3.6 三元一次方程组及其解法（同步课件）-沪科版(2024)七上

沪科版（2024）七年级数学上册第三章一次方程与方程组3.6三元一次方程组及其解法目录/CONTENTS新知探究情景导入学习目标课堂反馈分层练习课堂小结学习目标1.理解三元一次方程（组）解的概念；2.能解简单的三元一次方程组.（重点、难点）情景导入

解方程在我国数学史上占有重要的地位.我国古代数学专著《九章算术》中，第八章的章名就叫“方程”.右图讲的就是列多远一次方程组解决实际问题.“方程”中的第一题：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗.问上、中、下禾实一秉各几何?”情景导入翻译为：现在有上等稻子

3捆、中等稻子

2捆、下等稻子

1

捆，总共可以打出39斗谷子；上等稻子2捆、中等稻子3捆、下等稻子1捆，总共可以打出34斗谷子；上等稻子1捆、中等稻子2捆、下等稻子3捆，总共可以打出26斗米.问上等稻子、中等稻子和下等稻子每一秉各能打出多少斗米？”新知探究按今天的解法，即设上、中、下等稻子(禾)每捆(秉)可出谷子(实)分别为x，y，z(斗)，于是的含三个未知数的方程组：x＋2y＋3z＝263x＋2y＋z＝392x＋3y＋z＝34概念归纳这种由三个一次方程组成，且含三个未知数的方程组，叫作三元一程组.思考解二元一次方程组的消元法（加减法和代入法）是否也能用来解三元一次方程组呢？解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行

，把

转化为

，使解三元一次方程组转化为解

，进而再转化为解

.消元“三元”“二元”二元一次方程组一元一次方程课本例题例1解方程组x＋2y－4z＝－5.

x＋y＋2z＝3，

－2x－y＋z＝－3，①②③解：先用加减消元法消去x.

②＋①×2，得y＋5z＝3.④③－①，得

y－6z＝－8.⑤④－⑤，得

11z＝11.下面解由④⑤联立成的二元一次方程组.z＝1.⑥

将⑥代入④，得

y＝－2.将

y，z的值代入①，得x＝3.所以z＝1.

x＝3，y＝－2，

课堂练习1.解下列方程组：（1）x+y+z=6，

2x+3y-z=4，3x–y+z=8；

（2）2x-

y+3z=1，

2x+

2z=6，4x+2y+

5z=4.x=2，y=1，z=3.x=9，y=-1，z=-6.课本例题例2某营养餐应包含35单位的铁、70单位的钙和35单位的维生素.现有一营养师根据上面的标准配餐，其中包含A，B，C

三种食物.下表给出的是每份(50g)食物分别所含的铁、钙和维生素的量.食物铁/单位钙/单位维生素/单位A5205B51015C10105

（1）设配餐中

A、B、C三种食物各有

x、y、z份，请根据题意列出方程组；

（2）解该三元一次方程组，求出满足要求的

A、B、C的份数.解：(1)设配餐中

A，B，C三种食物各

x，y，z份，由题意得③①②

由①，得x＝7－y－2z.④将④代入②③，得解这个方程组，得

x＝2.所以z＝2.

x＝2，y＝1，

y＋3z＝7，

⑤2y－z＝0.⑥y＝1，

z＝2.将

的值代入④，得y＝1，

z＝2.答：A种食物

2份，B种食物

1份，C种食物

2份.课本例题例3已知甲、乙两数之和为3，乙、丙两数之和为6，甲、丙两数之和为7，求这三个数.解设甲、乙、丙三数分别为x，y，z，由题意得x+y=3，①y+z=6，②x+z=7.③①+②+③，两边同除以2，得

x+y+z=8.④④-

①得

z=5，④-

②得

x=2，④-

③得

y=1.答：甲、乙、丙三数分别为2，1，5.课堂练习1.解下列方程组：（1）3x+y-4z=13，

5x-

y+

3z=5，x+y–z=3；

（2）3x-

y+

z=4，

2x+3y-z=12，x+y+

z=6.x=2，y=-1，z=-2.x=2，y=3，z=1.2.某厂家生产甲、乙、丙三种型号的手机，出厂价分别为每部3600元、1200元和2400元.一商场用120000元购买上述三种型号手机共40部，其中甲型号手机比丙型号手机多24部.求该商场购买上述三种型号手机各多少部.解：设商场购买了甲型号手机x部，乙型号手机y

部，丙型号手机z

部.x+y+z=40，3600x+1200y+2400z=120000，x-z=24.根据题意，得x=28，y=8，z=4.解方程组，得答：商场购买了甲型号手机28

部，乙型号手机8部，丙型号手机

4部.1.解下列方程组：习题3.6x+y+z=3，x+2y+3z=6，2x+y+

2z=5；（1）x+2y=9，y

-3z=-5，-x+

5z=14.（2）x=1，y=1，z=1.x=1，y=4，z=3.解：（1）（2）2x-2y+z=0，2x+y

-

z=1，x+3y-

2z=1.（3）2x+3y+z=11，x+y+z=6，3x-y-

z=-2.（4）x=0，y=-1，z=-2.x=1，y=2，z=3.（3）（4）2.甲、乙、丙三个数的和为44，甲的两倍比乙大10，乙的

等于丙的，求这三个数.解:设甲、乙、丙三个数分别为x，y，z.根据题意，得解方程组，得x=14，y=18，z=12.x+y+z=44，2x-

y=10，y=

z.答:甲、乙、丙三个数分别为14，18，12.3.在等式y=ax2+bx+c

中，当

x=-1时

y=0，当x=2

时

y=3，当x=5时

y=60.求a，b，c

的值.解：根据题意，得解方程组，得a=3，b=-2，c=-5.a-b+c=0，4a+2b+c=3，25a+5b+c=60.故a

=3，b=-2，c=-5.4.某饮食方案要求每天食谱中包含100单位的脂肪、200单位的蛋白质、400单位的淀粉.现有三种食品A，B，C，每份(50g)含脂肪、蛋白质和淀粉量如下表.试用A，B，C三种食品配餐以满足方案要求.食品脂肪/单位蛋白质/单位淀粉/单位A2717B247C101630解:设每天食谱中A，B，C

三种食品的份数分别为x，y，z.根据题意，得解方程组，得x=8，y=12，z=6.2x+2y+10z=100，7x+4y+16z=200，17x+7y+30z=400.答:每天食谱中A

种食品8

份，B种食品12份，C种食品6份.分层练习-基础知识点1三元一次方程(组)的有关概念1.

下列方程组是三元一次方程组的是(

B

)B2.

若(

a

＋1)

x

＋5

yb＋1＋2

z2－｜

a｜＝10是一个三元一次方程，

则(

A

)A.

a

＝1，

b

＝0B.

a

＝－1，

b

＝0C.

a

＝±1，

b

＝0D.

a

＝0，

b

＝0A

A.

先消去

x

B.

先消去

y

C.

先消去

z

D.

以上说法都不对B【点拨】因为

y

的系数的绝对值都是1，所以消去

y

较简便.

A知识点3三元一次方程组的应用5.

已知单项式－8

a3

x＋

y－

zb12

cx＋

y＋

z

与2

a2

b2

x－

yc6是同类项，

则

x

＝

，

y

＝

，

z

＝

⁠.4

－4

6

6.

[新考法

表格信息法]某电器公司计划装运甲、乙、丙三种

家电到农村销售(规定每辆汽车按规定满载，且每辆汽车

只能装同一种家电)，下表所示为甲、乙、丙三种家电被

每辆汽车满载时装运的台数及利润.甲乙丙每辆汽车满载时装运的台数402030利润/(万元/台)0.050.070.04(1)若用8辆汽车装运乙、丙两种家电共190台到

A

地销售(每辆汽车均满载)，问装运乙、丙两种家电的汽车各有多少辆？

(2)计划用20辆汽车装运甲、乙、丙三种家电720台到

B

地销售(每辆汽车均满载)，如何