2026届湖南省岳阳市岳阳县数学高二上期末调研模拟试题含解析

2026届湖南省岳阳市岳阳县数学高二上期末调研模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．二项式的展开式中，各项二项式系数的和是（）A.2 B.8C.16 D.322．在等比数列中，，且，则t＝（）A.-2 B.－1C.1 D.23．已知双曲线上的点到的距离为15，则点到点的距离为（）A.7 B.23C.5或25 D.7或234．我们知道，偿还银行贷款时，“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式，其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率．自主创业的大学生张华向银行贷款的本金为48万元，张华跟银行约定，按照等额本金还款法，每个月还一次款，20年还清，贷款月利率为，设张华第个月的还款金额为元，则（）A.2192 B.C. D.5．已知双曲线（，）的左，右焦点分别为，．若双曲线右支上存在点，使得与双曲线的一条渐近线垂直并相交于点，且，则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.6．已知函数，那么“”是“在上为增函数”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7．已知圆的半径为，平面上一定点到圆心的距离，是圆上任意一点.线段的垂直平分线和直线相交于点，设点在圆上运动时，点的轨迹为，当时，轨迹对应曲线的离心率取值范围为（）A. B.C. D.8．曲线上的点到直线的距离的最小值是（）A.3 B.C.2 D.9．已知中心在坐标原点，焦点在轴上的双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A. B.C. D.10．函数在处有极小值5，则（）A. B.C.或 D.或311．已知点到直线的距离为1，则m的值为（）A.或 B.或15C.5或 D.5或1512．已知点是双曲线的左焦点，定点，是双曲线右支上动点，则的最小值为（）.A.7 B.8C.9 D.10二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知点和，M是椭圆上一动点，则的最大值为________.14．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）上的点P（1，y0）（y0＞0）到焦点的距离为2，则p＝__15．下列是某厂1~4月份用水量（单位：百吨）的一组数据，由其散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是，则_______.月份1234用水量4.5432.516．近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道道亮丽的风景线．他们根据外卖平台提供的信息到外卖店取单，某外卖小哥每天来往于r个外卖店（外卖店的编号分别为1，2，…，r，其中），约定：每天他首先从1号外卖店取单，称为第1次取单，之后，他等可能的前往其余个外卖店中的任何一个店取单，称为第2次取单，依此类推．假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的个外卖店取单．设事件表示“第k次取单恰好是从1号店取单（）”，是事件发生的概率，显然，，则______，与的关系式为______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知，C是圆B：（B是圆心）上一动点，线段AC的垂直平分线交BC于点P（1）求动点P的轨迹的方程；（2）设E，F为与x轴的两交点，Q是直线上动点，直线QE，QF分别交于M，N两点，求证：直线MN过定点18．（12分）已知直线：和：（1）若，求实数m的值；（2）若，求实数m的值19．（12分）已知点是圆：上任意一点，是圆内一点，线段的垂直平分线与半径相交于点（1）当点在圆上运动时，求点的轨迹的方程；（2）设不经过坐标原点，且斜率为的直线与曲线相交于，两点，记，的斜率分别是，．当，都存在且不为时，试探究是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由20．（12分）如图，已知平面，四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，（1）求证：∥平面；（2）求证：平面平面21．（12分）已知三角形内角所对的边分别为，且C为钝角.（1）求cosA；（2）若，，求三角形的面积.22．（10分）已知函数.（1）若在上单调递增，求的取值范围；（2）若在上存在极值点，证明：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据给定条件利用二项式系数的性质直接计算作答.【详解】二项式的展开式的各项二项式系数的和是.故选：D2、A【解析】先求出，利用等比中项求出t.【详解】在等比数列中，，且，所以所以，即，解得：.当时，，不符合等比数列的定义，应舍去，故.故选：A.3、D【解析】根据双曲线的定义知，，即可求解.【详解】由题意，双曲线，可得焦点坐标，根据双曲线的定义知，，而，所以或故选：D【点睛】本题主要考查了双曲线的定义及其应用，其中解答中熟记双曲线的定义，列出方程是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.4、D【解析】计算出每月应还的本金数，再计算第n个月已还多少本金，由此可计算出个月的还款金额.【详解】由题意可知：每月还本金为2000元，设张华第个月的还款金额为元，则，故选：D5、B【解析】利用渐近线方程和直线解出Q点坐标，再由得P点坐标，代入双曲线方程得到a、b、c的齐次式可解.【详解】如图，因为与渐近线垂直所以的斜率为，方程为解的Q的坐标为设P点坐标为则，因为，所以，得点P坐标为，代入得：所以，即所以渐近线方程为故选：B.6、A【解析】对函数进行求导得，进而得时，，在上为增函数，然后判断充分性和必要性即可.【详解】解：因为的定义域是，所以，当时，，在上为增函数.所以在上为增函数，是充分条件；反之，在上为增函数或，不是必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，属于中档题.7、D【解析】分点A在圆内，圆外两种情况，根据中垂线的性质，结合椭圆、双曲线的定义可判断轨迹，再由离心率计算即可求解.【详解】当A在圆内时，如图，,所以的轨迹是以O，A为焦点的椭圆，其中，，此时，，.当A在圆外时，如图，因为，所以轨迹是以O，A为焦点的双曲线，其中，，此时，，.综上可知，.故选：D8、D【解析】求出函数的导函数，设切点为，依题意即过切点的切线恰好与直线平行，此时切点到直线的距离最小，求出切点坐标，再利用点到直线的距离公式计算可得；【详解】解：因为，所以，设切点为，则，解得，所以切点为，点到直线的距离，所以曲线上的点到直线的距离的最小值是；故选：D9、A【解析】根据离心率求出的值，再根据渐近线方程求解即可.【详解】因双曲线焦点在轴上，所以渐近线方程为：，又因为双曲线离心率为，且，所以，解得，即渐近线方程为：.故选：A.10、A【解析】由题意条件和，可建立一个关于的方程组，解出的值，然后再将带入到中去验证其是否满足在处有极小值，排除增根，即可得到答案.【详解】由题意可得，则，解得，或．当，时，．由，得；由，得．则在上单调递增，在上单调递减，故在处有极大值5，不符合题意．当，时，．由，得；由，得．则在上单调递减，在上单调递增，故在处有极小值5，符合题意，从而故选：A.11、D【解析】利用点到直线距离公式即可得出.【详解】解：点到直线的距离为1，解得：m=15或5故选：D.12、C【解析】设双曲线的右焦点为M，作出图形，根据双曲线的定义可得，可得出，利用A、P、M三点共线时取得最小值即可得解.【详解】∵是双曲线的左焦点，∴，，，，设双曲线的右焦点为M，则，由双曲线的定义可得，则，所以，当且仅当A、P、M三点共线时，等号成立，因此，的最小值为9.故选：C.【点睛】关键点点睛：利用双曲线的定义求解线段和的最小值，有如下方法：（1）求解椭圆、双曲线有关的线段长度和、差的最值，都可以通过相应的圆锥曲线的定义分析问题；（2）圆外一点到圆上的点的距离的最值，可通过连接圆外的点与圆心来分析求解.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由题设条件可知，.当M在直线与椭圆交点上时，在第一象限交点时有，在第三象限交点时有.显然当M在直线与椭圆第三象限交点时有最大值，其最大值.由此能够求出的最大值.【详解】解：A为椭圆右焦点，设左焦点为，则由椭圆定义，于是.当M不在直线与椭圆交点上时，M、F、B三点构成三角形，于是，而当M在直线与椭圆交点上时，在第一象限交点时，有，在第三象限交点时有.显然当M在直线与椭圆第三象限交点时有最大值，其最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查椭圆的基本性质，解题时要熟练掌握基本公式.14、2【解析】根据已知条件，结合抛物线的定义，即可求解【详解】解：∵抛物线C：y2＝2px（p＞0）上的点P（1，y0）（y0＞0）到焦点的距离为2，∴由抛物线的定义可得，，解得p＝2故答案为：215、25【解析】根据表格数据求出，代入，即可求出.【详解】解：由题意知：，，将代入线性回归方程，即，解得：.故答案为：5.25.16、①.②.【解析】根据题意，结合条件概率的计算公式，即可求解.【详解】根据题意，事件表示“第3次取单恰好是从1号店取单”，因此；同理故答案为：；.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）证明见解析【解析】（1）根据，利用椭圆的定义求解；（2）（解法1）设，得到，的方程，与椭圆方程联立，求得M，N的坐标，写出直线的方程求解；（解法2）上同解法1，由对称性分析知动直线MN所过定点一定在x轴上，设所求定点为，由C，D，T三点共线，然后由求解；（解法3）设，由，，设：，：，其中，与椭圆方程联立，整理得，由F，M，N三点的横坐标为该方程的三个根，得到：求解.【小问1详解】解：由题知，则，由椭圆的定义知动点P的轨迹为以A，B为焦点，6为长轴长的椭圆，所以轨迹的方程为【小问2详解】（解法1）易知E，F为椭圆的长轴两端点，不妨设，，设，则，，于是：，：，联立得，解得或，易得，同理当，即时，：；当时，有，于是：，即综上直线MN过定点（解法2）上同解法1，得，，由对称性分析知动直线MN所过定点一定在x轴上，设所求定点为，由C，D，T三点共线，得，即，于是，整理得，由t的任意性知，即，所以直线MN过定点（解法3）设，则，，当时，直线MN即为x轴；当时，因为，所以，则，设：，：，其中，联立，得，整理得，易知F，M，N三点的横坐标为该方程的三个根，所以：，由及的任意性，知直线MN过定点18、（1）2（2）或【解析】（1）易知两直线的斜率存在，根据，由斜率相等求解.（2）分和，根据，由直线的斜率之积为-1求解.【小问1详解】由直线的斜率存在，且为，则直线的斜率也存在，且为，因为，所以，解得或2，①当时，由此时直线，重合，②当时，，此时直线，平行，综上：若，则实数m的值为2【小问2详解】①当时，直线斜率为0，此时若必有，不可能.②当时，若必有，解得，由上知若，则实数m的值为或19、（1）；（2）是定值，.【解析】(1)根据给定条件探求得，再借助椭圆定义直接求得轨迹的方程.(2)设出直线的方程，再与轨迹的方程联立，借助韦达定理计算作答.【小问1详解】圆：的圆心，半径，因线段的垂直平分线与半径相交于点，则，而，于是得，因此，点的轨迹是以C，A为左右焦点，长轴长为4的椭圆，短半轴长有，所以轨迹的方程为.【小问2详解】依题意，设直线的方程为：，，由消去y并整理得：，，则且，设，则有，，因直线，的斜率，都存在且不为，因此，且，，，所以直线，的斜率，都存在且不为时，是定值，这个定值是.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值20、（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）根据线面平行的判定，证明即可；（2）过C作，垂足为M，根据勾股定理证明，再根据线面垂直的性质与判定证明平面BCE即可【小问1详解】证明：因为四边形ABEF为矩形，所以，又平面BCE，平面BCE，所以平面BCE【小问2详解】过C作，垂足为M，则四边形ADCM为矩形因为，，所以，，，，所以，所以因为平面ABCD，，所以平面ABCD，所以又平面BCE，平面BCE，，所以平面BCE，又平面ACF，所以平面平面BCE21、（1）（2）【解析】（1）由正弦定理边化角，可求得角的正弦，由同角关系结合条件可得答案.(2)由（1），由余弦定理，求出边的长，进一步求得面积【小问1详解】因为，由正弦定理得因为，所以.因为角为钝角，所以角为锐角，所以小问2详解】由(1)，由余弦定理，得，所以，解得或，不合题意舍去，故的面积为