2025-2026学年天津市北辰区九年级（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年天津市北辰区九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列图形中，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.下列方程是一元二次方程的是（）A.x2+2y=1 B.x2-2x=3 C. D.ax2=03.用配方法解一元二次方程x2-10x+21=0，下列变形正确的是（）A.（x-5）2=4 B.（x+5）2=4 C.（x-5）2=121 D.（x+5）2=1214.抛物线y=（x+2）2+1可由抛物线y=x2平移得到，下列平移正确的是（）A.先向右平移2个单位，再向上平移1个单位 B.先向右平移2个单位，再向下平移1个单位

C.先向左平移2个单位，再向上平移1个单位 D.先向左平移2个单位，再向下平移1个单位5.已知关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=2，则b与c的值分别为（）A.b=3，c=2 B.b=3，c=-2 C.b=-3，c=2 D.b=-3，c=-26.已知m是方程x2-x-1=0的一个根，则代数式m2-m+2024的值等于（）A.2025 B.0 C.-2024 D.20237.关于抛物线y=3（x-1）2+2，下列说法错误的是（）A.开口方向向上 B.对称轴是直线x=1

C.顶点坐标为（1，2） D.当x＞1时，y随x的增大而减小8.若关于x的一元二次方程kx2-6x+9=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A.k＜1 B.k＜1且k≠0 C.k≠0 D.k＞19.设A（-2，y1），B（1，y2），C（3，y3）是抛物线y=x2+2x-9上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A.y1＞y2＞y3 B.y1＞y3＞y2 C.y3＞y2＞y1 D.y2＞y1＞y310.参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（）A.x（x+1）=90 B.x（x+1）=90 C.x（x-1）=90 D.x（x-1）=9011.如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，点B，C的对应点分别为D，E，连接CE，点D恰好落在线段CE上，下列结论一定正确的是（）

A.AB=AE B.∠ABC+∠E=180° C.AC平分∠BCD D.BC+CD=AE12.二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x=-1，结合图象给出下列结论：

①abc＜0；

②b-2a＞0；

③a+b+c=0；

④关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根分别为-3和1；

⑤am2+bm＞a-b.

其中正确的结论有（）A.2个 B.3个 C.4个 D.5个二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。13.一元二次方程x2-6=0的解为

.14.在平面直角坐标系中，点M（-5，4）关于原点对称的点的坐标是______．15.一元二次方程（x-2）（x+5）=0的较小的根为

.16.已知抛物线y=x2-2x+m-1与x轴只有一个交点，则m的值是

.17.如图，边长为2的正方形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到正方形AB1C1D1，则它们公共部分的面积为

.

18.如图，A点的坐标为（-1，5），B点的坐标为（3，3），C点的坐标为（5，3），D点的坐标为（3，-1）小明发现线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段.

（Ⅰ）AB=

；

（Ⅱ）写出旋转中心的坐标是

.

三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.(本小题8分)

选择适当的方法解下列方程：

（1）x2+2x=6；

（2）3（x-2）2=x2-4.20.(本小题8分)

如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上.

（1）将△ABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并写出A1、B1、C1三点的坐标.

（2）画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2，并写出A2、B2、C2三点的坐标.21.(本小题10分)

如图，某校准备在校园里利用25m长的旧围墙MN的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD，现已备足可以砌60m长的墙的材料（全部用完），设AB的长为xm.

（1）BC的长为______m；x的取值范围是______；

（2）当x为何值时，可使矩形花园ABCD的面积为400m222.(本小题10分)

已知抛物线y=x2+（m-1）x+m-2的对称轴为直线x=1，请你解答下列问题：

（1）求m的值及顶点坐标；

（2）求抛物线与x轴的交点坐标，并画出函数图象；

（3）当x＜1时，y随x的增大而______（填“增大”或“减小”）；

（4）当y＜0时，x的取值范围是______.23.(本小题10分)

某商场将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可售出100件.后来经过市场调查，发现这种商品在原售价的基础上每件每降价1元，其销量可增加10件.

（1）求商场经营该商品原来一天可获利润______元.

（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元.

①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？

②求出y与x之间的函数关系式，当x取何值时，商场获利润最大，最大值是多少？24.(本小题10分)

P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，将线段BP绕点B顺时针旋转60°，得到线段BQ，连结CQ.

（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论.

（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由.25.(本小题10分)

如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与一直线相交于A（-1，0）、C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．

（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；

（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；

（3）设点M（3，n），求使MN+MD取最小值时n的值．

1.【答案】A

2.【答案】B

3.【答案】A

4.【答案】C

5.【答案】C

6.【答案】A

7.【答案】D

8.【答案】B

9.【答案】C

10.【答案】D

11.【答案】C

12.【答案】B

13.【答案】，

14.【答案】（5，-4）

15.【答案】x=-5

16.【答案】2

17.【答案】

18.【答案】2（1，1）或（4，4）

19.【答案】x1=-1+，x2=-1-；

x1=2，x2=4

20.【答案】；A1（3，5），B1（2，1），C1（5，2）．

；A2（-3，-5），B2（-2，-1），C2（-5，-2）

21.【答案】60-2x；17.5≤x＜30；

当x为20m时，矩形花园ABCD的面积为400m2

22.【答案】m=-1，顶点坐标为（1，-4）；

抛物线与x轴交点坐标为（3，0），（-1，0），函数图象如图所示；

减小；

-1＜x＜3．

23.【答案】商场经营该商品原来一天可获利润2000元；

①每件商品应降价2元或8元；

②y=-10x2+100x+2000；当x=5时，商店所获利润最大，最大值为2250

24.【答案】猜想：AP=CQ．

证明：由旋转得，BP=BQ，∠PBQ=60°，

∴∠QBC+∠PBC=60°．

∵△ABC为等边三角形，

∴AB=BC，∠ABC=60°，

∵∠ABP+∠PBC=60°，

∴∠ABP=∠QBC．

∴△ABP≌△CBQ（SAS），

∴AP=CQ．

△PQC是直角三角形．

理由：设PA=3a，PB=4a，PC=5a，

由旋转得，BP=BQ，∠PBQ=60°，

∴△PBQ为等边三角形．

∴PQ=PB=4a．

由

知，AP=CQ，

∴CQ=3a．

∵PQ2+QC2=16a2+9a2=25a2=PC2，

∴△PQC是直角三角形

25.【答案】解：（1）∵将点A（-1，0）和点C（2，3）代入抛物线的解析式得：，解得：b=2，c=3．

∴抛物线的解析式为y═-x2+2x+3．

设直线AC的解析式为y=kx+b．

∵将点A和点C的坐标代入得，解得k=1，b=1．

∴直线AC的解析式为y=x+1．

（2）如图，过P点作PQy轴交AC于点Q,

设点P（m，-m2+2m+3），

∴Q（m，m+1），

∴PQ=（-m2+2m+3）-（m+1）=-m2+m+2=-（m-）2+，

∴S△APC=S△QPC+S△APQ=PQ×|xC-xA|

=[-（m-）2+]×3=-（m-）2+，

∴当m=时，S△APC最大=，

yp=-m2+2m+3=，

∴P（，）；

（3）如图1所示，过点N