广西示范性高中2025-2026学年高二上学期期中联合调研测试数学试题（含解析）

答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页广西示范性高中2025-2026学年高二上学期期中联合调研测试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知直线的方程为，则该直线的斜率为（

）A． B． C． D．2．设P为椭圆上一点，分别是C的左，右焦点．若，则（

）A． B． C． D．3．若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．4．已知向量，，且，那么（

）A． B． C． D．55．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A． B．C． D．6．已知椭圆焦点在轴且离心率为，则的值为（

）A．3 B． C． D．7．如图，在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则的值为（）A．1 B． C．2 D．8．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点到，的距离之比为，则点到直线的距离的最小值为（

）A． B． C．1 D．3二、多选题9．已知直线：，直线：，则（

）A．直线过定点 B．当时，C．当时， D．当时，两直线间的距离为10．在棱长为2的正方体中，、、分别为、、的中点，则下列选项正确的是（

）A． B．直线与所成角的余弦值为C．三棱锥的体积为 D．存在实数、使得11．如图，点，，，，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线则（

）A．所在的圆截直线所得弦的长为B．与的公切线的方程为C．所在圆与所在圆的公共弦所在直线的方程为D．动点，分别在圆和上，动点在上，的最小值为三、填空题12．的三个顶点的坐标分别是，，，则边的垂直平分线方程为.13．已知某岛屿正西方向处有一台风中心，它正向北偏东60°方向移动，移动速度的大小为.距台风中心以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，则岛屿所在地受到影响的持续时间为小时.14．设椭圆：的左、右焦点分别为、，是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为，则椭圆的离心率等于.四、解答题15．已知圆心在轴的正半轴上，半径为2的圆与直线：相切.(1)求圆的方程；(2)若过点的直线与圆相交于点、，，求直线的方程.16．在中，内角，，的对边分别为，，.已知，，.(1)求；(2)设为边上一点，且，求的面积.17．某中学为提升学生的数学素养，激发大家学习数学的兴趣，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，分为初赛和复赛两个环节，全校学生参加了初赛，现从参加初赛的全体学生中随机地抽取200人的成绩作为样本，得到如下频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题：(1)求频率分布直方图中的值.用样本估计总体，估计该校学生初赛成绩的平均数以及中位数.（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）（保留小数点后两位）；(2)若甲、乙、丙三位同学均进入复赛，已知甲、乙、丙复赛获一等奖的概率分别为，，，甲、乙、丙获一等奖互不影响，求至少有两位同学复赛获一等奖的概率.18．如图，和所在平面垂直，，.(1)求证：；(2)求与平面所成角的大小；(3)求平面和平面的夹角的余弦值.19．已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，左右顶点分别为，，上顶点为，且，的周长为6，过右焦点的直线与交于、两点（其中在轴上方）.(1)求椭圆的方程；(2)求面积的最大值；(3)若直线、与轴分别交于、两点，判断点与以为直径的圆的位置关系，并证明你的结论.《广西示范性高中2025-2026学年高二上学期期中联合调研测试数学试题》参考答案题号12345678910答案ACDCBDBBACBCD题号11答案BCD1．A【分析】将直线的一般方程转化为斜截式方程，直接可得该直线的斜率.【详解】直线的方程为，化为斜截式，故直线的斜率为.故选：A.2．C【分析】依据椭圆定义，列方程组即可解得的长度.【详解】椭圆的长半轴长为3，由椭圆的定义可知，由，可得．故选：C3．D【分析】利用二次函数的性质计算即可.【详解】易知在对称轴右侧是增函数，所以，即.故选：D4．C【分析】根据空间向量垂直的坐标运算求得，然后利用空间向量模的坐标运算求解即可.【详解】由向量，，且，得，则，则.故选：C5．B【详解】绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：，结合勾股定理，底面半径，由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是，故选B.【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.6．D【分析】根据椭圆方程，求出，代入离心率公式，即可得答案.【详解】椭圆变形为，因为焦点在轴，所以，所以离心率，解得.故选：D7．B【分析】根据空间向量关系表示出，平方处理即可求得模长.【详解】由题平行六面体中，M为AC与BD的交点，，，，，所以故选：B8．B【分析】利用直接法求得点的轨迹方程，结合圆的性质，即可求解.【详解】设，因为，所以，即，所以点的轨迹为以为圆心，半径为的圆.则点到直线的距离，故点到直线的距离的最小值为.故答案为：B9．AC【分析】利用变换主元、两直线位置关系、及平行线间距离公式一一判定选项即可.【详解】对于A，易知，即时恒成立，所以直线过定点，故A正确；对于B、D，若时，则，解之得，此时两直线间距离为，故B、D错误；对于C，若，则，故C正确.故选：AC10．BCD【分析】建立空间直角坐标系，对于A，计算的值即可判断；对于B，计算的值即可判断；对于C，等体积法即可计算求解；对于D，由计算求出即可得解..【详解】由题可建立如图所示的空间直角坐标系，则对于A：因为,故与不垂直，故A错误；对于B：，，所以直线与所成角的余弦值为，故B正确；对于C：，故C正确；对于D：,若存在实数使得，则，即，解得，故D正确.故选：BCD.11．BCD【分析】由题知曲线与轴围成的图形是一个半圆，一个矩形和两个四分之一圆，故可写出各段圆弧所在圆的方程，然后根据圆的相关知识判断各选项即可．【详解】，，所在圆的方程分别为，，，对于A，所在圆的方程为，圆心为，圆心到直线的距离为，则所求弦长为，故A不正确；对于B，设与的公切线直线斜率存在，则设公切线方程为，则，所以，，所以与的公切线的方程为，即，故B正确；对于C，由及，两式相减得，即公共弦所在直线方程为，故C正确；对于D，关于直线的对称点为，则由图象可知，当，，三点共线时，取得最小值，的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，即为，故D正确．故选：BCD.12．【分析】利用两点连线斜率公式及直线垂直的充要条件结合点斜式计算即可.【详解】易知，的中点坐标为，则其中垂线斜率为，所以中垂线方程为：，整理得.故答案为：.13．【分析】设直角坐标系的原点为台风中心，求出以为圆心，以为半径的圆与直线所得弦长即可.【详解】如图，设直角坐标系的原点为台风中心，轴正半轴上存在岛屿，且台风中心在第一象限沿着直线运动，

以为圆心，以为半径的圆与直线交于两点，因为点到直线的距离，则，则岛屿所在地受到影响的持续时间为小时.故答案为：14．【分析】利用椭圆的通径长结合解直角三角形构造齐次式计算离心率即可.【详解】设椭圆的半焦距为c，即，由题意可知，即，则，所以，整理得，所以，即.故答案为：.15．(1)(2)或.【分析】（1）设圆心坐标，根据圆的标准方程及直线与圆的位置关系计算即可；（2）设直线方程，利用弦长公式计算参数即可.【详解】（1）设圆心，则，由题意可知C到的距离，解之得，即圆的方程为；（2）易知时不与圆相交，不妨设，则C到的距离，所以，解之得或，所以或.16．(1)2(2)【分析】（1）利用余弦定理计算即可；（2）利用正弦定理结合三角形面积公式计算即可.【详解】（1）由，可知，又，所以，由余弦定理可知，解之得；（2）由（1）及正弦定理可知，解得，易知，所以，，即D为的中点，所以.17．(1)，平均数为，中位数为；(2)【分析】（1）根据频率分布直方图的性质及平均数、中位数的求法计算即可；（2）利用独立事件的概率公式计算即可.【详解】（1）易知，则该校学生初赛成绩的平均数为，又，则中位数位于之间，中位数不妨设为x，则；（2）设事件甲、乙、丙获奖分别为至少两位同学获奖有如下情况：甲乙获奖丙未获奖，甲丙获奖乙未获奖，乙丙获奖甲未获奖，甲乙丙三人均获奖，则.18．(1)证明见详解(2)(3)【分析】（1）先证明线面垂直，再证线线垂直；（2）由（1）知面，所以即为与平面所成角，易得；（3）建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，法向量夹角的余弦值即为两个平面夹角的余弦值.【详解】（1）作于点，连接，因为和所在平面垂直，平面平面，所以，.因为,，所以，所以，又平面，所以平面，平面，所以.（2）由（1）知，平面，平面，所以即为与平面所成角，易得,，所以与平面所成角为.（3）以点为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示：则,设平面的法向量，则，令，则，，平面的法向量，则，所以平面和平面的夹角的余弦值为.19．(1)(2)(3)点在以为直径的圆上，证明见解析.【分析】（1）利用椭圆的定义与性质计算即可；（2）设直线方程及坐标，利用韦达定理及三