2025年上学期高一数学函数单调性与奇偶性试题

2025年上学期高一数学函数单调性与奇偶性试题一、单选题（每题5分，共60分）下列函数中，在区间$(0,+\infty)$上为增函数的是（）A.$f(x)=-2x+1$B.$f(x)=x^2-4x+3$C.$f(x)=\frac{1}{x}$D.$f(x)=x^3$函数$f(x)=\sqrt{x^2-4}$的单调递减区间是（）A.$(-\infty,-2]$B.$[2,+\infty)$C.$(-\infty,0]$D.$[0,+\infty)$已知函数$f(x)$是定义在$[-2,2]$上的减函数，若$f(a+1)<f(2a)$，则实数$a$的取值范围是（）A.$(-1,1]$B.$[1,+\infty)$C.$(-\infty,-1)$D.$[0,1)$下列函数为奇函数的是（）A.$f(x)=x^2+|x|$B.$f(x)=\frac{x}{x^2+1}$C.$f(x)=\sqrt{x}$D.$f(x)=2^x-2^{-x}$若函数$f(x)=ax^3+bx+1$在$(-\infty,+\infty)$上为奇函数，则$f(-1)+f(1)=$（）A.$-2$B.$0$C.$2$D.$4$已知$f(x)$是$R$上的偶函数，且在$[0,+\infty)$上单调递增，则不等式$f(x-1)<f(2)$的解集为（）A.$(-1,3)$B.$(-\infty,-1)\cup(3,+\infty)$C.$(-3,1)$D.$(-\infty,-3)\cup(1,+\infty)$函数$f(x)=x^2-2|x|$的单调递增区间是（）A.$(-\infty,-1]$和$[0,1]$B.$[-1,0]$和$[1,+\infty)$C.$(-\infty,0]$和$[1,+\infty)$D.$[-1,+\infty)$若奇函数$f(x)$在区间$[1,3]$上单调递增，且最小值为$2$，则它在区间$[-3,-1]$上（）A.单调递增，最大值为$-2$B.单调递增，最小值为$-2$C.单调递减，最大值为$-2$D.单调递减，最小值为$-2$已知函数$f(x)=\frac{ax+b}{x^2+1}$是定义在$R$上的奇函数，且$f(1)=\frac{1}{2}$，则$a+b=$（）A.$0$B.$1$C.$2$D.$3$设函数$f(x)$满足$f(-x)+f(x)=0$，且当$x>0$时，$f(x)=x^2-2x$，则当$x<0$时，$f(x)=$（）A.$-x^2-2x$B.$x^2+2x$C.$-x^2+2x$D.$x^2-2x$已知函数$f(x)=\begin{cases}x^2+1,&x\geq0,\-x^2+1,&x<0,\end{cases}$则下列说法正确的是（）A.$f(x)$是奇函数，且在$R$上单调递增B.$f(x)$是偶函数，且在$R$上单调递增C.$f(x)$是奇函数，且在$(-\infty,0]$上单调递减D.$f(x)$是偶函数，且在$[0,+\infty)$上单调递增若函数$f(x)=\frac{1}{x^2+ax+1}$的定义域为$R$，则实数$a$的取值范围是（）A.$(-2,2)$B.$[-2,2]$C.$(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)$D.$(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)$二、多选题（每题6分，共24分，每题有多个正确选项，全部选对得6分，部分选对得3分，错选得0分）下列函数中，既是偶函数又在区间$(0,+\infty)$上单调递增的是（）A.$f(x)=x^4$B.$f(x)=2^{|x|}$C.$f(x)=\log_2x^2$D.$f(x)=\frac{1}{x^2}$已知函数$f(x)$是定义在$R$上的奇函数，且$f(x+2)=-f(x)$，则下列结论正确的是（）A.$f(x)$的周期为4B.$f(2)=0$C.$f(x)$的图象关于直线$x=1$对称D.$f(1)+f(3)+f(5)=0$关于函数$f(x)=x+\frac{1}{x}$的性质，下列说法正确的是（）A.奇函数B.偶函数C.在区间$(1,+\infty)$上单调递增D.在区间$(0,1)$上单调递减已知函数$f(x)=x^2-2mx+m^2-1$，则下列说法正确的是（）A.函数$f(x)$的最小值为$-1$B.当$m=1$时，$f(x)$在$[0,2]$上的最大值为$3$C.若$f(x)$在区间$[1,+\infty)$上单调递增，则$m\leq1$D.函数$f(x)$的图象关于直线$x=m$对称三、填空题（每题5分，共20分）函数$f(x)=\frac{\sqrt{4-x^2}}{x}$的定义域为________，奇偶性为________（填“奇函数”“偶函数”或“非奇非偶”）。已知$f(x)$是定义在$R$上的增函数，且$f(2a-1)>f(a+3)$，则$a$的取值范围是________。若函数$f(x)=\begin{cases}x^2+2x,&x\geq0,\-x^2+mx,&x<0\end{cases}$是奇函数，则$m=$，$f(-1)=$。已知偶函数$f(x)$在$[0,+\infty)$上的解析式为$f(x)=x^3-2x$，则$f(-2)=$，当$x<0$时，$f(x)=$。四、解答题（共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（10分）用定义法证明：函数$f(x)=x^2-2x+3$在区间$[1,+\infty)$上单调递增。证明步骤：（1）任取$x_1,x_2\in[1,+\infty)$，且$x_1<x_2$；（2）作差：$f(x_2)-f(x_1)=(x_2^2-2x_2+3)-(x_1^2-2x_1+3)=(x_2^2-x_1^2)-2(x_2-x_1)=(x_2-x_1)(x_2+x_1-2)$；（3）分析符号：∵$x_1<x_2$，∴$x_2-x_1>0$；∵$x_1,x_2\geq1$，∴$x_2+x_1-2\geq1+1-2=0$，又$x_1<x_2$，故$x_2+x_1-2>0$；（4）结论：$f(x_2)-f(x_1)>0$，即$f(x_2)>f(x_1)$，∴$f(x)$在$[1,+\infty)$上单调递增。（12分）已知函数$f(x)=\frac{ax+1}{x+2}$在区间$(-2,+\infty)$上单调递增，且为奇函数。（1）求$a$的值；（2）判断$f(x)$在区间$(-\infty,-2)$上的单调性，并证明；（3）解不等式$f(x-1)+f(2x+1)<0$。解答：（1）∵$f(x)$为奇函数，∴$f(-x)=-f(x)$，即$\frac{-ax+1}{-x+2}=-\frac{ax+1}{x+2}$，化简得$a=2$；（2）$f(x)=\frac{2x+1}{x+2}=2-\frac{3}{x+2}$，在$(-\infty,-2)$上单调递增（证明过程参照定义法）；（3）结合奇偶性和单调性，解集为$(-\infty,-2)\cup\left(-\frac{2}{3},0\right)$。（12分）已知函数$f(x)=x^2-2|x|+3$。（1）判断$f(x)$的奇偶性，并证明；（2）画出$f(x)$的图象（无需列表，直接描述特征）；（3）求$f(x)$在区间$[-2,3]$上的最大值和最小值。解答：（1）偶函数，证明：$f(-x)=(-x)^2-2|-x|+3=x^2-2|x|+3=f(x)$；（2）图象为“W”型，关于y轴对称，顶点坐标为$(-1,2)$，$(0,3)$，$(1,2)$；（3）最大值为$f(3)=6$，最小值为$f(\pm1)=2$。（12分）已知函数$f(x)$是定义在$R$上的奇函数，且当$x>0$时，$f(x)=x^2-4x+3$。（1）求$f(0)$的值及$f(x)$在$R$上的解析式；（2）若方程$f(x)=a$有三个不同的实数根，求实数$a$的取值范围；（3）解不等式$f(x)\geq-1$。解答：（1）$f(0)=0$；当$x<0$时，$f(x)=-f(-x)=-x^2-4x-3$，综上$f(x)=\begin{cases}x^2-4x+3,&x>0,\0,&x=0,\-x^2-4x-3,&x<0;\end{cases}$（2）结合图象，$a$的取值范围为$(-1,1)$；（3）解集为$[-2-\sqrt{2},-2+\sqrt{2}]\cup{0}\cup[2-\sqrt{2},2+\sqrt{2}]$。试题设计说明：覆盖核心知识点：包含单调性定义证明、单调区间求解、奇偶性判断、分段函数奇偶性应