第二十四章圆（4大考点5大易错）（知识清单）数学人教版九年级上册

第二十四章圆【知识点01】圆的有关性质1.圆的定义及性质圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆。这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。确定圆的条件：（1）圆心；（2）半径。圆的对称性：（1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；（2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。2.圆的有关概念弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。备注：（1）直径是同一圆中最长的弦。（2）直径长度等于半径长度的2倍。弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弧记作AB，读作圆弧AB或弧AB。等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。3.垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。4.圆心角、圆周角的概念（1）圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。（2）圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角=1推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。【知识点02】点和圆、直线和圆的位置关系1.点与圆的位置关系设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：d<r点P在⊙O内；d=r点P在⊙O上；d>r点P在⊙O外。2.三角形的内切圆和内心（1）三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。（2）三角形的内心：三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。注意：内切圆及有关计算（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。（4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。3.直线与圆的位置关系4.切线的性质与判定定理（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线【知识点03】正多边形和圆1.圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。2.圆内正多边形的计算【知识点04】弧长和扇形面积1.扇形的弧长和面积计算：圆心角：扇形多对应的圆的半径：扇形弧长：扇形面积2.扇形与圆柱、圆锥之间联系【易错一】求某点的弧形运动路径长度1.易错总结：易混淆弧长公式中圆心角的单位，若用弧度制，公式为l=ar（a为圆心角弧度数）；若用角度制，公式为l=nπr1802.注意事项：确定圆心角大小时，要结合点的运动轨迹，准确找到对应的圆心角，同时注意半径r的取值是否正确，保证弧长计算的两个关键要素无误。

【知识点】求某点的弧形运动路径长度、根据旋转的性质求解【易错二】求图形旋转后扫过的面积1.易错总结:易错误判断旋转后图形扫过的区域形状，把非扇形部分误算成扇形，或者对旋转半径的确定不准确，导致面积计算错误。2.注意事项:明确图形旋转时的旋转中心、旋转角度，准确判断扫过区域的形状，仔细确定各部分对应的半径，再结合相应面积公式计算。【答案】【知识点】求图形旋转后扫过的面积故答案为：．【点睛】本题考查了扇形的面积计算，旋转的性质，直角三角形的性质等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．【易错三】求其他不规则图形的面积1.易错总结:易错误拆分或组合图形，导致对各部分形状和尺寸判断失误，进而使面积计算出错；也常因忽略图形间的重叠、空缺部分，造成面积多算或少算。2.注意事项:仔细分析图形结构，合理拆分或补全为规则图形，明确各部分的形状、尺寸及相互关系，计算时留意重叠、空缺部分的处理。【知识点】用勾股定理解三角形、求其他不规则图形的面积、根据旋转的性质求解故答案为：．【易错四】利用90°的圆周角所对的弦是直径求解答题1.易错总结:一是容易忽略“圆周角为90度”这一前提条件，在普通圆周角情况下错误使用该定理得出弦是直径的结论；二是在复杂图形中，无法准确识别出90度圆周角所对应的弦，导致不能有效利用该定理解决问题。2.注意事项:首先要牢记定理使用的前提是圆周角为90度；其次，面对复杂几何图形时，仔细观察角的度数标注和图形结构，通过辅助线等方式，精准定位90度圆周角及其所对的弦。【答案】(1)见解析(2)【知识点】90度的圆周角所对的弦是直径、已知圆内接四边形求角度、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，圆的基本性质等；（2）解：如图，连接，点C为的中点，【易错五】与圆有关的新定义型问题1.易错总结:易因未完全理解新定义内涵，错用定义中的条件（如特殊点、特殊线段、角度关系）；也常忽略新定义与圆的基本性质（如半径、圆心角、切线）的关联，导致解题思路偏离。2.注意事项:先逐字研读新定义，圈画关键条件并转化为数学语言；再结合圆的基本性质分析，通过画图直观呈现新定义中的图形关系，验证每一步推理是否符合定义要求。例题：（2324九年级上·陕西渭南·期末）【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．【初步应用】①的度数为________；②连接，若的半径为5，求线段的长；【拓展提升】【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、已知圆内接四边形求角度【分析】（1）①根据定义列式计算即可．②根据定义求角，根据直径对的圆周角是直角，运用勾股定理计算即可．故答案为：60．②作圆的直径,连接,∵圆的半径为5，【点睛】本题考查了新定义问题，等边三角形的判定和性质，圆的内接四边形的性质，三角形全等的判定和性质，圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，熟练掌握圆的性质是解题的关键．一、单选题1．（2425九年级上·河北石家庄·期末）如图，将一个半径为1的半圆，在直线上从左往右作无滑动的滚动，则滚动2025周后圆心所经过的路径长为（）【答案】D故选：D．【答案】D【分析】本题考查组合图形的面积，解题的关键是掌握圆面积、扇形面积以及矩形面积的计算方法．【详解】根据圆面积、扇形面积以及矩形面积的计算方法进行计算即可．故选：．【答案】A【分析】本题考查了求不规则图形的面积．【详解】解：∵的半径为，连接，故选：A．二、填空题【答案】、、三点在同一条直线上，故答案为：cm．【答案】/；故答案为：．【答案】【详解】解：如图，连接，，，，故答案为：．三、解答题(1)求证：是的切线；【答案】(1)见解析【分析】本题考查了垂径定理，切线的判定与性质，圆周角定理，扇形面积的求法和勾股定理，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键．【详解】（1）证明：连接，(1)三角板旋转了______度；【答案】(1)(3)∵点与延长线上的点重合，故答案为：．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，弧长公式，勾股定理等，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．9．（2425九年级上·浙江湖州·阶段练习）定义：若圆内接三角形是等腰三角形，我们就称这样的三角形为“圆等三角形”．【答案】(1)4【分析】本题考查了等腰三角形的性质，扇形的面积和三角形的面积，等边三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．（1）过作直线的垂线交于，，分别以和为圆心，为半径作弧与圆的交点就是所求的点；【详解】（1）解：过作直线的垂线交于，，分别以和为圆心，为半径作弧与圆的交点就是所求的点；如图所示：满足条件的点C共有4个，故答案为：4；10．（2425九年级上·湖南长沙·期中）类似于三角形的内切圆，我们定义：与四边形各边都相切的圆叫做四边形的内切圆．请结合定义，解答下列问题：(1)请你判断下列说法是否正确（正确的打“”，错误的打“”），①邻边不相等的矩形一定没有内切圆；（

）②正方形一定有内切圆；（

）【答案】(1)，，；(2)见解