高中数学数列的概念选择题专项训练单元测试及答案

高中数学数列的概念选择题专项训练单元测试及答案一、数列的概念选择题1．数列前项和为，若，则的值为（）A． B． C． D．答案：A解析：A【分析】根据，求出，，，，，寻找规律，即可求得答案.【详解】当，，解得：当，，解得：当，，解得：当，，解得：当奇数时，当偶数时，，故故选：A.【点睛】本题主要考查了根据递推公式求数列值，解题关键是掌握数列的基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.2．数列满足：，其前项积为，则（）A． B． C． D．答案：A解析：A【分析】根据递推公式推导出，且有，再利用数列的周期性可计算出的值.【详解】，，，，，，，且，，因此，.故选：A.【点睛】本题考查数列递推公式的应用，涉及数列周期性的应用，考查计算能力，属于中等题.3．已知数列满足，且，则该数列前2016项的和为（）A．2015 B．2016 C．1512 D．答案：C解析：C【分析】通过计算出数列的前几项确定数列是以2为周期的周期数列，进而计算可得结论．【详解】依题意，，，，从而数列是以2为周期的周期数列，于是所求值为，故选：C【点睛】关键点睛：解答本题的关键是联想到数列的周期性并找到数列的周期.4．在数列中，，则（）A．是常数列 B．不是单调数列 C．是递增数列 D．是递减数列答案：D解析：D【分析】由，利用反比例函数的性质判断即可.【详解】在数列中，，由反比例函数的性质得：是时单调递减数列，故选：D5．定义：在数列中，若满足（为常数），称为“等差比数列”，已知在“等差比数列”中，，则等于（）A．4×20162－1 B．4×20172－1 C．4×20182－1 D．4×20182答案：C解析：C【分析】根据“等差比”数列的定义，得到数列的通项公式，再利用求解.【详解】由题意可得：，，，根据“等差比数列”的定义可知数列是首先为1，公差为2的等差数列，则，所以，，所以.故选：C【点睛】本题考查数列新定义，等差数列，重点考查理解题意，转化思想，计算能力，属于中档题型.6．已知数列的前项和，则的值为（）A．4 B．6 C．8 D．10答案：C解析：C【分析】利用计算．【详解】由已知．故选：C．7．已知数列{an}满足若a1=,则a2019=(

)A． B． C． D．答案：B解析：B【分析】根据数列的递推公式，得到数列的取值具备周期性，即可得到结论．【详解】∵，又∵a1，∴a2＝2a1﹣1＝21，a3＝2a2，a4＝2a3＝2，a5＝2a4﹣1＝21，故数列的取值具备周期性，周期数是4，则＝＝，故选B．【点睛】本题主要考查数列项的计算，根据数列的递推关系是解决本题的关键．根据递推关系求出数列的取值具备周期性是解决本题的突破口．8．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（）（注：）A．1624 B．1198 C．1024 D．1560答案：C解析：C【分析】设该数列为，令，设的前项和为，又令，则，依次用累加法，可求解.【详解】设该数列为，令，设的前项和为，又令，设的前项和为，易得，所以，，进而得，所以，同理：所以，所以.故选：C【点睛】本题考查构造数列，用累加法求数列的通项公式，属于中档题.9．已知数列满足，且对任意的都有，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．答案：D解析：D【分析】根据题意，得到数列是增数列，结合通项公式，列出不等式组求解，即可得出结果.【详解】因为对任意的都有，则数列单调递增；又，所以只需，即，解得.故选：D.【点睛】本题主要考查由数列的单调性求参数，属于基础题型.10．若数列的前4项分别是，则此数列的一个通项公式为（）A． B． C． D．答案：C解析：C【分析】根据数列的前几项的规律，可推出一个通项公式.【详解】设所求数列为，可得出，，，，因此，该数列的一个通项公式为.故选：C.【点睛】本题考查利用数列的前几项归纳数列的通项公式，考查推理能力，属于基础题.11．在数列中，已知，，，则等于（）A． B． C．4 D．5答案：B解析：B【分析】根据已知递推条件即可求得【详解】由知：故选：B【点睛】本题考查了利用数列的递推关系求项，属于简单题12．数列满足，，则的值为（）A．1 B．-1 C． D．答案：B解析：B【分析】根据数列的递推公式，代入计算可得选项.【详解】因为，，所以，故选：B.【点睛】本题考查由数列递推式求数列中的项，属于基础题.13．数列的一个通项公式是（）A． B． C． D．答案：D解析：D【分析】根据数列分子分母的规律求得通项公式.【详解】由于数列的分母是奇数列，分子是自然数列，故通项公式为.故选：D【点睛】本小题主要考查根据数列的规律求通项公式，属于基础题.14．已知数列，若，则称数列为“凸数列”.已知数列为“凸数列”，且，，则数列的前2020项和为（）A．5 B． C．0 D．答案：B解析：B【分析】根据数列的递推关系可求得数的周期为，即可求得数列的前2020项和.【详解】，且，，是以为周期的周期数列，且，，故选：B.【点睛】本题考查数列的新定义、数列求和，考查运算求解能力，求解时注意通过计算数列的前6项，得到数列的周期.15．已知数列前n项和为，且满足则（）A． B．C． D．答案：C解析：C【分析】由条件可得出，然后可得，即可推出选项C正确.【详解】因为所以，所以所以，所以所以故选：C【点睛】本题主要考查的是数列的前项和与的关系，解答的关键是由条件得到，属于中档题.二、数列多选题16．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，记Sn为数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是（）A．a8＝34 B．S8＝54 C．S2020＝a2022－1 D．a1＋a3＋a5＋…＋a2021＝a2022答案：BCD【分析】由题意可得数列满足递推关系，依次判断四个选项，即可得正确答案.【详解】对于A，可知数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，可解析：BCD【分析】由题意可得数列满足递推关系，依次判断四个选项，即可得正确答案.【详解】对于A，可知数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，可得，则即，，故C正确；对于D，由可得，，故D正确.故选：BCD.【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，解题的关键是得出数列的递推关系，，能根据数列性质利用累加法求解.17．已知数列满足，且，则（）A． B．C． D．答案：ACD【分析】先计算出数列的前几项，判断AC，然后再寻找规律判断BD．【详解】由题意，，A正确，，C正确；，∴数列是周期数列，周期为3．，B错；，D正确．故选：ACD．【点睛】本解析：ACD【分析】先计算出数列的前几项，判断AC，然后再寻找规律判断BD．【详解】由题意，，A正确，，C正确；，∴数列是周期数列，周期为3．，B错；，D正确．故选：ACD．【点睛】本题考查由数列的递推式求数列的项与和，解题关键是求出数列的前几项后归纳出数列的性质：周期性，然后利用周期函数的定义求解．18．已知数列的前n项和为，且满足，，则下列说法错误的是（）A．数列的前n项和为 B．数列的通项公式为C．数列为递增数列 D．数列为递增数列答案：ABC【分析】数列的前项和为，且满足，，可得：，化为：，利用等差数列的通项公式可得，，时，，进而求出．【详解】数列的前项和为，且满足，，∴，化为：，∴数列是等差数列，公差为4，∴，可得解析：ABC【分析】数列的前项和为，且满足，，可得：，化为：，利用等差数列的通项公式可得，，时，，进而求出．【详解】数列的前项和为，且满足，，∴，化为：，∴数列是等差数列，公差为4，∴，可得，∴时，，，对选项逐一进行分析可得，A，B，C三个选项错误，D选项正确.故选：ABC.【点睛】本题考查数列递推式，解题关键是将已知递推式变形为，进而求得其它性质，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题19．已知数列是首项为1，公差为d的等差数列，则下列判断正确的是（）A．a1＝3 B．若d＝1，则an＝n2+2n C．a2可能为6 D．a1，a2，a3可能成等差数列答案：ACD【分析】利用等差数列的性质和通项公式，逐个选项进行判断即可求解【详解】因为，，所以a1＝3，an＝[1+(n-1)d](n+2n).若d＝1，则an＝n(n+2n)；若d＝0，则a2＝解析：ACD【分析】利用等差数列的性质和通项公式，逐个选项进行判断即可求解【详解】因为，，所以a1＝3，an＝[1+(n-1)d](n+2n).若d＝1，则an＝n(n+2n)；若d＝0，则a2＝6.因为a2＝6+6d，a3＝11+22d，所以若a1，a2，a3成等差数列，则a1+a3＝a2，即14+22d＝12+12d，解得.故选ACD20．已知等差数列的公差不为，其前项和为，且、、成等差数列，则下列四个选项中正确的有（）A． B． C．最小 D．答案：BD【分析】设等差数列的公差为，根据条件、、成等差数列可求得与的等量关系，可得出、的表达式，进而可判断各选项的正误.【详解】设等差数列的公差为，则，，因为、、成等差数列，则，即，解得，，解析：BD【分析】设等差数列的公差为，根据条件、、成等差数列可求得与的等量关系，可得出、的表达式，进而可判断各选项的正误.【详解】设等差数列的公差为，则，，因为、、成等差数列，则，即，解得，，.对于A选项，，，A选项错误；对于B选项，，，B选项正确；对于C选项，.若，则或最小；若，则或最大.C选项错误；对于D选项，，D选项正确.故选：BD.【点睛】在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和d等基本量，通过建立方程（组）获得解，另外在求解等差数列前项和的最值时，一般利用二次函数的基本性质或者数列的单调性来求解.21．是等差数列，公差为d，前项和为，若，，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．答案：ABD【分析】结合等差数列的性质、前项和公式，及题中的条件，可选出答案.【详解】由，可得，故B正确；由，可得，由，可得，所以，故等差数列是递减数列，即，故A正确；又，所以，故C不正确解析：ABD【分析】结合等差数列的性质、前项和公式，及题中的条件，可选出答案.【详解】由，可得，故B正确；由，可得，由，可得，所以，故等差数列是递减数列，即，故A正确；又，所以，故C不正确；又因为等差数列是单调递减数列，且，所以，所以，故D正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列性质的应用，解题的关键是熟练掌握等差数列的增减性及前项和的性质，本题要从题中条件入手，结合公式，及，对选项逐个分析，可判断选项是否正确.考查学生的运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题.22．设d为正项等差数列的公差，若，，则（）A． B． C． D．答案：ABC【分析】由已知求得公差的范围：，把各选项中的项全部用表示，并根据判断各选项．【详解】由题知，只需，，A正确；，B正确；，C正确；，所以，D错误.【点睛】本题考查等差数列的性解析：ABC【分析】由已知求得公差的范围：，把各选项中的项全部用表示，并根据判断各选项．【详解】由题知，只需，，A正确；，B正确；，C正确；，所以，D错误.【点睛】本题考查等差数列的性质，解题方法是由已知确定的范围，由通项公式写出各项（用表示）后，可判断．23．定义为数列的“优值”已知某数列的“优值”，前n项和为，则（）A．数列为等差数列 B．数列为等比数列C． D．，，成等差数列答案：AC【分析】由题意可知，即，则时，，可求解出，易知是等差数列，则A正确，然后利用等差数列的前n项和公式求出，判断C，D的正误.【详解】解：由，得，所以时，，得时，，即时，，当时，由解析：AC【分析】由题意可知，即，则时，，可求解出，易知是等差数列，则A正确，然后利用等差数列的前n项和公式求出，判断C，D的正误.【详解】解：由，得，所以时，，得时，，即时，，当时，由知，满足．所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，故A正确，B错，所以，所以，故C正确．，，，故D错，故选：AC．【点睛】本题考查数列的新定义问题，考查数列通项公式的求解及前n项和的求解，难度一般.24．下面是关于公差的等差数列的四个命题，其中的真命题为（）.A．数列是递增数列B．数列是递增数列C．数列是递增数列D．数列是递增数列答案：AD【分析】根据等差数列的性质，对四个选项逐一判断，即可得正确选项.【详解】，，所以是递增数列，故①正确，，当时，数列不是递增数列，故②不正确，，当时，不是递增数列，故③不正确，，因解析：AD【分析】根据等差数列的性质，对四个选项逐一判断，即可得正确选项.【详解】，，所以是递增数列，故①正确，，当时，数列不是递增数列，故②不正确，，当时，不是递增数列，故③不正确，，因为，所以是递增数列，故④正确，故选：【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，属于基础题.25．设等差