数n→∞,即利息随时计入本金(称为连续复利),则k

年末的本金和为式(4)称为k

年末本利和的连续复利公式.式(3)或式(4)中的A0称为现在值或现值,Ak

称为将来值.已知A0

求Ak,称为复利问题;已知Ak

求A0,称为贴现问题,这时称利率r为贴现率.1.7.1无穷小量比较的概念我们知道,无穷小量(简称无穷小)的极限为零,但不同的无穷小趋于零的速度可能是不一样的.例如,当x→0时,x,2x,x2,ex-1都是无穷小,但从表1-1可以看出,它们趋于零的速度是不同的.两个无穷小的商的极限的不同情况,反映了无穷小趋于零的快慢不同,可通过比较两个无穷小趋于零的速度而引入无穷小的阶的定义.1.7.2无穷小量的等价代换为了简化求极限,常用到等价无穷小的代换定理.

定理1设α,α‘,β,β’都是在同一个自变量变化过程中的无穷小,且等也是在这个变化中的极限.若α~α',β~β’,且

存在(或为∞),则自然界中有许多现象,如气温的变化、河水的流动、植物的生长等,都是随时间在连续不断地变化着的.这种现象反映在数学上,就是函数的连续性.它是微积分的又一重要概念.1.8.1函数连续性的概念1.函数的改变量(增量)设变量u

从它的一个初值u1

变到终值u2,终值与初值的差u2-u1

就叫作变量u

的改变量,或称增量,记作Δu,即Δu=u2-u1.增量Δu可以是正的,也可以是负的,Δu

是一个整体不可分割的记号.设函数y=f(x)在x0

的某个邻域内有定义,当自变量x

在这个邻域内从初值x0

变图1-30到终值x时,相应的函数值从初值f(x0)变到终值f(x),这时,自变量x的增量为Δx=x-x0,函数y的对应增量为由于函数y=f(x)在点x0处连续的本质特征(图1-30)是:当自变量x

在x0

处变化很微小时,对应的函数值变化也很微小.或者说,当自变量x

在x0的增量Δx

很微小时,相应的函数增量Δy

也很微小,即当Δx→0时,对应的Δy→0.由此便可得到函数y=f(x)在点x0处连续的定义如下:2.函数在一点连续的概念图1-30

定义2设函数y=f(x)在点x0

的某邻域内有定义,如果limf(x)=f(x0),则称函数y=f(x)在点x0

处连续.x→x0由于函数的连续性是以极限来定义的,而极限可分为左、右极限,因此,连续也可分为左、右连续来讨论.3.左连续与右连续如果函数y=f(x)在区间(a,b)内的每一点都连续,则称f(x)在(a,b)内连续.如果函数f(x)在(a,b)内连续,并且在区间的左端点x=a

处右连续,在右端点x=b处左连续,则称函数f(x)在闭区间a,b

上连续.类似地,也可以定义函数在半闭区间或无穷区间上的连续性.若函数f(x)在某区间I上连续,则称f(x)是区间I上的一个连续函数,并称区间I

是f(x)的连续区间.显然,在区间I上的连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.4.函数在区间上的连续性1.8.2函数的间断点及其分类设函数f(x)在点x0

的某去心邻域内有定义,如果函数f(x)有下列三种情形之一:

(1)f(x)在点x0

处没有定义;

(2)limf(x)不存在;

(3)f(x)在点x0

处有定义,且limf(x)存在,但limf(x)≠f(x0).则函数f(x)在点x0

处不连续,也称函数f(x)在点x0

处间断.点x0

称为函数f(x)的不连续点或间断点.x→x0x→x0x→x0一般地,在x→x0的过程中,若函数值f(x)无限地在两个不同数之间变动,则称x0为f(x)的振荡间断点.通常将函数的可去间断点和跳跃间断点统称为函数的第一类间断点.第一类间断点的特征是函数f(x)在间断点x0处的左、右极限都存在.在第一类间断点中,左、右极限相等者(极限存在),称为可去间断点;左、右极限不相等者,称为跳跃间断点.不是第一类间断点的任何间断点,称为第二类间断点.第二类间断点的特征是函数f(x)在间断点x0

处的左、右极限至少有一个不存在.无穷间断点和振荡间断点显然是第二类间断点.1.8.3连续函数的运算及初等函数的连续性由函数在一点连续的定义和极限的四则运算法则,立即可得出下面的定理.

定理1设函数f(x)和g(x)在点x0

处连续,则它们的和(差)f±g、积f·g

及商

(当g(x)≠0时)都在点x0

处连续.1.连续函数的和、差、积、商的连续性2.反函数与复合函数的连续性

定理2

如果函数y=f(x)在某区间上单调增加(或减少)且连续,则它的反函数y=f-1(x)在相应的区间上单调增加(或减少)且连续.从几何直观上看,y=f-1(x)的图形是y=f(x)的图形绕直线y=x

翻转180°而成,故其单调性和连续性均保持.定理3设函数u=φ(x)在x0

处连续且u0=φ(x0),函数y=f(u)在u0

处连续,则复合函数y=f(φ(x))在x0

也连续.在1.5节中我们指出,基本初等函数f(x)在其定义域内任一点

x0

处,都有limf(x)=f(x0),因此,基本初等函数在其定义域内都是连续的.根据初等函数的定义,再由基本初等函数的连续性以及本节定理1、3可得下列重要结论:一切初等函数在其定义区间内都是连续的.所谓定义区间是指包含在定义域内的区间.这一结论提供了求初等函数极限的一个简便方法,即如果f(x)为一初等函数,x0

是f(x)的定义区间内的点,则limf(x)=f(x0).3.初等函数的连续性x→x0x→x0先说明最大值和最小值的概念.对于在区间I上有定义的函数f(x),如果有x0∈I,使得对于任一x∈I,都有f(x)≤f(x0)(f(x)≥f(x0)),则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值).

定理1(最值定理)如果函数f(x)在闭区间a,b上连续,则f(x)在a,b

上必取得最大值和最小值.即存在x1,x2∈a,b,使得对任意x∈a,b,均有m=f(x2)≤f(x)≤f(x1)=M.由定理1立即得下列定理.定理2(有界性定理)如果函数f(x)在闭区间a,b

上连续,则f(x)在a,b

上一定有界.1.9.1最值定理与有界性定理如果存在x0

使f(x0)=0,则x0

称为函数f(x)的零点.

定理3(零点定理)

设函数f(x)在闭区间a,b

上连续,且f(a)与f(b)异号(即f(a)·f(b)<0),则在开区间(a,b)内至少有一点ξ,使f(ξ)=0．1.9.2零点定理与介值定理图1-34从几何上看,定理3表示:如果连续曲线弧y=f(x)的两个端点位于x轴的不同侧,那么这段曲线弧与x轴至少有一个交点(图1-34).f(ξ)=0表明ξ是方程f(x)=0的根,因此零点定理也叫根的存在性定理.常用此定理判断方程根的存在性.由定理3可推得下列较一般性的介值定理.定理4(介值定理)设函数f(x)在闭区间a,b上连续,且在这个区间的端点取不同的函数值:f(a)=A

及f(b)=B(A≠B),则对于A

与B

之间的任意一个数C,在开区间(a,b)内至少有一点ξ,使得f(ξ)=C(a<ξ<b).证明设φ(x)=f(x)-C,则φ(x)在闭区间a,b上连续,且φ(a)=A-C与φ(b)=B-C

异号,根据零点定理,在开区间(a,b)内至少有一点ξ,使得φ(ξ)=0,即f(ξ)=C(a<ξ<b).定理4的几何意义是:连续曲线弧y=f(x)与水平直线y=C

至少相交于一点(图1-35).由定理4可得下面推论:

推论如果函数f(x)在闭区间a,b

上连续,且m和M

分别为f(x)在a,b

上的最小值和最大值,则对于任一实数C(m≤C≤M),至少存在一点ξ∈a,b,使得f(ξ)=C.图1-35即闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最大值之间的任何值.谢谢（第二版）微积分

2.1函导数的概念2.2求导法则2.3高阶导数2.4隐函数及由参数方程所确定的函数的导数第2章2.5函数的微分导数与微分微分学是微积分的重要组成部分.导数与微分是微分学中的两个基本概念.本章主要讨论导数与微分的概念以及它们的计算方法.第2章2.1.1引例导数是微分学中最基本的概念,它是为解决实际问题的需要而产生的.我们先讨论两个问题:速度问题和切线问题.这两个问题都与导数概念有密切的关系.设某物体作变速直线运动,S

表示该物体从某一时刻开始到时刻t所经过的路程,则S是时刻t的函数,记为S=S(t).现在我们需要求物体在t=t0

时的瞬时速度v(t0).当物体从时刻t0

运动到时刻t0+Δt

时,物体在Δt

这段时间内所经过的路程为则物体在Δt

这段时间内移动的平均速度为当Δt很小时,平均速度

可看作是时刻t0

的瞬时速度v(t0)的近似值.显然,Δt越小,近似的精确程度越高.如果当Δt

趋于零时,平均速度的极限存在,那么,我们可以把这个极限值定义为物体在时刻t0

时的瞬时速度,即1.变速直线运动的瞬时速度在介绍平面曲线的切线斜率之前,首先要明确什么是平面曲线的切线.在平面解析几何中把圆的切线定义为与圆只有一个交点的直线,但是,对于一般的平面曲线来说,用“与曲线仅交于一点的直线”来作为此曲线在该点的切线是不合适的.例如,对于抛物线y=x2,在原点O

处,x

轴与y

轴与此曲线都只有一个交点(0,0),但显然y轴不能作为曲线y=x2

在点(0,0)处的切线.下面给出平面曲线在一点处的切线的定义.设有曲线C

及C

上一点M(图2-1),在点M

外另取C

上一点N,作割线MN,当点N沿曲线C

趋于点M

时,如果割线MN

的极限位置MT

存在,则称直线MT

为曲线C在点M

处的切线.图2-12.平面曲线的切线斜率现在设曲线C

在点M处的切线MT

存在,我们来求此切线的斜率.设曲线C

的方程为y=f(x),点M

的坐标为(x0,y0),点N

的坐标为(x0+Δx,y0+Δy),则y0=f(x0),Δy=f(x0+Δx)-f(x0).于是割线MN

的斜率为其中φ

为割线MN

的倾角.当点N

沿曲线C

趋于点M

时,Δx→0,此时,割线MN

的倾角φ

趋向于切线MT

的倾角α.即切线MT

的斜率k

为上述两个问题,一个来自物理学,一个来自几何学,尽管实际意义不同,但从数学角度来看,都可归结为当自变量的增量趋于零时函数增量与自变量增量之比的极限.由于科学技术中还有许多其他问题也可归结为这种形式的极限,因此,有必要将其抽象出来进行研究.这种形式的极限就是函数的导数.2.1.2导数的定义

定义1

设函数y=f(x)在点x0

的某一邻域内有定义,当自变量x

在x0

处取得增量Δx(点x0+Δx

仍在该邻域内)时,相应地函数y取得增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0),如果极限存在,则称函数y=f(x)在点x0

处可导,并称这个极限值为函数y=f(x)在点x0

处的导数,记为f'(x0),即1.函数在一点处的导数函数f(x)在点x0

处可导有时也说成f(x)在点x0

具有导数或导数存在.如果式(1)中的极限不存在(包括∞),则称函数y=f(x)在点x0

处不可导或没有导数,但当式(1)中的极限为∞时,我们也常说y=f(x)在点x0

处的导数为无穷大.函数f(x)在x0

处的导数定义式(式(1))也可写成不同的形式,如显然,函数增量与自变量增量之比是函数在区间[x0,x0+Δx](或[x0+Δx,x0])上的平均变化速度,即平均变化率.而导数f'(x0)则为函数f(x)在x0处的变化速度,即函数在x0

处的变化率,它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度.由于导数是用极限定义的,相应于左极限与右极限的概念,可以定义函数在一点处的左导数与右导数的概念.如果左极限存在,则称函数f(x)在x0

处左可导,且称此极限值为函数f(x)在点x0

处的左导数,记作即如果右极限存在,则称函数f(x)在x0

处右可导,且称此极限值为函数f(x)在x0

处的右导数,记作f'+(x0),即2.左导数与右导数利用极限与左、右极限的关系,立即可得导数与左、右导数的关系如下:函数f(x)在x0

处可导的充分必要条件是左导数f'-(x0)与右导数f'+(x0)都存在且相等.左导数和右导数统称为单侧导数.

如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内每一点均可导,则称函数f(x)在开区间(a,b)内可导;如果函数f(x)在开区间(a,b)内可导,且在区间的左端点x=a

处右可导,在右端点x=b

处左可导,则称函数f(x)在闭区间[a,b]上可导.类似地可以定义函数f(x)在半闭区间或无穷区间上的可导性.如果函数y=f(x)在某区间I

上可导,则对于任一x∈I,都对应着f(x)的一个确定的导数值,这样就构成了一个新的函数,这个函数叫作原来函数y=f(x)的导函数,记作在式(1)或式(2)中把x0换成x,即得导函数的定义式:3.导函数注:(1)在以上两式中,虽然x

可以取区间I

内的任何值,但在取极限过程中,x

是常量,Δx

或h

是变量.

(2)当x位于区间端点时,以上两式中的极限为相应的单侧极限.显然,函数f(x)在点x0

处的导数f'(x0)就是导函数f'(x)在点x=x0

处的函数值,即今后在不致混淆的情况下,导函数f'(x)也简称导数,而f'(x0)是f(x)在点x0

处的导数或导数f'(x)在x0

处的值.

下面根据导数定义求一些简单函数的导数.

【例1】求函数f(x)=c(c

为常数)的导数.即(c)'=0,这就是说,常数的导数等于零.4.求导数举例

【例2】求函数y=f(x)=xn(n为正整数)的导数.更一般地,对于幂函数y=xμ(μ

为常数),有(xμ)'=μxμ-1.这就是幂函数的导数公式,该公式的证明将在以后讨论.利用该公式,可以很方便地求出幂函数的导数,例如

【例3】求函数f(x)=sinx

的导数.这就是指数函数的导数公式.特殊地,当a=e时,有(ex)'=ex.即以e为底的指数函数的导数就是它自己,这是以e为底的指数函数的一个重要特征.这就是对数函数的导数公式.特殊地,当a=e时,有2.1.3导数的几何意义由前面有关曲线的切线斜率的讨论和导数的定义可知,函数f(x)在点x0

处的导数f'(x0)的几何意义就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率,即f'(x0)=tanα,其中α

是切线的倾角(图2-1).如果y=f(x)在点x0

处的导数为无穷大,这时曲线y=f(x)的割线以垂直于x

轴的直线x=x0

为极限位置,即曲线y=f(x)在点M(x0,f(x0))处具有垂直于x

轴的切线x=x0.根据导数的几何意义并应用直线的点斜式方程,可知曲线y=f(x)在点M(x0,y0)处的切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0).过切点M(x0,y0)且与切线垂直的直线叫作曲线y=f(x)在点M

处的法线.如果f'(x0)≠0,则法线的斜率为从而法线方程为如果f'(x0)=0,则曲线y=f(x)在点M(x0,y0)处的切线方程为y=y0,法线方程为x=x0.2.1.4可导与连续的关系

定理1

如果函数f(x)在点x0

处可导,则函数f(x)在点x0

处连续.

证明因为函数f(x)在点x0

处可导,则即函数f(x)在点x0

处连续.该定理的逆定理不成立.即函数f(x)在点x0

处连续,但函数f(x)在点x0

处不一定可导.例如,函数f(x)=|x|在x=0处是连续的,但在x=0处却不可导.因此,函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件,但不是充分条件.上一节我们根据导数的定义,求出了几个基本初等函数的导数,但是,对于比较复杂的函数,直接根据定义来求它们的导数往往很困难.本节我们将介绍求导数的几个基本法则和基本初等函数的求导公式,利用这些法则和公式,就可以比较方便地求出某些函数的导数.2.2.1函数和、差、积、商的求导法则到目前为止,我们已经求出了除反三角函数外的所有基本初等函数的导数公式.下面给出反函数的求导法则,在此基础上,推导反三角函数的求导公式.2.2.2反函数的求导法则

定理2

如果函数x=f(y)在区间Iy

内单调、可导且f'(y)≠0,则它的反函数y=f-1(x)在对应的区间内也可导,且2.2.3复合函数的求导法则迄今为止,对于这样的函数,我们还不知道它们是否可导,如果可导,也不知道如何求它们的导数.由于这些函数都是复合函数,因此需要讨论复合函数的求导法则.

定理3设函数u=φ(x)在点x

处可导,而函数y=f(u)在对应点u=φ(x)处可导,则复合函数y=f(φ(x))在点x处可导,且有

证明设x

有增量Δx

时,u

的增量为Δu,从而y也有增量Δy.当Δu≠0时,因为根据无穷小与函数极限的关系有当Δu=0时,由于Δy=0,上式仍成立(这时取α=0),于是由于u=φ(x)在x处连续,所以当Δx→0时,Δu→0，从而因此可见复合函数y关于自变量x的导数是复合函数y

关于中间变量u

的导数与中间变量u

关于自变量x

的导数的乘积,这个法则也被形象地称为链式法则.复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形,例如,设且这三个函数都可导,则复合函数y=f{φ[ψ(x)]}的导数为从以上例子可看出,求复合函数的导数时,首先要分析所给函数是由哪些简单函数复合而成,然后引入相应的中间变量,像链条一样由外层向内层分别求导数,一直求到对此复合函数的自变量的导数为止,它们的乘积就是此复合函数的导数.复合函数求导法则熟练之后,中间变量可以不必写出来,但在求导时应把中间变量记在脑子中,心中要清楚每一步是在对谁求导数,直到求到对自变量的导数为止.2.2.4基本求导法则与导数公式基本初等函数的导数公式与本节中所讨论的求导法则在初等函数的求导运算中起着重要的作用,我们必须熟练地掌握它们.为了便于查阅,现在把这些导数公式和求导法则归纳如下:1.常数和基本初等函数的导数公式设u=u(x),v=v(x)都可导,则2.函数的和、差、积、商的求导法则3.复合函数的求导法则设y=f(u),u=φ(x),而f(u)及φ(x)都可导,则复合函数y=f(φ(x))的导数为设y=f-1(x)是x=f(y)的反函数,且f'(y)≠0,则4.反函数的导数下面再举两个运用这些法则和导数公式的例子.我们知道,变速直线运动的速度v(t)是位置函数S(t)对时间t的导数,即或v=S‘.而加速度a

又是速度v

对时间t的变化率,即a

是速度v

对时间t

的导数:这种导数的导数

叫作S

对t的二阶导数,记作或S″(t),因此,直线运动的加速度就是位置函数S

对时间t的二阶导数.一般地,函数y=f(x)的导数y'=f'(x)仍然是x

的函数,我们把y'=f'(x)的导数叫作函数y=f(x)的二阶导数,记作相应地,把y=f(x)的导数f'(x)叫作函数y=f(x)的一阶导数.类似地,二阶导数f″(x)的导数称为y=f(x)的三阶导数,记作一般地,y=f(x)的n-1阶导数的导数叫作y=f(x)的n

阶导数,记作即函数y=f(x)具有n

阶导数,通常也称函数f(x)为n

阶可导.如果函数f(x)在点x处具有n

阶导数,则f(x)在点x处的某一邻域内必定具有低于n

阶的各阶导数.二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数.由此可见,求高阶导数只需对函数f(x)逐次求导就可以了,并不需要新的求导公式.函数f(x)的各阶导数在x=x0处的数值记为:2.4.1隐函数的导数前面我们所讨论的函数,都是一个变量明显地用另一个变量表示的形式,例如,y=x2+sinx,用y=f(x)这种方式表示的函数称为显函数.然而,函数也可不以显函数的形式出现,例如,方程x+2y3-5=0表示一个函数,因为当变量x

在(-∞,+∞)内取值时,变量y

有唯一确定的数值与之对应,这样的函数称为隐函数.一般地,如果变量x

和y

满足一个方程F(x,y)=0,在一定条件下,当x

取某区间内的任一值时,相应地总有满足这个方程的唯一的y

值存在,则就称方程F(x,y)=0在该区间内确定了一个隐函数y=y(x).对于由方程F(x,y)=0确定的隐函数y,若能从方程中解出y来,得到y=y(x),此时隐函数成为显函数,这种情形称为隐函数的显化.例如,从方程x+2y3-5=0中解出就把隐函数化成了显函数.但是隐函数的显化有时是很困难的,甚至是不可能的,例如方程x-y+exy=0就很难显化.因此,有必要讨论隐函数的求导方法.还应指出,并非任何一个方程都能确定隐函数,例如,x2+y2+4=0显然就不能确定隐函数.设由方程F(x,y)=0确定y

为x

的隐函数y=y(x),将y=y(x)代入方程得恒等式:F(x,y(x))≡0.在F(x,y(x))=0的两端关于自变量x

求导,在此过程中,把y

看作x

的函数,运用复合函数的求导法则,便可解出y

对x

的导数

注:也可在式(1)两端再对x

求导,求得y″.对于某些函数,利用普通方法求导数比较复杂,甚至难于进行.例如,由多个因式的积、商、幂构成的函数及幂指函数,对于这类函数的求导,可以先对函数式两端取自然对数,利用对数的运算性质对函数式进行化简,然后利用隐函数求导法则求导,这种方法称为对数求导法.

2.4.2由参数方程所确定的函数的导数在解析几何中,我们知道有些函数关系可用参数方程来确定,这里t为参变量.例如,圆x2+y2=R2的参数方程是在实际问题中,需要计算由参数方程(2)所确定的函数的导数,但从(2)中消去参数t有时会有困难,因此,需要建立一种方法,不管能否消去参数t,都能直接由参数方程(2)求出它所确定的函数的导数.

定理1在参数方程(2)中,如果

(1)函数x=φ(t),y=ψ(t)都可导,且φ'(t)≠0.

(2)函数x=φ(t)具有单调连续的反函数t=φ-1(x),且此反函数能与函数y=ψ(t)构成复合函数.则由参数方程(2)所确定的函数y=y(x)的导数为

证明由参数方程(2)所确定的函数可以看成是由函数y=ψ(t),t=φ-1(x)复合而成的函数y=ψ[φ-1(x)],于是由复合函数求导法则与反函数求导法则,有如果x=φ(t),y=ψ(t)还是二阶可导的,则可从式(3)求得函数的二阶导数:2.5.1微分的定义微分是与导数密切相关又有本质差异的一个重要概念.导数反映函数在某一点变化的快慢程度,即变化率;而微分则主要是表述函数在某一点的增量的近似程度.本节主要介绍微分的概念、计算及简单应用.先分析一个具体问题:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,其边长由x0

变到x0+Δx(图2-3),问此薄片的面积改变了多少?设此薄片的边长为x,面积为A,则A是x

的函数:A=x2.薄片受温度变化的影响时,边长x

在x0

处有增量Δx,这时面积A的相应增量为图2-3从上式可以看出,ΔA

分成两部分:第一部分2x0·Δx

是Δx

的线性函数,即图2-3中带有斜线的两个矩形面积之和;第二部分(Δx)2

在图2-3中是带有交叉斜线的小正方形的面积.当Δx→0时,第二部分(Δx)2

是比Δx

高阶的无穷小,即(Δx)2=o(Δx).因此,当|

Δx|很小时,第一部分2x0·Δx

是面积增量ΔA

的主要部分,可用它来作为ΔA

的近似值,而第二部分(Δx)2

在计算ΔA时可以忽略不计,即有ΔA≈2x0·Δx.

2x0·Δx称为函数A=x2

在点x0处的微分.一般地,有下列定义:

定义1设函数y=f(x)在点x0

的某一邻域内有定义,x0+Δx

在该邻域内,如果f(x)在点x0

处的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)可表示为其中A

是不依赖于Δx

的常数,而o(Δx)是比Δx

高阶的无穷小,则称函数y=f(x)在点x0

处是可微的,而A·Δx

叫作函数y=f(x)在点x0

相应于自变量增量Δx

的微分,记作dy,即dy=A·Δx.

注:(1)由微分定义知,当A≠0时,微分dy=A·Δx

是Δx

的线性函数,而且当|Δx|很小时,微分dy

是函数增量Δy的主要部分.因此,在A≠0的条件下,微分也称为函数增量的线性主部(当Δx→0时).

(2)由微分的定义可知,Δy-dy

是Δx

的高阶无穷小,即下面讨论函数y=f(x)在点x0处可微的条件.

定理1函数y=f(x)在点x0

处可微的充分必要条件是f(x)在点x0

可导,且有dy=f'(x0)·Δx.证明设y=f(x)在点x0

处可微,即Δy=A·Δx+o(Δx).于是所以f(x)在点x0

可导,且有反之,如果y=f(x)在点x0

可导,即由无穷小与函数极限的关系,得其中所以显然,当Δx→0时,α·Δx=o(Δx),且f'(x0)与Δx

无关,由微分定义可知,y=f(x)在点x0

可微,且有dy=f'(x0)·Δx.该定理说明了函数在点x0

的可微性与可导性是等价的,且有关系式dy=f'(x0)·Δx.函数y=f(x)在任意点x

的微分,称为函数y=f(x)的微分,记作dy

或df(x),即dy=f'(x)·Δx.我们规定,自变量的微分等于自变量的增量,即dx=Δx.这样规定是很自然的,因为自变量x

可以看作是一个特殊的函数y=x,所以有dy=dx=(x)'·Δx=Δx,即dx=Δx.于是函数y=f(x)的微分又可记作dy=f'(x)dx,从而有这就是说,函数的微分dy

与自变量的微分dx

之商等于该函数的导数,因此,导数也称作微商.以前我们把导数的记号

看作是一个整体记号,现在,就可以把它看成是dy与dx

之商了,这正是用来作为导数记号的原因.

【例1】求函数y=x3

在x=1和x=2处的微分.

解因为dy=(x3)'dx=3x2dx,所以

【例2】