江苏省南京师范大学连云港华杰实验学校2025-2026学年高二上数学期末统考试题含解析

江苏省南京师范大学连云港华杰实验学校2025-2026学年高二上数学期末统考试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图，在正方体中，是侧面内一动点，若到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹所在的曲线是（）A.直线 B.圆C.双曲线 D.抛物线2．将上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到曲线C，若直线l与曲线C交于A，B两点，且AB中点坐标为M（1，），那么直线l的方程为（）A. B.C. D.3．总体由编号为的30个个体组成.利用所给的随机数表选取6个个体，选取的方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始，由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）A.20 B.26C.17 D.034．已知双曲线的离心率为2，且与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.5．杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.在欧洲，帕斯卡（1623～1662）在1654年发现这一规律，比杨辉要迟了393年.如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第37项是A.153 B.171C.190 D.2106．双曲线的左顶点为，右焦点，若直线与该双曲线交于、两点，为等腰直角三角形，则该双曲线离心率为（）A. B.C. D.7．在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为点，则点到直线的距离为（）A. B.C. D.68．设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则的值为（）A.-5 B.-3C.1 D.79．已知等比数列中，，则这个数列的公比是（）A.2 B.4C.8 D.1610．设、分别是椭圆（）的左、右焦点，过的直线l与椭圆E相交于A、B两点，且，则的长为（）A. B.1C. D.11．在区间内随机取一个数x，则使得的概率为（）A. B.C. D.12．命题，，则为（）A.， B.，C.， D.，二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．机动车驾驶考试是为了获得机动车驾驶证的考试，采用全国统一的考试科目内容及合格标准，包括科目一理论考试、科目二场地驾驶技能考试、科目三道路驾驶技能考试和科目四安全文明常识考试共四项考试，考生应依次参加四项考试，前一项考试合格后才能报名参加后一项考试，考试不合格则需另行交费预约再次补考．据公安部门通报，佛山市四项考试的合格率依次为，，，，且各项考试是否通过互不影响，则一位佛山公民通过驾考四项考试至多需要补考一次的概率为______14．设x，y满足约束条件则的最大值为________15．已知正数，满足.若恒成立，则实数的取值范围是______.16．已知抛物线C：y2＝2px过点P(1，1):①点P到抛物线焦点的距离为②过点P作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q，则△OPQ的面积为③过点P与抛物线相切的直线方程为x－2y＋1＝0④过点P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于M，N两点，则直线MN的斜率为定值其中正确的是________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知是等差数列，其n前项和为，已知（1）求数列的通项公式：（2）设，求数列的前n项和18．（12分）设圆的圆心为A，直线l过点且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E（1）判断与题中圆A的半径的大小关系，并写出点E的轨迹方程；（2）过点作斜率为，的两条直线，分别交点E的轨迹于M，N两点，且，证明：直线MN必过定点19．（12分）已知函数（1）求在点处的切线方程（2）求直线与曲线围成的封闭图形的面积20．（12分）已知平面直角坐标系上一动点满足：到点的距离是到点的距离的2倍.（1）求点的轨迹方程；（2）若点与点关于直线对称，求的最大值.21．（12分）已知点，圆（1）若过点的直线与圆相切，求直线的方程；（2）若直线与圆相交于A，两点，弦的长为，求的值22．（10分）在△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，.（1）求的大小及△的面积；（2）求的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】由到直线的距离等于到点的距离可得到直线的距离等于到点的距离，然后可得答案.【详解】因为到直线的距离等于到点的距离，所以到直线的距离等于到点的距离，所以动点的轨迹是以为焦点、为准线的抛物线故选：D2、A【解析】先根据题意求出曲线C的方程，然后利用点差法求出直线l的斜率，从而可求出直线方程【详解】设点为曲线C上任一点，其在上对应在的点为，则，得，所以，所以曲线C的方程为，设，则，两方程相减整理得，因为AB中点坐标为M（1，），所以，即，所以，所以，所以直线l的方程为，即，故选：A3、D【解析】根据题目要求选取数字，在30以内的正整数符合要求，不在30以内的不合要求，舍去，与已经选取过重复的舍去，找到第5个个体的编号.【详解】已知选取方法为从第一行的第3列和第4列数字开始，由左到右一次选取两个数字，所以选取出来的数字分别为12（符合要求），13（符合要求），40（不合要求），33（不合要求），20（符合要求），38（不合要求），26（符合要求），13（与前面重复，不合要求），89（不合要求），51（不合要求），03（符合要求），故选出来的第5个个体的编号为03.故选：D4、B【解析】求出焦点，则可得出，即可求出渐近线方程.【详解】由椭圆可得焦点为，则设双曲线方程为，可得，则离心率，解得，则，所以渐近线方程为.故选：B.5、C【解析】根据“杨辉三角”找出数列1，2，3，3，6，4，10，5，…之间的关系即可。【详解】由题意可得从第3行起的每行第三个数：，所以第行的第三个数为在该数列中，第37项为第21行第三个数，所以该数列的第37项为故选：C【点睛】本题主要考查了归纳、推理的能力，属于中等题。6、A【解析】求出，分析可得，可得出关于、、的齐次等式，由此可求得该双曲线的离心率的值.【详解】联立，可得，则，易知点、关于轴对称，且为线段的中点，则，又因为为等腰直角三角形，所以，，即，即，所以，，可得，因此，该双曲线的离心率为.故选：A.7、C【解析】按照空间中点到直线的距离公式直接求解.【详解】由题意，，，的方向向量，，则点到直线的距离为.故选：C.8、C【解析】根据，可知向量建立方程求解即可.【详解】由题意根据，可知向量，则有，解得.故选：C9、A【解析】直接利用公式计算即可.【详解】设等比数列的公比为，由已知，，所以，解得.故选：A10、C【解析】由椭圆的定义得：，，结合条件可得，即可得答案.【详解】由椭圆的定义得：，，又，，所以，由椭圆知，所以.故选：C11、A【解析】解一元一次不等式求不等式在上解集，再利用几何概型的长度模型求概率即可.【详解】由，可得，其中长度为1，而区间长度为4，所以，所求概率为故选：A.12、B【解析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可.【详解】命题，为特称命题，而特称命题的否定是全称命题，所以命题，，则为：，.故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】至多需要补考一次，分5种情况分别计算后再求和即可.【详解】不需要补考就通过的概率为；仅补考科目一就通过的概率为；仅补考科目二就通过的概率为；仅补考科目三就通过的概率为；仅补考科目三就通过的概率为，一位佛山公民通过驾考四项考试至多需要补考一次的概率为.故答案为：14、1【解析】先作出可行域，由，得，作出直线，向下平移过点时，取得最大值，求出点坐标代入目标函数中可得答案【详解】作出可行域如图（图中阴影部分），由，得，作出直线，向下平移过点时，取得最大值，由，得，即，所以的最大值为，故答案为：115、【解析】利用基本不等式性质可得的最小值，由恒成立可得即可求出实数的取值范围.【详解】解：因为正数，满足，所以，当且仅当时，即时取等号因为恒成立，所以，解得.故实数的取值范围是.故答案填：.【点睛】熟练掌握基本不等式的性质和正确转化恒成立问题是解题的关键.16、②③④【解析】由抛物线过点可得抛物线的方程，求出焦点的坐标及准线方程，由抛物线的性质可判断①；求出直线的方程与抛物线联立切线的坐标，进而求出三角形的面积，判断②；设直线方程为y－1＝k(x－1)，与y2＝x联立求得斜率，进而可得在处的切线方程，从而判断③；设直线的方程为抛物线联立求出的坐标，同理求出的坐标，进而求出直线的斜率，从而可判断④【详解】解：由抛物线过点，所以，所以，所以抛物线的方程为：；可得抛物线的焦点的坐标为：，，准线方程为：，对于①，由抛物线的性质可得到焦点的距离为，故①错误；对于②，可得直线的斜率，所以直线的方程为：，代入抛物线的方程可得：，解得，所以，故②正确；对于③，依题意斜率存在，设直线方程为y－1＝k(x－1)，与y2＝x联立，得：ky2－y＋1－k＝0，＝1－4k(1－k)＝0，4k2－4k＋1＝0，解得k＝，所以切线方程为x－2y＋1＝0，故③正确；对于④，设直线的方程为：，与抛物线联立可得，所以，所以，代入直线中可得，即，，直线的方程为：，代入抛物线的方程，可得，代入直线的方程可得，所以，，所以为定值，故④正确故答案为：②③④.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】（1）利用等差数列的基本量，结合已知条件，列出方程组，求得首项和公差，即可写出通项公式；（2）根据（1）中所求，结合裂项求和法，即可求得.【小问1详解】因为是等差数列，其n前项和为，已知，设其公差为，故可得：，，解得，又，故.【小问2详解】由（1）知，，又，故.即.18、（1）与半径相等，（2）证明见解析【解析】（1）依据椭圆定义去求点E的轨迹方程事半功倍；（2）直线MN要分为斜率存在的和不存在的两种情况进行讨论，由设而不求法把条件转化为直线MN过定点的条件即可解决.【小问1详解】圆即为，可得圆心，半径，由，可得，由，可得，即为，即有，则，所以其与半径相等.因为，故E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆（不包括左右顶点），且有，，即，，，则点E的轨迹方程为；【小问2详解】当直线MN斜率不存在时，设直线方程为，则，，，，则，∴，此时直线MN的方程为当直线MN斜率存在时，设直线方程为：，与椭圆方程联立：，得，设，，有则将*式代入化简可得：，即，∴，此时直线MN：，恒过定点又直线MN斜率不存在时，直线MN：也过，故直线MN过定点.【点睛】数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。19、（1）（2）2【解析】（1）首先求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程；（2）首先求出两函数的交点坐标，再利用定积分及微积分基本定理计算可得；【小问1详解】解：因为，所以，所以切线的斜率，切线过点，切线的方程为，即【小问2详解】解：由题知，即解得或，即或或，直线与曲线于则所求图形的面积20、（1）（2）【解析】（1）直接法求动点的轨迹方程，设点，列方程即可.（2）点关于直线对称的对称点问题，可以先求出点到直线的距离最值的两倍就是的距离，也可以求出点的轨迹方程直接求解的距离.【小问1详解】设，由题意，得：，化简得，所以点轨迹方程为【小问2详解】方法一：设，因为点与点关于点对称，则点坐标为，因为点在圆，即上运动，所以，所以点的轨迹方程为，所以两圆的圆心分别为，半径均为2，则.方法二：由可得：所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆轨迹的圆心到直线的距离为：21、（1）或；（2）【解析】（1）分直线斜率存在和不存在两种情况分析，当当过点的直线存在斜率时，设方程为，利用圆心到直线的距离等于半径求得k，即可得出答案；（2）求出圆心到直线的