3.4 二元一次方程组的解法（举一反三讲义）（教师版）

专题3.4二元一次方程组的解法（举一反三讲义） 【沪科版2024】TOC\o"1-3"\h\u【题型1用代数式表示某个字母】 3【题型2代入消元法解二元一次方程组的步骤判断】 4【题型3代入消元法解二元一次方程组】 6【题型4加减消元法解二元一次方程组的步骤判断】 8【题型5某个未知数的系数互为相反数，用加法消元】 9【题型6某个未知数的系数相同，用减法消元】 11【题型7某个未知数的系数成a倍关系，变形用加减法消元】 13【题型8换元法解二元一次方程组】 15【题型9整体代入法解二元一次方程组】 18【题型10解含参的二元一次方程组】 20知识点1代入消元法1.定义：将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法．2.用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤名称具体做法目的注意事项（1）变形用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，得到变形的方程变形为y=选系数简单的方程变形（2）代入把y=消去一个未知数，转化为一元一次方程代入时要“只代不算”（3）求解解代入后的一元一次方程求出一个未知数的值去括号时不漏乘，移项时要变号（4）回代把求得的未知数的值代入步骤（1）中变形后的方程中求出另一个未知数的值一般代入变形后的方程（5）写出解把两个未知数的值用大括号联立起来表示为x=要用大括号将x，y的值联立起来知识点2加减消元法1.定义：通过两式相加（减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法．2.用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤名称具体做法目的（1）变形根据绝对值较小的未知数（同一个未知数）的系数的最小公倍数，用适当的数去乘方程的两边使两个方程中某一个未知数的系数相等或互为相反数（2）加减加减法消去系数相等或系数互为相反数的同一未知数转化为一元一次方程（3）求解解消元后得到的一元一次方程求出一个未知数的值（4）回代把求得的未知数的值代入方程组中某个较简单的方程中求出另一个未知数的值（5）写出解把两个未知数的值用大括号联立起来表示为x=知识点3换元法解二元一次方程组把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，从而使问题简化，这叫做换元法．例如解方程组3(1令12原方程组可化为3a+2b=8，3【题型1用代数式表示某个字母】【例1】（24-25七年级下·江西宜春·期末）已知x=4-ty=3t-1用含有x的代数式表示yA．y=-3x+11 B．y=-3x-【答案】A【分析】首先从x的方程解出t，再代入y的方程中即可．本题考查了代入消元法，熟练掌握方法是解题的关键．【详解】解：x将方程①变形为：t将③代入方程②得：y整理，得：y即：y=-3故选：A．【变式1-1】将方程4x+y=12变形为用关于x的代数式表示y【答案】12-4【分析】本题考查用一个未知数表示另一个未知数，将x看作常数，解关于y的方程即可．【详解】解：4x∴y=12-4故答案为：12-4x【变式1-2】方程5x-6y+2=0，用x的代数式表示【答案】5【分析】本题考查了用含有一个未知数的代数式表示另外一个未知数，将x看作已知数求出y．将x看作已知数，先移项，再系数化为1，即可求出y．【详解】解：5x移项得6y∴y=故答案为：5x【变式1-3】已知x=3+ty=3-2tA．y=2x+9 B．y=2x-【答案】A【分析】消去t，确定出x与y的关系式即可．【详解】解：x=3+①×2+②得：2x+y=9，即y=-2x+9，故选：A．【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．【题型2代入消元法解二元一次方程组的步骤判断】【例2】（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的四个成员每人做一步，每人只能看到前一人给的步骤，并进行下一步计算，再将结果传递给下一个人，用合作的方式完成该方程组的解题过程，过程如图所示，合作中出现错误的同学是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丙和丁【答案】C【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法与加减消元法是解题的关键；观察四位同学的解题过程，找出出错的即可．【详解】解：2x由①得：x=把③代入②得：3×8-3去分母得：24-9y解得：y=由③得：y则合作中出现错误的同学为丙；故答案为：C【变式2-1】用代入消元法解二元一次方程组2x-y=3①A．2x=yC．y=2x-【答案】C【分析】本题考查解二元一次方程组，利用等式性质将①变形即可．【详解】解：由①得：y=2故选：C．【变式2-2】对于二元一次方程组y=x-1①x+3A．x+x-C．x+3x+3=5【答案】D【分析】本题考查了代入消元法求解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法是解题的关键．将①式代入②式消去去括号，即可求得结果．【详解】解：将①式代入②式，得x+3(即x+3故选D．【变式2-3】（24-25七年级下·河北唐山·期中）下面是老师在黑板上展示的某同学用代入消元法解方程组的步骤，其中开始出现错误的是（

）解：2由①得x=8-3把③代入②得3×8-3去分母得24-9y解得y=1，再由③得x=2.5A．步骤一 B．步骤二 C．步骤三 D．步骤四【答案】C【分析】此题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握和运用解二元一次方程组的方法是解题的关键．根据解二元一次方程组的方法—代入消元法的步骤，即可判定．【详解】解：步骤三中去分母应为：24-9y原解法中，去分母，等号右边漏乘2，故选：C．【题型3代入消元法解二元一次方程组】【例3】（24-25七年级下·福建厦门·期中）解方程：x【答案】x【分析】本题考查了解二元一次方程组的知识，解答本题的关键是熟练掌握“消元法”的应用．利用代入消元法即可解答．【详解】解：x-把①代入②可2y解得y=1把y=1代入①可得x∴x=4【变式3-1】（24-25七年级下·北京昌平·阶段练习）解方程：2【答案】x【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解法，仔细观察二元一次方程组的特点，灵活选用代入法或加减法是解题关键．本题利用代入消元法求解方程即可．【详解】解：2x把②代入①得：2x解得：x=11把x=11代入②得：y方程组的解为：x=11【变式3-2】解方程组x【答案】x【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．用代入法解二元一次方程组即可．【详解】解：x整理可得出：2由②式得：x=4把x=4y-4代入解得：y=把y=2011可得出：x=4×∴原方程组的解为：x=【变式3-3】（24-25七年级上·安徽安庆·期末）解方程组x【答案】x【分析】本题主要考查了解二元一次方程组等知识点，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．利用代入消元法解二元一次方程组即可．【详解】解：x+1由①可得：x+1=6将③代入②，得：2×6y解得：y=1将y=1代入③，得：x解得：x=5∴方程组的解为x=5【题型4加减消元法解二元一次方程组的步骤判断】【例4】解方程组2a+b=7⋯⋯①A．用加减法消去a，①-②×2得2B．用代入法消去b，由①得bC．用代入法消去a，由②得aD．用加减法消去b，①+②得3【答案】A【分析】本题考查了加减消元法和代入消元法；根据加减消元法和代入消元法，结合等式的性质判断即可．【详解】解：A.用加减法消去a，①－②×2得3bB.用代入法消去b，由①得b=7-2C.用代入法消去a，由②得a=D.用加减法消去b，①+②得3a故选：A．【变式4-1】用加减法解二元一次方程组7m+3n=11①2A．①×7－②C．①×2－②【答案】C【分析】本题考查解二元一次方程组，利用消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．观察两方程中m的系数，找出两系数的最小公倍数，然后把两方程相减即可．【详解】解：A、既不能消去m，也不能消去n，此选项不符合题意；B．既不能消去m，也不能消去n，此选项不符合题意；C．能消去未知数m，此选项符合题意；D、不能消去m，也不能消去n，此选项不符合题意．故选C．【变式4-2】（24-25七年级下·山东淄博·开学考试）用加减消元法解方程组x+3y=4A．①×2-② B．①-②×3 C【答案】B【分析】本题考查加减消元法，根据加减消元法，逐个进行判断即可，熟练掌握加减消元法是解题的关键．【详解】解：A、①×2-②得：B、①-②×3C、①×-2D、②×-3故选：B．【变式4-3】用加减消元法解方程组9x-5y=16①2x-y=3②时，第一步②×5，得10x-5y=15③；第二步：③-①，得xA．第一步 B．第二步 C．第三步 D．无法确定【答案】B【分析】用加减消元法解方程组即可得．【详解】解：9②×5，得10x③-①，得x=-1把x=-1代入②得，y∴方程组的解为：x=-1则上述步骤中开始出现错误的是第二步，故选：B．【点睛】本题考查了用加减消元法解方程组，解题的关键是掌握加减消元法并正确计算．【题型5某个未知数的系数互为相反数，用加法消元】【例5】解方程组x【答案】x【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元法解二元一次方程组的一般步骤是解题的关键．利用加减消元法求解即可；【详解】解：x①+②，得解得x=3将x=3代入①，得y∴方程组的解为x=3y=2【变式5-1】（24-25七年级下·青海·期中）解方程组：2x【答案】x【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法．先用加减消元法求出x的值，再求出y的值即可．【详解】解：2x①+②得：4x解得：x=把x=54代入①解得：y=-∴方程组的解为：x=【变式5-2】（24-25七年级下·辽宁铁岭·期末）解方程组：x+【答案】x【分析】本题考查解二元一次方程组，利用加减消元法，解方程组即可．【详解】解：x①+②，得：解得x=5把x=5代入①，得5+解得：y=-2∴方程组的解为x=5【变式5-3】（25-26八年级上·湖南衡阳·开学考试）解方程（组）：3x【答案】x【分析】本题主要考查加减消元法解二元一次方程组，掌握加减消元法的计算是关键．根据题意，①+②消去未知数y，解一元一次方程得到x=2，再把x=2代入【详解】解：3x①+②得，4x解得x=2把x=2代入①得3×2-2解得y=1∴原方程组的解为x=2【题型6某个未知数的系数相同，用减法消元】【例6】（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）解方程组x【答案】x【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用加减消元法解二元一次方程组即可；【详解】解：x+①-②，得解得：x=5将x=5代入①，得5+解得：y=2∴方程组的解为x=5【变式6-1】解方程组：x-【答案】x【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．利用加减消元法解二元一次方程组即可.【详解】x解：②-①得：x=将x=5代入①式得：解得y=∴原方程组的解为x=5【变式6-2】解方程组3x【答案】x【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题关键．方程组利用加减消元法求出解即可．【详解】解：3x由①-②得：3x解得x=2将x=2代入①得：6解得y=所以方程组的解为x=2【变式6-3】解方程组3(【答案】x【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握代入法和加减消元法解方程组是解题关键．首先把方程组去括号，化简，再利用加减消元法解方程组即可．【详解】解：3(x整理得：3x①-②得：解得：y=7把y=7代入①得：3解得：x=5∴方程组的解为：x=5【题型7某个未知数的系数成a倍关系，变形用加减法消元】【例7】（2025八年级上·全国·专题练习）解方程组：2x【答案】x【分析】本题主要考查加减消元法解二元一次方程组，掌握加减消元法的方法是关键．根据题意，①×3，②×2，得到未知数x的系数相同，运用加减消元法解得y=-3，由此即可求出x【详解】解：2x①×3，得6x-②×2，得6x+8④－③，得17y解得y=-3把y=-3代入②，得3解得x=2故原方程组的解是x=2【变式7-1】解方程组：(1)4(2)x【答案】(1)x(2)x【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法，要根据方程特点选择合适的方法简化运算．（1）方程组利用加减消元法求出解即可；（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．【详解】（1）解：4x①+②×5解得：x=1把x=1代入②得：∴y=1则方程组的解为x=1（2）解：x-1②×2-①得：解得：x=5把x=5代入②得：10+解得：y=3∴方程组的解为x=5【变式7-2】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）解方程组(1)2(2)x【答案】(1)x(2)x【分析】本题主要考查了解二元一次方程组：（1）先整理，再利用加减消元法解答，即可求解；（2）先整理，再利用加减消元法解答，即可求解．【详解】（1）解：2由②得到，4x由①×2-③得：5解得y把y=3代入①得：2解得：x=∴原方程组的解为x=（2）解：x整理得：5x由②×5+①得：解得：y=1把y=1代入②，得：-解得：x=7∴原方程组的解为x=7【变式7-3】（2025八年级上·全国·专题练习）解方程组：2024x【答案】x【分析】本题主要考查二元一次方程组的求解，熟练掌握方程组的求解方法是解决本题的关键，直接根据二元一次方程组的求解方法解方程组即可．【详解】解：令2024x①+②得，两边都除以4049，得x+y②-①，得x③+④，得2x将x=4代入③，得y所以原方程组的解是x=4【题型8换元法解二元一次方程组】【例8】（2025八年级上·全国·专题练习）解方程组：x+【答案】x【分析】本题考查解二元一次方程组，设x+y=a,【详解】解：设x+则原方程组可化为3a解得a=2所以x+解得x=4所以原方程组的解是x=4【变式8-1】已知方程组2a+3b=73a-A．x=2y=1 B．x=3y=1【答案】C【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题关键是观察题目特点，灵活运用换元法求解．两个方程组除未知数不同外其余都相同，所以可用换元法进行解答，即可获得答案．【详解】解：对于方程组2x-1+3y可得2a结合题意可知x-解得x=3故选：C．【变式8-2】（24-25七年级下·贵州毕节·阶段练习）解方程组：3m【答案】m【分析】此题考查了解二元一次方程组，先设m+5=a，【详解】解：设m+5=a，3a①+②得，解得a=1将a=1代入①得，3×1-2解得b=2∴m+5=1解得m=-4∴原方程组的解为m=-4【变式8-3】利用换元法解下列方程组：(1)2(2)x【答案】(1)x(2)x【分析】本题考查了解二元一次方程组，换元法，灵活运用换元法是解题的关键．（1）令m=x+1，n=y-2，原方程组化为2m+3n=1m-（2）令a=x+y，b=x-y，原方程组化为a2+b5=-3【详解】（1）解：令m=x+1原方程组化为2m解得m=2把m=2n=-1代入m得x+1=2解得x=1，y∴原方程组的解为x=1（2）解：令a=x+原方程组化为a2解得a=-2将a=-2b=-10代入a得x+解得x=-6∴原方程组的解为x=-6【题型9整体代入法解二元一次方程组】【例9】已知关于x,y的二元一次方程组ax+by=6bx+ay=8的解为x【答案】3【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，代数式的值，弄清题中方程组解的特征是解题的关键．根据关于x，y的二元一次方程组ax+by=6bx+【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组ax+by=6ama∴把关于m，n满足二元一次方程组am+n+b∴m+解得m=2∴m-故答案为：3．【变式9-1】已知方程组x+2y=22x【答案】7【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握方程组的解法是解题关键．将方程组中的两个方程相加可得3x【详解】解：x+2将两个方程相加得：3x则x+故答案为：73【变式9-2】若方程组a1x-3y=c1【答案】x【分析】本题考查二元一次方程组的解的知识，能灵活将方程组变形是解题的关键．先将方程组a1x-3y=c1-a1【详解】解：方程组a1x-∵方程组a1x-∴方程组a1x+1解得：x=0故答案为：x=0y=2【变式9-3】（2025七年级下·全国·专题练习）若关于x，y的方程组4(x+1)+3a(x-2【答案】x【分析】本题考查了方程组的解，方程组之间的关系，熟练掌握方程组之间的关系是解题的关键．根据两方程组各方程间的关系，可得出方程组4x+3ay【详解】解：∵关于