2025年上学期高一数学规范答题训练试题

2025年上学期高一数学规范答题训练试题一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）已知集合(A={x|x^2-3x+2=0})，(B={x|2x-4=0})，则(A\capB=)（）A.({1})B.({2})C.({1,2})D.(\varnothing)函数(f(x)=\sqrt{x-1}+\frac{1}{x-2})的定义域是（）A.([1,+\infty))B.((1,2)\cup(2,+\infty))C.([1,2)\cup(2,+\infty))D.((1,+\infty))下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（）A.(f(x)=x^3)B.(f(x)=\sinx)C.(f(x)=\log_2x)D.(f(x)=2^x)已知(\sin\alpha=\frac{3}{5})，且(\alpha)为第二象限角，则(\cos\alpha=)（）A.(\frac{4}{5})B.(-\frac{4}{5})C.(\frac{3}{4})D.(-\frac{3}{4})在等差数列({a_n})中，若(a_1=2)，(a_3+a_5=14)，则公差(d=)（）A.1B.2C.3D.4若(a>b>0)，则下列不等式一定成立的是（）A.(a^2<b^2)B.(\frac{1}{a}>\frac{1}{b})C.(ac>bc)D.(a+c>b+c)函数(f(x)=2\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right))的最小正周期是（）A.(\frac{\pi}{2})B.(\pi)C.(2\pi)D.(4\pi)已知向量(\vec{a}=(1,2))，(\vec{b}=(m,1))，若(\vec{a}\perp\vec{b})，则(m=)（）A.(-2)B.(-1)C.(1)D.(2)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）函数(f(x)=x^2-4x+3)的最小值是________。已知(\log_28+\log_39=)________。若等比数列({a_n})的前(n)项和(S_n=2^n-1)，则(a_3=)________。某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是________(\text{cm}^3)。三、解答题（本大题共6小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13.（本小题满分14分）已知函数(f(x)=x^2-2ax+3)（(a)为常数）。（1）若(f(x))在区间([1,+\infty))上单调递增，求(a)的取值范围；（2）若(f(x))在区间([-1,2])上的最大值为8，求(a)的值。规范答题示例：（1）函数(f(x)=x^2-2ax+3)的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为(x=a)。（2分）因为(f(x))在([1,+\infty))上单调递增，所以对称轴(x=a\leq1)。（4分）故(a)的取值范围是((-\infty,1])。（5分）（2）①当(a\leq\frac{-1+2}{2}=\frac{1}{2})时，(f(x))在([-1,2])上的最大值为(f(2)=4-4a+3=7-4a)。（7分）令(7-4a=8)，解得(a=-\frac{1}{4})，符合题意。（9分）②当(a>\frac{1}{2})时，(f(x))在([-1,2])上的最大值为(f(-1)=1+2a+3=4+2a)。（11分）令(4+2a=8)，解得(a=2)，符合题意。（13分）综上，(a=-\frac{1}{4})或(a=2)。（14分）14.（本小题满分15分）在(\triangleABC)中，角(A)，(B)，(C)所对的边分别为(a)，(b)，(c)，已知(a=2)，(b=3)，(\cosC=\frac{1}{4})。（1）求边(c)的长；（2）求(\sinA)的值。规范答题要求：必须写出余弦定理、正弦定理的公式；计算过程中需保留根号，结果化为最简形式；需注明角(A)的范围（锐角/钝角）。15.（本小题满分15分）已知数列({a_n})满足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+1)（(n\in\mathbb{N}^*)）。（1）证明：数列({a_n+1})是等比数列；（2）求数列({a_n})的前(n)项和(S_n)。规范答题要求：证明等比数列需写出定义式(\frac{a_{n+1}+1}{a_n+1}=q)（常数）；求和过程需使用分组求和法，并写出等比数列前(n)项和公式。16.（本小题满分16分）如图，在三棱锥(P-ABC)中，(PA\perp)平面(ABC)，(AB\perpBC)，(PA=AB=BC=2)，(D)为(AC)的中点。（1）求证：(BD\perp)平面(PAC)；（2）求三棱锥(P-BCD)的体积。规范答题要求：证明线面垂直需写出“线线垂直→线面垂直”的两个条件；体积计算需注明底面积和高，公式为(V=\frac{1}{3}Sh)。17.（本小题满分16分）已知函数(f(x)=\sinx+\cosx)（(x\in\mathbb{R})）。（1）求(f(x))的最小正周期和单调递增区间；（2）若(f(\alpha)=\frac{\sqrt{2}}{2})，且(\alpha\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right))，求(\tan\alpha)的值。规范答题要求：需将(f(x))化为(A\sin(\omegax+\varphi))的形式；单调区间需用区间表示，结果中(k\in\mathbb{N}^*)。18.（本小题满分18分）某工厂生产一种产品，每件成本为(40)元，销售单价为(60)元，每月可销售(300)件。为了提高利润，工厂决定降价销售，经市场调研发现：销售单价每降低(1)元，每月可多销售(20)件。设每件产品降价(x)元（(x\in\mathbb{N})），每月的利润为(y)元。（1）求(y)与(x)的函数关系式，并写出(x)的取值范围；（2）当降价多少元时，每月的利润最大？最大利润是多少？规范答题要求：函数关系式需注明定义域；最值问题需用二次函数顶点公式或导数法求解，并验证定义域。四、附加题（本大题共2小题，每小题10分，共20分。不计入总分，供学有余力的学生选做）已知函数(f(x)=\lnx-ax)有两个零点，则实数(a)的取值范围是________。在平面直角坐标系中，已知椭圆(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的离心率为(\frac{\s