专题能力训练20 概率、统计与统计案例高考理科数学二轮总复习

专题能力训练20概率、统计与统计案例

能力突破训练

L某公司的班车在730,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达

发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10

分钟的概率是（）

A.-B.i

32

C.-D.-

34

2.在样本的频率分布直方图中,共有5个小长方形,若中间一个长方形的

面积等于其他4个小长方形面积和的£且样本容量为140,则中间一组的

频数为（）

A.10B.20C.40D.70

3.（四川雅安三模）为测试一种新药预防疾病的效果,某科研小组进行动物

实验，收集整理数据后将所得结果填入相应的2X2列联表也由列联表中

的数据计算得K2^9.616.参照附表，下列结论正确的是（）

附表：

P(K2^ko)0.0500.0100.0050.001

ko3.8416.6357.87910.828

A.在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“新药有效”

B.在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为“新药无效”

C.在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为“新药有效”

D.在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“新药无效”

4.甲、乙两个工厂的轮胎宽度的雷达图如图所示.根据下图中的信息，下面

说法错误的是（）

甲厂轮胎宽度（单位:mm）

・乙厂轮胎宽度（单位:mm）

A.甲厂轮胎宽度的平均数大于乙厂轮胎宽度的平均数

B.甲厂轮胎宽度的众数大于乙厂轮胎宽度的众数

C.甲厂轮胎宽度的中位数与乙厂轮胎宽度的中位数相同

D.甲厂轮胎宽度的极差小于乙厂轮胎宽度的极差

5.（云南一模）某中学为提高学生的健康水平,增设了每天40分钟的体育

锻炼课程，学生可以在跳绳、羽毛球、乒乓球、篮球、足球等课程中选择

一门.为了解该校学生选择乒乓球课程的情况,在全校班级中随机抽取了

7个班（将其编号为1.2,…,7）,下表是这7个班的学生选择乒乓球课程的

人数统计表.

班级编号1234567

人数1510141591113

若从这7个班中随机选取2个进行调查研究,则选出的2个班中至少

有1个班的学生选择乒乓球课程的人数超过12的概率为（）

卜•三

c-i

6.1904年,瑞典数学家柯克构造了一种曲线,取一个正三角形,在每个边

以中间的二部分为一边，向外凸出作一个小正三角形,再把原来边上中间的

;部分擦掉,就成了一个很像雪花的六角星,如图所示.现在向正三角形的

外接圆中均匀地撒放1000粒豆子,则落在六角星中的豆子数约为

()(n^3,73^1.732)

A.577B.537C.481D.331

7.一个平面封闭图形的周长与面积之比为“周积率”.由三个半圆构成的

图形,如图,其中最大半圆的直径为8,若在最大的半圆内随机取一点,该

点取自阴影部分的概率为则阴影部分的“周积率”为__________.

8

8.(广西桂林二模)某地区为了解居民的半年收入情况,随机抽取辖区内的

1200个家庭进行调查,半年收入均在[0,10](单位:万元)范围内，将调查

的数据分成[0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10]五组，并绘制成频率分布直

方图如图所示.

频率/组距

0.125

0.065

0.030

10收入/万元

⑴求图中x的值；

(2)若从半年收入在第一组[0,2)和第二组[2,4)的家庭中利用分层抽样的

方法抽取6个家庭,并从这6个家庭中任选2个家庭进行深入调研,求这2

个家庭的半年收入不在同一组的概率.

9.某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务

的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他

们随机分成两组,每组20人,第一组工人用第一种生产方式,第二组工人

用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了

如下茎叶图:

第一种生产方式第二种生产方式

8655689

976270122345668

987765433281445

2110090

(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由.

(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所

需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表:

生产方式超过m不超过m

第一种生产方式

第一种生产方式

(3)根据(2)中的列联表,能否在犯错误的概次不超过0.01的前提下认为

两种生产方式的效率有差异?

2

附：Y二n(ad.-bc')

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

P(K2^ko)0.0500.0100.001

k03.8416.63510.828

10.某研究机构对某校学生往返校时间的统计资料表明：该校学生居住地

到学校的距离x（单位:千米）和学生花费在上学路上的时间y（单位:分钟）

有如下的统计资料：

到学校的距离X/千米1.82.63.14.35.56.1

花费的时间y/分钟17.819.627.531.336.043.2

如果统计资料表明y与x有线性相关关系，

(1)判断y与X是否有很强的线性相关性？(相关系数r的绝对值大于0.75

时认为两个变量有很强的线性相关性,精确到0.01)

(2)求线性回归方程丫=bx+a;(精确到0.01)

(3)将y<27分钟的时间数据yt称为美丽数据,现从这6个时间数据,中任

取2个,求抽取的2个数据全部为美丽数据的概率.

参考数

66666

据：£Xi=23.4,£yi=l75.4,£Xiyi=764.36,E据-道(y「歹)=80.30,E据

i=ii=ii=it=l

2弓(xx)2(y广歹产口82.13.

-X)=14.30,£(y］歹)2=471.65,1rI

i=lNi=li=l

6

参考公式:「产科“.Z(阳一元)iyry)

—i=i_________________

6・

E(阳与产2

22

Z(Xi-x)Z(yry)1=1

Ji=it=i

思维提升训练

11.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单

位:°C）的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据

（X：,Yi）（i=l,2,…,20）得到下面的散点图:

由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为

发芽率y和温度x的回归方程类型的是（）

A.y=a+bxB.y=a+bx2

C.y=a+bexD.y=a+blnx

12.某产品在某零售摊位的零售价x（单位:元）与每天的销售量y（单位:个）

的统计资料如下表所示.由表可得回归直线方程y=bx+Q中的匕=-4,据此

模型预测零售价为15元时,每天的销售量为（）

X16171819

y50344131

A.51个B.50个C.49个D.48个

13.学校举行羽毛球混合双打比赛,每队由一男一女两名运动员组成.某班

级从3名男生酊A2,A,和4名女生BhB2,B3,BI中各随机选出两人，把选出的

4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则Ai和Bi两人组成一队参加

比赛的概率为（）

A.—B.-C.iD.3

18969

14.从区间［-2,3］中任取一个实数a,则a的值使函数f（x）=x+asinx在R

上单调递增的概率为（）

A.-4B.3-C.-2D.i1

5555

4

15.在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为,p,P3,P-1,且IPi=l,

P121=1

则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）

A.pi=p4=0.1,p2=P3=0.1

B.pi=p4=0.4,p2=P3=0.1

C.pi=p4=0.2,p?=ps=0.3

D.Pi—P4=O.3,P2—P3=0.2

16.对具有相关关系的两个变量x和y进行回归分析时，经过随机抽样获得

成对的样本点数据（x,成（i=l,2,…,n）,有下列结论:

①若两变量X,y具有线性相关关系，则回归直线至少经过一个样本点；

②若两变量x,y具有线性相关关系，则回归直线一定经过样本点中心

（x,y）;

③若以模型kae"拟合该组数据，为了求出回归方程,设z=lny,将其变换

后得到线性方程z=6x+ln3,则a,b的估计值分别是3和6;

n*2

④用R'l-窠1三来刻画回归模型的拟合效果时,若所有样本点都落在

一（'田

•条斜率为非零实数的直线上，则R2的值为1.

其中正确的结论是.（填序号）

17.A,B,C三个班共有100名学生,为调查他们的体育锻炼情况,通过分层

抽样获得了部分学生一周的锻炼时间,数据如下表（单位:小时）:

A班66.577.58

7

B班689101112

C班34.567.5910.51213.5

（1）试估计C班的学生人数;

⑵从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人,A班选出的人记为甲,C

班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相互独立,求该周甲的锻炼

时间比乙的锻炼时间长的概率；

（3）再从A,B,C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别

是7,9,8.25（单位:小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的

平均数记为小,表格中数据的平均数记为人,试判断U。和d的大

小.（结论不要求证明）

18.某沙漠地区经过治理,生态系统得到很大改善,野生动物数量有所增加,

为调查该地区某种野生动物的数量,将其分成面积相近的200个地块,从

这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数

据(X1,据(i，2,…,据)，其中X,和山分别表示第i个样区的植物覆盖面

2020

积(单位:公顷)和这种野生动物的数量,并计算得£x尸60,Zyk1

i—1i=l

202020

200,£(-x)2=80,L(y「歹)2=9000,£(-x)(yry)=800.

i=lXii=li=lXi

(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等

于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数)；

(2)求样本E,y；)(i=l,2,…,20)的相关系数(精确到0.01);

⑶根据现有统计资料,各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代

表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计,请给出一种你认为更

合理的抽样方法,并说明理由.

n

L(xx)(yy)

rr,72^1.414.

附：相关系数片n

V9，。今

I2

E(xrx)E(yry)

1=11=1

专题能力训练20概率、统计与统计案例

能力突破训练

1.B解析这是儿何概型问题.如图,所有基本事件的总长为40分钟,等车

时间不超过10分钟的时间段为7:50至8:00和8:20至8:30,共20分钟,

故他等车时间不超过10分钟的概率P=各=

402

故选B.

,▲!,▲!

7:508:()08:208:30

2.C解析因频率分布直方图中，各小矩形面积是该小矩形对应组的频率,

且各小矩形面积和为1,设中间一组的频率为x,则其他4组的频率为1-x,

由题意知X=1(l-x),解得x=|,

所以中间一组的频数为:x140=40.

3.C解析由已知得6.635<K\10.828,所以在犯错误的概率不超过0.01

的前提下，认为“新药有效”.

4.B解析由题意可知甲厂轮胎宽度的平均数是195,众数是194,中位数

是194.5,极差是3;乙厂轮胎宽度的平均数是194,众数是195,中位数是

194.5,极差是5,则A,C,D正确,B错误.

5.D解析由题意可知选择乒乓球课程的人数超过12的班有4个,不超过

12的班有3个，故选出的2个班中至少有1个班的学生选择乒乓球课程的

人数超过12的概率为1-1=

6.A解析设原大正三角形边长为3a(a>0),原正三角形外接圆的半径为

R(R>0),则由正弦定理得一会二2R,即R=V3a,于是外接圆面积S网

sin60

=nR2=3a2n.

又由题意得凸出来的小正三角形边长为a,则S六角星二S大正三角形+3S小正三角形

_1Q有s、,1V3_B2fmF六角星3V3a2y/3八匚七

=--o3a•3a—+3x--a•a—二o3V3a,则----=——=—七0.577,

2222'」S圆3。21T1T

所以落在六角星中的豆子数约为1000X0.577=577.

7.2解析依题意，设较小的白色半圆的半径为r(0<r<2),则较大的白色半

圆的半径为等M-r,

ITX42Trr2n(4-r)2

所以g=

2

解得r=l或r=3(舍去).

所以阴影部分的“周积率"为】"：+了3；丫1*

-/X32-尹X#3

8.解(1)依题意,2X(0.125+x+O.065+0.03+0.03)=1,解得x=0.25.

(2)由题意可知抽取的6个家庭中，半年收入在第一组［0,2)的家庭有2个,

分别记为x,y,半年收入在第二组⑵4)的家庭有4个,分别记为a,b,c,d,

则从这6个家庭中任选2个家庭的情况有

(x,y),(x,a),(x,b),(x,c),(x,d),(y,a),(y,b),(y,c),(y,d),(a,b),(a,

c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d),共15种，

其中这2个家庭的半年收入不在同一组的情况有

(x,a),(x,b),(x,c),(x,d),(y,a),(y,b),(y,c),(y,d),共8种,

故这2个家庭的半年收入不在同一组的概率为白

15

9,解⑴第二种生产方式的效率更高.

理由如下：

①由题中茎叶图可知,用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生

产任务所需时间高于80min,用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完

成生产任务所需时间低于80min.因此第二种生产方式的效率更高.

②由题中茎叶图可知，用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的

中位数为85.5min,用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中

位数为73.5min.因此第二种生产方式的效率更高.

③由题中茎叶图可知，用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时

间高于80min;用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于

80min.因此第二种生产方式的效率更高.

④由题中茎叶图可知，用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分

布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布;用第二种生产方式的工人完

成生产任务所需时间分布在茎7上的最多,关于茎7大致呈对称分布.又用

两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为

用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生

产任务所需的时间更少.因此第二种生产方式的效率更高.

以上给出了4种理由，写出其中任意一种或其他合理理由均可.

(2)由茎叶图知m二殁

列联表如下：

生产方式超过m不超过m

第一种生产方式155

第一种生产方式515

)2

(3)因为Y二40X(15X15-5X5-=10>6.635,

20X20X20X20

所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为两种生产方式的效率有

差异.

10.解(1)・・・r-,i£i(Xi-x)(yry)a型史aO.98>o.75,

H/I82.13

区a田言内2

・・・y与x有很强的线性相关性.

16

(2)依题意得宣=：Ex尸3.9,y=

6i=i

1666

-£y产29.23,£(x「±)(y「9)=80.30,ZU；-%)=14.30.

6i=ii=li=l

亦展哀(苍如力’80.30「

所以匕=三\--------=-----《5.62.

£(xx)2"3。

i=ir

又因为Q=歹一位又9.23-5.62X3.9^7.31,故线性回归方程为

y=5.62x+7.31.

(3)由(2)可知，当x=3.1时，丫3二24.732<27,当x=4.3时,y4=31.476>27,所

以满足y<27分钟的美丽数据共有3个，设3个美丽数据为a,b,c,另3个不

是美丽数据的为A,B,C,则从6个数据中任取2个共有15种情况，即

aA,aB,aC,bA,bB,bC,cA,cB,cC,AB,AC,BC,ab,ac,be,其中，抽取到的数据

全部为美丽数据的有3种情况,即ab,ac,be.所以从这6个时间数据力中

任取2个,抽取的2个数据全部为美丽数据的概率为卷=i

思维提升训练

11.D解析结合题中散点图，由图象的大致走向判断，此函数应该是对数

函数模型，故应该选用的函数模型为y=a+blnx.

12.C解析由题意知K17.5,歹=39,代入回归直线方程得a=109,即得回归

直线方程y=-4x+109,将x=15代入回归方程,得y二-4X15+109=49.故选C.

13.C解析从3名男生A。A2,As和4名女生及B2,B3,BI中各随机选出两人,

把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛,所有的组队方法数

为笔1乌=36种，

A2

其中由和Bi两人组成一队的组队方法数为©弓二6种，

因此,A,和Bi两人组成一队参加比赛的概率=p

366

14.C解析f"(x)=l+acosx,要使函数f(x)=x+asinx在R上单调递增，则

1+acosx>O对任意实数x都成立.

•.•-KcosxWl,.*.①当a>0时,—aWacosxWa,・••一a2—l,.'.OVaWl;②当

a=0时，120恒成立;③当a<0时,aWacosxW-a,

Aa^-1,A-l^a<0.综上,TWaWL

.,•函数f(x)=x+asinx在R上单调递增的概率P=|.

15.B解析四个选项的数据都具有对称性,平均数均为2.5,其中B选项的

数据中，极端值最多,数据波动程度最大,故选B.

16.②③④解析若两变量x,y具有线性相关关系，即满足y=bx+a,则一

定满足歹=+a,样本点不一定在拟合直线上，故①错误,②正确；

若以模型厂aebx拟合该组数据,z=lny=bx+lna=6x+ln3,故a=3,b=6,故

③正确;

9

£(y.-y.