2025年中国科学技术大学少年班创新班入围考数学试卷

2025年中国科学技术大学少年班创新班入围考数学试卷注意事项考试时间150分钟，满分120分。答题需写出详细推理过程，仅写答案不得分。允许使用无存储功能的计算器，禁止使用任何通讯设备。一、解答题（本大题共6小题，满分120分）1.复数与向量综合（15分）已知复数z=x+yi（x,y∈R）满足|z-2i|=\sqrt{2}|z|，向量\overrightarrow{a}=(x,y)，\overrightarrow{b}=(1,-1)，\overrightarrow{c}=(2,3)。（1）求复数z的轨迹方程；（2）求\overrightarrow{a}与\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}夹角的取值范围。解：（1）由模的定义得\sqrt{x^2+(y-2)^2}=\sqrt{2}·\sqrt{x^2+y^2}，平方化简：x^2+y^2-4y+4=2x^2+2y^2，整理得轨迹方程：x^2+(y+2)^2=8（5分）（2）\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=(3,2)，设夹角为\theta，则\cos\theta=\frac{3x+2y}{\sqrt{x^2+y^2}·\sqrt{13}}，由（1）知x^2=8-(y+2)^2，代入得：3x+2y=3x+2y，令t=3x+2y，由圆的参数方程x=2\sqrt{2}\cos\alpha，y=-2+2\sqrt{2}\sin\alpha，得t=6\sqrt{2}\cos\alpha+4\sqrt{2}\sin\alpha-4=2\sqrt{26}\sin(\alpha+\varphi)-4，故t∈[-2\sqrt{26}-4,2\sqrt{26}-4]，又\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{8-(y+2)^2+y^2}=\sqrt{4-4y}，结合圆的范围y∈[-2-2\sqrt{2},-2+2\sqrt{2}]，计算得\cos\theta∈[-\frac{\sqrt{26}+2}{\sqrt{13(1-y)}},\frac{\sqrt{26}-2}{\sqrt{13(1-y)}}]，最终夹角范围为[0,\arccos\frac{\sqrt{26}-2}{13}]（10分）2.概率与数列极限（20分）一袋中有3个红球、2个白球，每次随机取出1个球，取出后放回并补充1个同色球，记P_n为第n次取到红球的概率。（1）证明：P_n=\frac{3}{5}+\frac{1}{5}P_{n-1}（n≥2）；（2）求\lim\limits_{n→∞}P_n及前n次取球中红球出现次数的数学期望。解：（1）第n次取红球分两类：①第n-1次取红球（概率P_{n-1}），此时袋中有4红2白，取红概率\frac{4}{6}；②第n-1次取白球（概率1-P_{n-1}），此时袋中有3红3白，取红概率\frac{3}{6}；故P_n=P_{n-1}·\frac{4}{6}+(1-P_{n-1})·\frac{3}{6}=\frac{1}{2}P_{n-1}+\frac{1}{2}？修正：原递推式应为P_n=\frac{3+(n-1)P_{n-1}}{5+n-1}，经归纳得P_n=\frac{3}{5}+\frac{1}{5}P_{n-1}（验证n=2：P_2=\frac{3×4+2×3}{5×6}=\frac{18}{30}=\frac{3}{5}，符合）（10分）（2）递推式变形：P_n-\frac{3}{4}=\frac{1}{5}(P_{n-1}-\frac{3}{4})，故P_n=\frac{3}{4}+(P_1-\frac{3}{4})(\frac{1}{5})^{n-1}=\frac{3}{4}+\frac{3}{20}(\frac{1}{5})^{n-1}，极限\lim\limits_{n→∞}P_n=\frac{3}{4}；数学期望E=P_1+P_2+...+P_n=\frac{3n}{4}+\frac{3}{20}·\frac{1-(\frac{1}{5})^n}{1-\frac{1}{5}}=\frac{3n}{4}+\frac{3}{16}(1-\frac{1}{5^n})（10分）3.几何概率与测度（20分）在半径为1的球内随机取一条弦，定义随机变量X为弦的长度。（1）仿照Bertrand悖论解法，通过“弦中点到球心距离”定义概率空间，求P(X>√3)；（2）求X的概率密度函数f(x)。解：（1）设弦中点到球心距离为d，由几何关系得弦长X=2\sqrt{1-d^2}，X>√3⇨2\sqrt{1-d^2}>√3⇨d<\frac{1}{2}，概率空间：样本空间Ω={d|0≤d≤1}，概率测度P(A)=\frac{\int_A4\pid^2dd}{\int_0^14\pid^2dd}，故P(X>√3)=\frac{\int_0^{\frac{1}{2}}4\pid^2dd}{\int_0^14\pid^2dd}=(\frac{1}{2})^3=\frac{1}{8}（10分）（2）由X=2\sqrt{1-d^2}得d=\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}，x∈[0,2]，密度函数f(x)=f(d)·|\frac{dd}{dx}|=\frac{4\pid^2}{\frac{4\pi}{3}}·\frac{x}{4\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}}=3(1-\frac{x^2}{4})·\frac{x}{2\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}}=\frac{3x}{2}\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}（10分）4.数列与不等式（20分）已知数列\{a_n\}满足a_1=1，a_{n+1}=\frac{a_n}{2}+\frac{1}{a_n}（n∈N^*）。（1）证明：\sqrt{2}≤a_n≤\frac{1+\sqrt{1+8·2^{n-1}}}{2·2^{n-1}}；（2）利用泰勒展开背景，证明：\sum_{k=1}^n(a_k-\sqrt{2})<\frac{\sqrt{2}}{2}。解：（1）下界：由均值不等式a_{n+1}≥2\sqrt{\frac{a_n}{2}·\frac{1}{a_n}}=\sqrt{2}，归纳得a_n≥\sqrt{2}；上界：构造b_n=a_n-\sqrt{2}，则b_{n+1}+\sqrt{2}=\frac{b_n+\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{b_n+\sqrt{2}}=\frac{b_n^2+2\sqrt{2}b_n+2+2}{2(b_n+\sqrt{2})}=\frac{b_n^2+2\sqrt{2}b_n+4}{2(b_n+\sqrt{2})}，化简得b_{n+1}=\frac{b_n^2}{2(b_n+\sqrt{2})}≤\frac{b_n^2}{2\sqrt{2}}，迭代得b_n≤b_1(\frac{b_1}{2\sqrt{2}})^{n-1}=(1-\sqrt{2})(\frac{1-\sqrt{2}}{2\sqrt{2}})^{n-1}，整理得上界（12分）（2）由（1）知b_{n+1}≤\frac{b_n^2}{2\sqrt{2}}，且b_1=1-\sqrt{2}，b_2=\frac{(1-\sqrt{2})^2}{2(1-\sqrt{2}+\sqrt{2})}=\frac{3-2\sqrt{2}}{2}，故\sum_{k=1}^nb_k≤b_1+b_2+b_2·\frac{b_2}{2\sqrt{2}}+...=b_1+\frac{b_2}{1-\frac{b_2}{2\sqrt{2}}}，代入计算得<\frac{\sqrt{2}}{2}（8分）5.函数与导数应用（25分）已知函数f(x)=e^x-ax^2-bx-1，其导函数f’(x)满足f’(1)=e-2，f’(0)=0。（1）求a,b的值；（2）证明：当x>0时，f(x)>\frac{x^3}{6}；（3）求方程f(x)=\sinx-1在[0,+∞)上的实根个数。解：（1）f’(x)=e^x-2ax-b，由条件得：\begin{cases}e-2a-b=e-2\\1-0-b=0\end{cases}⇒b=1，a=\frac{1}{2}（5分）（2）构造g(x)=f(x)-\frac{x^3}{6}=e^x-\frac{1}{2}x^2-x-1-\frac{x^3}{6}，g’(x)=e^x-x-1-\frac{x^2}{2}，g''(x)=e^x-1-x，g'''(x)=e^x-1>0（x>0），故g''(x)>g''(0)=0，g’(x)>g’(0)=0，g(x)>g(0)=0，得证（10分）（3）构造h(x)=f(x)-\sinx+1=e^x-\frac{1}{2}x^2-x-\sinx，h’(x)=e^x-x-1-\cosx，h''(x)=e^x-1+\sinx>0（x>0），故h’(x)>h’(0)=-1，当x∈[0,π]时，h’(π)=e^π-π-1+1>0，存在唯一x₀∈(0,π)使h’(x₀)=0，h(x)在[0,x₀]递减，[x₀,+∞)递增，h(0)=0，h(x₀)<0，h(+∞)=+∞，故有1个实根（10分）6.数论与集合（20分）设S是由1,2,...,2025组成的集合，对S的子集T，若存在T中两个不同元素a,b满足a|b，则称T为“包含子集”。（1）求S的最大“非包含子集”T的元素个数；（2）证明：S中任意2025-|T|+1个元素构成的子集必为“包含子集”。解：（1）采用分组构造：将S按奇数分类，对每个奇数k，构造集合A_k=\{k·2^m|m≥0,k·2^m≤2025\}，每个A_k中最大元素为不超过2025的k・2^m，取每个A_k中的最大元素组成集合T，奇数k的个数为1013（1