2026届湖南省长沙市一中开福中学高二上数学期末调研试题含解析

2026届湖南省长沙市一中开福中学高二上数学期末调研试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．点分别为椭圆左右两个焦点，过的直线交椭圆与两点，则的周长为（）A.32 B.16C.8 D.42．若双曲线的两个焦点为，点是上的一点，且，则双曲线的渐近线与轴的夹角的取值范围是（）A. B.C. D.3．从1，2，3，4，5中随机抽取三个数，则这三个数能成为一个三角形三边长的概率为（）A. B.C. D.4．已知F是抛物线的焦点，直线l是抛物线的准线，则F到直线l的距离为（）A.2 B.4C.6 D.85．在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2+6x+2=0的根，则的值为（）A. B.C. D.或6．已知椭圆的左右焦点分别为、，点在椭圆上，若、、是一个直角三角形的三个顶点，则点到轴的距离为A B.4C. D.7．已知点到直线的距离为1，则m的值为（）A.或 B.或15C.5或 D.5或158．某综合实践小组设计了一个“双曲线型花瓶”.他们的设计思路是将某双曲线的一部分（图1中A，C之间的曲线）绕其虚轴所在直线l旋转一周，得到花瓶的侧面，花瓶底部是平整的圆面，如图2.该小组给出了图1中的相关数据：，，，，，其中B是双曲线的一个顶点.小组中甲、乙、丙、丁四位同学分别用不同的方法估算了该花瓶的容积（忽略瓶壁和底部的厚度），结果如下表所示学生甲乙丙丁估算结果（）其中估算结果最接近花瓶的容积的同学是（）（参考公式：，，）A.甲 B.乙C.丙 D.丁9．已知两个向量，，且，则的值为（）A.1 B.2C.4 D.810．在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（）A. B.1C. D.11．已知双曲线的两个焦点，，是双曲线上一点，且，，则双曲线的标准方程是（）A. B.C. D.12．过坐标原点作直线的垂线，垂足为，则的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图三角形数阵：132456109871112131415……按照自上而下，自左而右的顺序，位于第行的第列，则______.14．底面半径为1，母线长为2的圆锥的体积为______15．已知直线与直线平行，则实数m的值为______16．设分别是平面的法向量，若，则实数的值是________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过，，三点，求椭圆E的标准方程18．（12分）已知椭圆的焦距为4，点在G上.（1）求椭圆G方程；（2）过椭圆G右焦点的直线l与椭圆G交于M，N两点，O为坐标原点，若，求直线l的方程.19．（12分）已知椭圆过点，且离心率.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点在椭圆上，且在第一象限内，点分别为椭圆的左、右顶点，直线分别与椭圆C交于点，过作直线的平行线与椭圆交于点，问直线是否过定点，若经过定点，求出该定点的坐标；若不经过定点，请说明理由.20．（12分）已知抛物线C的方程为：，点（1）若直线与抛物线C相交于A、B两点，且P为线段AB的中点，求直线的方程.（2）若直线过交抛物线C于M，N两点，F为抛物线C的焦点，求的最小值21．（12分）已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，若关于x的不等式恒成立，试求a的取值范围22．（10分）在中，角、、C所对的边分别为、、，，.（1）若，求的值；（2）若的面积，求，的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】由题意结合椭圆的定义可得，而的周长等于，从而可得答案【详解】解：由得，由题意得，所以的周长等于，故选：B2、B【解析】由条件结合双曲线的定义可得，然后可得，然后可求出的范围即可.【详解】由双曲线的定义可得，结合可得当点不为双曲线的顶点时，可得，即当点为双曲线的顶点时，可得，即所以，所以，所以所以双曲线的渐近线与轴的夹角的取值范围是故选：B3、C【解析】列举出所有情况，然后根据两边之和大于第三边数出能构成三角形的情况，进而得到答案.【详解】5个数取3个数的所有情况如下：{1,2,3；1,2,4；1,2,5；1,3,4；1,3,5；1,4,5；2,3,4；2,3,5；2,4,5；3,4,5}共10种情况，而能构成三角形的情况有{2,3,4；2,4,5；3,4,5}共3种情况，故所求概率.故选：C.4、B【解析】根据抛物线定义即可求解【详解】由得，所以F到直线l的距离为故选：B5、B【解析】由韦达定理得a3a15=2，由等比数列通项公式性质得：a92=a3a15=a2a16=2，由此求出答案【详解】解：∵在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2-6x+2=0的根，∴a3a15=2＞0，a3+a15=-6<0∴a2a16=a3a15=2，a92=a3a15=2，∴a9=，∴，故选B【点睛】本题考查等比数列中两项积与另一项的比值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用6、D【解析】设椭圆短轴的一个端点为根据椭圆方程求得c，进而判断出，即得或令，进而可得点P到x轴的距离【详解】解：设椭圆短轴的一个端点为M由于，，；，只能或令，得，故选D【点睛】本题主要考查了椭圆的基本应用考查了学生推理和实际运算能力是基础题7、D【解析】利用点到直线距离公式即可得出.【详解】解：点到直线的距离为1，解得：m=15或5故选：D.8、D【解析】根据几何体可分割为圆柱和曲边圆锥，利用圆柱和圆锥的体积公式对几何体的体积进行估计即可.【详解】可将几何体看作一个以为半径，高为的圆柱，再加上两个曲边圆锥，其中底面半径分别为，，高分别为,,,,所以花瓶的容积，故最接近的是丁同学的估算，故选：D9、C【解析】由，可知，使，利用向量的数乘运算及向量相等即可得解.【详解】∵，∴，使，得，解得：，所以故选：C【点睛】思路点睛：在解决有关平行的问题时，通常需要引入参数，如本题中已知，引入参数，使，转化为方程组求解；本题也可以利用坐标成比例求解，即由，得，求出m，n.10、B【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量点到直线的距离公式进行求解即可【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，由已知，得，，，，，所以在上的投影为，所以点到直线的距离为故选：B11、D【解析】根据条件设，，由条件求得，即可求得双曲线方程.【详解】设，则由已知得，，又，，又，，双曲线的标准方程为.故选：D12、D【解析】求出直线直线过的定点A，由题意可知垂足是落在以OA为直径的圆上，由此可利用的几何意义求得答案,【详解】直线，即，令，解得，即直线过定点,由过坐标原点作直线的垂线，垂足为，可知：落在以OA为直径的圆上，而以OA为直径的圆为，如图示：故可看作是圆上的点到原点距离的平方，而圆过原点，圆上点到原点的最远距离为，但将原点坐标代入直线中，不成立，即直线l不过原点，所以不可能和原点重合，故，故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由题意可知到第行结束一共有个数字，由此可知在第行；又由图可知，奇数行从左到右是从小到大排列，偶数行从左到右是从大到小排列，第行个数字从大到小排列，由此可知在到数第列，据此即可求出，进而求出结果.【详解】由图可知，第1行有1个数字，第2行有2个数字，第2行有3个数字，……第行有个数字，由此规律可知，到第行结束一共有个数字；又当时，，所以第行结束一共有个数字；当时，，所以在第行，故；由图可知，奇数行从左到右是从小到大排列，偶数行从左到右是从大到小排列，第行是偶数行，共个数字，从大到小排列，所以在倒数第列，所以，所以.故答案为：.14、【解析】先由勾股定理求圆锥的高，再结合圆锥的体积公式运算即可得解.【详解】解：设圆锥的高为，由勾股定理可得，由圆锥的体积可得，故答案为.【点睛】本题考查了圆锥的体积公式，重点考查了勾股定理，属基础题.15、【解析】由两直线平行的判定可得求解即可，注意验证是否出现直线重合的情况.【详解】由题设，，解得，经检验满足题设.故答案为：16、4【解析】根据分别是平面的法向量，且，则有求解.【详解】因为分别是平面的法向量，且所以所以解得故答案为：4【点睛】本题主要考查空间向量垂直，还考查了运算求解的能力，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、【解析】分椭圆的焦点在轴上与焦点在轴上，两种情况讨论，利用待定系数法求出椭圆方程；【详解】解：（1）当椭圆的焦点在轴上时，设其方程为()，则又点C在椭圆上，得，解得，所以椭圆E的方程为（2）当椭圆的焦点在轴上时，设其方程为()，则又点C在椭圆上，得，解得，这与矛盾综上可知，椭圆的方程为18、（1）；（2）.【解析】（1）根据已知求出即得椭圆的方程；（2）设l的方程为，，，联立直线和椭圆的方程得到韦达定理，根据得到，即得直线l的方程.【小问1详解】解：椭圆的焦距是4，所以焦点坐标是，.因为点在G上，所以，所以，.所以椭圆G的方程是.【小问2详解】解：显然直线l不垂直于x轴，可设l的方程为，，，将直线l的方程代入椭圆G的方程，得，则，.因为，所以，则，即，由，得，.所以，解得，即，所以直线l的方程为.19、（1）（2）过定点，【解析】（1）根据椭圆上的点及离心率求出a,b即可；（2）设点，设直线的方程为，联立方程，得到根与系数的关系，利用条件化简，结合椭圆方程，求出即可得解.【小问1详解】由，有，又，所以，椭圆C的标准方程为.【小问2详解】设点，设直线的方程为.如图，联立，消有：，韦达定理有：由，所以，又，所以又，所以.又所以有，把代入有：，解得或2，又直线不过右端点，所以，则，所以直线过定点.20、（1）（2）16【解析】（1）设，代入抛物线方程由点差法可得答案；（2）设直线为：，，与抛物线方程联立，利用韦达定理和基本不等式可得答案.【小问1详解】设则，由两式相减可得：，，即直线的方程为.【小问2详解】设直线为：，由可得，，，，又因为点坐标为，所以，从而，，所以当且仅当时，有最小值1621、（1）的减区间为，增区间为（2）【解析】（1）利用导数求得的单调区间.（2）利