云南省大理白族自治州祥华集团联考2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题（解析版）

祥云祥华中学2024—2025学年上学期二调考试高二数学测试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若直线的倾斜角为30°,则实数m的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】分析：由直线的一般式方程求得直线的斜率，由斜率等于倾斜角的正切值列式求得a的值．详解：直线的倾斜角为,

故选A．点睛：本题考查了直线的倾斜角，考查了直线倾斜角与斜率的关系，是基础题．2.方程表示椭圆的充要条件是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据为正数且不相等列不等式求解即可.【详解】方程表示椭圆则，即；若，则表示椭圆，所以方程表示椭圆的充要条件是，故选：B3.抛物线焦点坐标为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】将原方程化为抛物线的标准方程，即可求解．【详解】抛物线的标准方程为，，，抛物线的焦点坐标为．故选：D．4.已知圆，动圆与圆外切，与圆内切，则圆的圆心的轨迹方程为A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】设圆半径为，由两圆外切得圆心距为两圆半径之和，消去得点满足的性质，结合椭圆定义得点轨迹，再求出得轨迹方程．【详解】设圆半径为，圆圆心为，，圆圆心为，半径，动圆与圆外切，与圆内切，所以，所以圆的圆心的轨迹为椭圆，，所以椭圆方程为．故选：D．5.图中是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶距离水面2米，水面宽度为8米，则当水面宽度为10米时，拱顶与水面之间的距离为（）A.米 B.米 C.米 D.米【答案】D【解析】【分析】以拱顶为坐标原点，建立直角坐标系，设拱桥所在抛物线的方程为，根据抛物线过点，求出的值，即可得到抛物线方程，再令，求出的值，即可得解.【详解】以拱顶为坐标原点，建立直角坐标系，可设拱桥所在抛物线的方程为，又抛物线过点，则，解得，则抛物线的方程为，当时，，故当水面宽度为米时，拱顶与水面之间的距离为米.故选：D6.双曲线的左右焦点分别为，，点为双曲线上异于顶点的任意一点，且，则（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】令，利用余弦定理结合双曲线定义求得，代入三角形面积公式求解即可.【详解】不妨设点在第一象限，如图所示，由得，令，则，所以，即①，且，可得，将①代入可得，所以，所以，故选：D7.在抛物线上有三点A，B，C，F为其焦点，且F为ABC的重心，则（）A.6 B.8 C.9 D.12【答案】D【解析】【分析】根据重心性质可得，然后根据抛物线的定义可知即可求解.【详解】解：由题意得：F为ABC的重心故设点A，B，C的坐标分别为，，抛物线，F为其焦点故选：D8.已知是椭圆的左，右焦点，A，B是椭圆C上的两点．若，且，则椭圆C的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设，结合题意可得，根据椭圆定义整理可得，根据向量关系可得∥，且，同理结合椭圆定义可得，进而可求离心率.【详解】由题意可知：，设，因为，则，可得，由椭圆定义可知：，即，整理可得；又因为，则∥，且，则，可得，由椭圆定义可知：BF1+整理可得；即，可得，所以椭圆C的离心率.故选：B.【点睛】方法点睛：椭圆的离心率(离心率范围)的求法求椭圆的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.以下四个命题表述正确的是（）A.直线恒过定点B.圆上有且仅有2个点到直线的距离等于C.曲线与恰有四条公切线D.已知圆，P为直线上一动点，过点P向圆C引切线，其中A为切点，则的最小值为2【答案】ACD【解析】【分析】利用直线系方程求解直线所过定点可判断A；求出圆心到直线的距离，结合圆的半径可判断B；由圆心距等于半径之间的关系可判断C；根据切线长性质结合点到直线距离公式可判断D．【详解】对于选项A:由，可得，联立解得即该直线恒过定点.故A正确；对于选项B:由圆，可得圆心为，半径为，所以到直线的距离为，故直线与圆相交,故到直线距离为的有两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交，因此圆上有三个点到直线的距离等于.故选项B错误；对于选项C:曲线可化为，故曲线是圆心为，半径为的圆；曲线可化为，故曲线是圆心为，半径为的圆；所以，故曲线与曲线外离，此时公切线的条数有且只有4条.故选项C正确；对于选项D:由圆，可得圆心为，半径为，所以,要使最小，只需最小，即只需到直线的距离，所以.故选项D正确；故选：ACD.10.已知双曲线：，是该双曲线上任意一点，、是其左、右焦点，则下列说法正确的（）A.该双曲线的渐近线方程为B.若，则或12C.若是直角三角形，则满足条件的点共4个D.若点在双曲线的左支上，则以为直径的圆与以实轴为直径的圆外切【答案】ABD【解析】【分析】由双曲线方程求得，，的值，然后逐一分析四个选项得答案．【详解】解：因为双曲线：，所以双曲线的渐近线为，故A正确；又，，所以，则，，因为，，所以或，故B正确；当或与轴垂直时，直角三角形有个，以为直径的圆与双曲线有个交点，直角三角形有个，则若是直角三角形，则满足条件的点共个，故C错误；设，，则，的中点为，求得，，可得，即以为直径的圆与以实轴为直径的圆外切，故D正确．故选：ABD11.已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，则下列结论正确的有（）A.抛物线C上一点M到焦点F的距离为4，则点M的横坐标为3B.过焦点F的直线被抛物线所截的弦长最短为4C.过点（0，2）与抛物线C有且只有一个公共点的直线有2条D.过点（2，0）的直线1与抛物线交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2＝﹣8【答案】ABD【解析】【分析】利用抛物线的定义判断选项A，由焦点弦中最短的为通径，即可判断选项B，由直线与抛物线的位置关系判断选项C，由直线与抛物线联立，由韦达定理即可判断选项D．【详解】解：抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），准线方程为x＝﹣1，对于A，设M的横坐标为x0，则由抛物线的定义可得，MF＝x0+1＝4，解得x0＝3，故选项A正确；对于B，过焦点F的直线被抛物线所截的弦长最短为通径长，又通径长为2p＝4，故选项B正确；对于C，当直线的斜率不存在时，直线为x＝0，与抛物线有一个公共点；当直线与抛物线的对称轴平行，即直线为y＝2时，与抛物线有一个公共点；当直线斜率存在且不为0时，设直线的方程为y＝kx+2，联立方程组，可得k2x2+4（k﹣1）x+4＝0，则Δ＝16（k﹣1）2﹣16k2＝0，解得，此时直线方程为，与抛物线有一个公共点．综上所述，过点（0，2）与抛物线C有且只有一个公共点的直线有3条，故选项C错误；对于D，设过点（2，0）的直线方程为x＝my+2，联立方程组，可得y2﹣4my﹣8＝0，则y1y2＝﹣8，故选项D正确．故选：ABD．二、填空题（本大题共3题，每小题5分，共计15分）12.已知三个顶点的坐标分别是，则外接圆的方程是__________.【答案】（或）【解析】【分析】解法一：待定系数法，设出圆的一般形式，将点的坐标代入，解方程组即可求解；解法二：几何法，根据得的外接圆是以线段为直径的圆.然后确定圆心和半径，即可求解.【详解】解法一：设的外接圆方程为，其中.由题意得解得满足，所以外接圆的方程为.解法二：依题意，直线的斜率，直线的斜率，则，即.因此的外接圆是以线段为直径的圆.线段的中点为，半径，所以外接圆的方程是.故答案为：（或）13.在平面上给定相异两点A，B，设P点在同一平面上且满足，当且时，P点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆，现有双曲线（，），A，B为双曲线的左、右顶点，C，D为双曲线的虚轴端点，动点P满足，面积的最大值为，面积的最小值为4，则双曲线的离心率为______.【答案】【解析】【分析】根据为双曲线的左、右顶点可设,,,由两点间距离公式并化简可得动点的轨迹方程.由为双曲线的左、右顶点可知当位于圆的最高点时的面积最大,根据面积最大值求得.当位于圆的最左端时的面积最小,结合最小面积可求得,即可求得双曲线的离心率.【详解】设,,,依题意,得,即,两边平方化简得,则圆心为,半径,当位于圆的最高点时的面积最大,最大面积为,解得；当位于圆的最左端时的面积最小,最小面积为,解得,故双曲线的离心率为.故答案为:【点睛】本题考查了两点间距离公式的应用,轨迹方程的求法,圆与双曲线的综合应用,双曲线离心率的求法,属于中档题.14.已知双曲线的右焦点为，分别为双曲线的左、右顶点，以为直径的圆与双曲线的两条渐近线在第一、二象限分别交于两点，若∥(为坐标原点)，则该双曲线的离心率为________.【答案】【解析】【分析】先把图形画出来，根据已知条件得到为等腰三角形，然后作出辅助线证明，从而有，根据已知条件用含的式子分别表示，结合即可求解.【详解】如图所示，∵∥，∴，又∵双曲线的渐近线关于y轴对称，∴，则，∴为等腰三角形，作，垂足为M，过点B作轴，交渐近线第一象限部分于点D，则，由等腰三角形三线合一可知，且注意到，由勾股定理得，由相似三角形的性质可得，所以，整理可得，又，所以.故答案为：.四、解答题（本大题共5题，共计77分，请写出必要的文字说明和演算步骤）15.已知圆C与y轴相切，圆心在x轴下方并且与x轴交于，两点.（1）求圆C的方程；（2）若直线过点且被圆C所截弦长为6，求直线的方程.【答案】（1）；（2），或.【解析】【分析】（1）根据已知条件及弦长、半径、弦心距三者的关系，结合圆的标准方程即可求解；（2）根据（1）的结论及直线的点斜式方程，再利用弦长、半径、弦心距三者的关系及点到直线的距离公式即可求解.【小问1详解】由题意可知，，设圆心坐标为，则，解得或，因为，所以，所以圆C的方程为.【小问2详解】因为直线过点且被圆C所截弦长为6，所以圆心到直线的距离为，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，所以圆心到直线的距离为，符合题意；当直线的斜率存在时，直线的方程为，即，因为圆心到直线的距离为，所以，解得，所以直线的方程为，故所求线方程为，或.16.如图甲，在中，，，，，分别在，上，且满足，将沿折到位置，得到四棱锥，如图乙．（1）已知，为，上的动点，求证：；（2）在翻折过程中，当二面角为60°时，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】【分析】（1）通过和证明平面即可得出；（2）以点为坐标原点，分别以，，为，，轴正方向建立坐标系，利用向量法求解.【详解】（1）证明：在图甲中，∵，∴，又∵，∴且，即在图乙中，，，又，故有平面，而平面，故有；（2）解：∵，，所以为二面角的平面角，则，在中，，，，由余弦定理，可知，满足，则有，由（1）知，平面，则，如图，以点为坐标原点，分别以，，为，，轴正方向建立坐标系，则，，，，则，，，设平面的法向量为，则，取，所以直线与平面所成角满足．【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查向量法求线面角，属于中档题.17.已知双曲线的左焦点为F，左顶点为E，虚轴的上端点为P，且，．（1）求双曲线C的标准方程；（2）设是双曲线C上不同的两点，Q是线段的中点，O是原点，直线的斜率分别为，证明：为定值．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设双曲线C的半焦距为，利用双曲线的定义结合勾股定理计算即可；（2）设的坐标，利用中点坐标公式表示Q，再利用点差法计算即可.【小问1详解】不妨设双曲线C的半焦距为，，，解得，则，故双曲线C的标准方程为；【小问2详解】设，则，为双曲线C上的两点，两式相减得，整理得，则，故为定值，定值为4．18.已知动点到定点的距离比到直线的距离少1，（1）求动点的轨迹的方程；（2）设是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标．【答案】（1）（2），证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，利用抛物线的定义，即可求得的轨迹方程；（2）设直线的方程为，联立方程组，得到，根据，的方程，将①式代入，求得，进而判定直线过定点.【小问1详解】因为动点到定点1,0的距离比到直线的距离少1，所以动点到定点距离与到直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中F1,0为焦点，为准线，所以轨迹方程为；【小问2详解】如图，设Ax由题意得（否则）且，所以直线的斜率存在，设其方程为，显然，联立方程组，整理得，由韦达定理知，由，可得，可得，即，整理得，将①式代入上式，可得，此时，直线的方程可表示为，即，所以直线恒过定点.【点睛】方法知识总结：解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为