2025年北京市中考数学试卷

第53页（共53页）2025年北京市中考数学试卷一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。1．（2分）（2025•北京）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（2分）（2025•北京）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．a＞﹣1 B．a+b＝0 C．a﹣b＞0 D．|a|＞|b|3．（2分）（2025•北京）若一个六边形的每个内角都是x°，则x的值为（）A．60 B．90 C．120 D．1504．（2分）（2025•北京）一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是（）A．16 B．13 C．12 5．（2分）（2025•北京）若关于x的一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．46．（2分）（2025•北京）2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星2016H03的探测与采样返回之旅．已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为4×105km，则该小行星与地球的最近距离约为（）A．1.8×105km B．1.8×106km C．1.8×107km D．1.8×1010km7．（2分）（2025•北京）如图，∠MON＝100°，点A在射线OM上，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交射线ON于点B．若分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点C，连接AC，则∠OAC的大小为（）A．80° B．100° C．110° D．120°8．（2分）（2025•北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形OACB是矩形，函数y=1x（x＞0）的图象与边AC交于点M，与边BC交于点N（M，①△COM与△CON的面积一定相等；②△MON与△MCN的面积可能相等；③△MON一定是锐角三角形；④△MON可能是等边三角形．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）（2025•北京）若3x-3在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是10．（2分）（2025•北京）分解因式：7m2﹣28＝．11．（2分）（2025•北京）方程2x-6+1x=12．（2分）（2025•北京）某地区七年级共有2000名男生．为了解这些男生的体重指数（BMI）分布情况，从中随机抽取了100名男生，测得他们的BMI数据（单位：kg/m2），并根据七年级男生体质健康标准整理如下：等级低体重正常超重肥胖BMI≤15.415.5～22.122.2～24.9≥25.0人数675154根据以上信息，估计该地区七年级2000名男生中BMI等级为正常的人数是．13．（2分）（2025•北京）能说明命题“若a2＞4b2，则a＞2b”是假命题的一组实数a，b的值为a＝，b＝．14．（2分）（2025•北京）如图，⊙O是地球的示意图，其中AB表示赤道，CD，EF分别表示北回归线和南回归线，∠DOB＝∠FOB＝23.5°．夏至日正午时，太阳光线GD所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角∠IFH（即平行于GD的光线HF与⊙O的切线FI所成的锐角）的大小为°．15．（2分）（2025•北京）如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，CF⊥BE，垂足为F．若AB＝1，∠EBC＝30°，则△ABF的面积为．16．（2分）（2025•北京）某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售．当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如下：n＝1n＝2n＝3n＝4n＝5n＝6…A4060/////B30557590100105/C204060708090…D14386286110134…（1）如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）；（2）如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值为万元．三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。17．（5分）（2025•北京）计算：|﹣3|+27+18．（5分）（2025•北京）解不等式组：2(19．（5分）（2025•北京）已知a+b﹣3＝0，求代数式4(a20．（6分）（2025•北京）如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，DF⊥BC，垂足为F，点G在DE的延长线上，DG＝FC．（1）求证：四边形DFCG是矩形；（2）若∠B＝45°，DF＝3，DG＝5，求BC和AC的长．21．（5分）（2025•北京）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（1，3）和（2，5）．（1）求k，b的值；（2）当x＜1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值既小于函数y＝kx+b的值，也小于函数y＝x+k的值，直接写出m的取值范围．22．（6分）（2025•北京）北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图1）；一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是1：1：2．已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中BC的长是门条长的59，AB．CD23．（5分）（2025•北京）校田径队教练选出甲、乙、丙、丁四名运动员参加100米比赛．对这四名运动员最近10次100米跑测试成绩（单位：s）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．甲、乙两名运动员10次测试成绩的折线图：b．丙运动员10次测试成绩：12.412.412.512.712.812.812.812.812.912.9c．四名运动员10次测试成绩的平均数、中位数、方差甲乙丙丁平均数12.512.5p12.5中位数m12.512.812.45方差0.056n0.0340.056（1）表中m的值为；（2）表中n0.056（填“＞”“＝”或“＜”）；（3）根据这10次测试成绩，教练按如下方式评估这四名运动员的实力强弱：首先比较平均数，平均数较小者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试成绩小于平均数的次数较多者实力更强．评估结果：这四名运动员按实力由强到弱依次为．24．（6分）（2025•北京）如图，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，连接OA，OB，OP，取OP的中点C，连接AC并延长，交⊙O于点D，连接BD．（1）求证：∠ADB＝∠AOP；（2）延长OP交DB的延长线于点E．若AP＝10，tan∠AOP=12，求25．（5分）（2025•北京）工厂对新员工进行某种工艺品制作的培训．在完成理论学习后，新员工接下来先使用智能辅助训练系统进行一次为期T日（T可取0，1，2或3）的模拟练习，然后开始试制．记一名新员工在试制阶段的第x日单日制成的合格品的个数为y，根据以往的培训经验，对于给定的T，可以认为y是x的函数．当T＝0和T＝3时，部分数据如下：x0123456789T＝0时y的值07810121620232526T＝3时y的值0263743m4850515253T＝3时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变．对于给定的T，在平面直角坐标系xOy中描出该T值下各数对（x，y）所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线∁T．当T＝1和T＝2时，曲线C1，C2如图所示．（1）观察曲线C1，当整数x的值为时，y的值首次超过35；（2）写出表中m的值，并在给出的平面直角坐标系中画出T＝3时的曲线C3；（3）新员工小云和小腾刚刚完成理论学习，接下来进行模拟练习和试制．①若新员工单日制成不少于45个合格品即可获得“优秀学员”证书，根据上述函数关系，小云最早在完成理论学习后的第日可获得“优秀学员”证书；②若工厂希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这4日中应安排小腾先进行日的模拟练习．26．（6分）（2025•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点O和点A（3，3a）．（1）求c的值，并用含a的式子表示b；（2）过点P（t，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线y＝ax于点N．①若a＝1，t＝4，求MN的长；②已知在点P从点O运动到点B（2a，0）的过程中，MN的长随OP的长的增大而增大，求a的取值范围．27．（7分）（2025•北京）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝α，点D在射线BC上，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转180°﹣2α得到线段AE（点E不在直线AB上），过点E作EF∥AB，交直线BC于点F．（1）如图1，α＝45°，点D与点C重合，求证：BF＝AC；（2）如图2，点D，F都在BC的延长线上，用等式表示DF与BC的数量关系，并证明．28．（7分）（2025•北京）在平面直角坐标系xOy中，对于点A和⊙C给出如下定义：若⊙C上存在两个不同的点M，N，对于⊙C上任意满足AP＝AQ的两个不同的点P，Q，都有∠PAQ≤∠MAN，则称点A是⊙C的关联点，称∠MAN的大小为点A与⊙C的关联角度．（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角）（1）如图，⊙O的半径为1．①在点A1（12，0），A2（43，0），A3（2，0）中，点是⊙O的关联点且其与⊙O的关联角度小于90°，该点与⊙O的关联角度为②点B（1，m）在第一象限，若对于任意长度小于1的线段BD，BD上所有的点都是⊙O的关联点，则m的最小值为；（2）已知点E（1，3），F（4，3），T（t，0），⊙T经过原点，线段EF上所有的点都是⊙T的关联点，记这些点与⊙T的关联角度的最大值为α．若90°≤α≤180°，直接写出t的取值范围．

2025年北京市中考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案DDCACCBB一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。1．（2分）（2025•北京）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【专题】平移、旋转与对称；几何直观．【答案】D【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断．【解答】解：A、B中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A、B不符合题意；C、图形是中心对称图形，不轴对称图形，故C不符合题意；D、图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故D符合题意．故选：D．【点评】本题考查中心对称图形，轴对称图形，关键是掌握中心对称图形和轴对称图形的定义．2．（2分）（2025•北京）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．a＞﹣1 B．a+b＝0 C．a﹣b＞0 D．|a|＞|b|【考点】实数与数轴；绝对值．【专题】实数；符号意识．【答案】D【分析】观察数轴可知：﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，|a|＞|b|，然后根据有理数的加减法则判断B，C选项的掌握，从而解答即可．【解答】解：观察数轴可知：﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，|a|＞|b|，∴a+b＜0，a﹣b＜0，∴A、B、C选项的结论错误，D选项的结论正确，故选：D．【点评】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握数轴上左边的数总比右边的数小和有理数的加减法则．3．（2分）（2025•北京）若一个六边形的每个内角都是x°，则x的值为（）A．60 B．90 C．120 D．150【考点】多边形内角与外角．【专题】线段、角、相交线与平行线．【答案】C【分析】利用多边形内角和公式及正多边形的性质求解即可．【解答】解：∵一个六边形的每个内角都是x°，∴这个六边形为正六边形，∴每个内角的度数为：（6﹣2）×180°÷6＝120°，故选：C．【点评】本题考查了多边形内角和公式，即（n﹣2）×180°，其中n为边数，掌握此性质是解题的关键．4．（2分）（2025•北京）一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是（）A．16 B．13 C．12 【考点】概率公式．【专题】概率及其应用；应用意识．【答案】A【分析】由题意知，共有6种等可能的结果，其中摸出的球是白球的结果有1种，利用概率公式可得答案．【解答】解：由题意知，共有6种等可能的结果，其中摸出的球是白球的结果有1种，∴摸出的球是白球的概率为16故选：A．【点评】本题考查概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键．5．（2分）（2025•北京）若关于x的一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4【考点】根的判别式．【专题】计算题；一元二次方程及应用；应用意识．【答案】C【分析】先计算根的判别式，再根据方程解的情况得关于a的方程，求解即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝0且a≠0．∴22﹣4a＝0且a≠0．∴a＝1．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式和方程解的关系是解决本题的关键．6．（2分）（2025•北京）2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星2016H03的探测与采样返回之旅．已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为4×105km，则该小行星与地球的最近距离约为（）A．1.8×105km B．1.8×106km C．1.8×107km D．1.8×1010km【考点】科学记数法—表示较大的数．【专题】实数；数感．【答案】C【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：45×4×105km＝18000000km＝1.8×107km，故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．7．（2分）（2025•北京）如图，∠MON＝100°，点A在射线OM上，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交射线ON于点B．若分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点C，连接AC，则∠OAC的大小为（）A．80° B．100° C．110° D．120°【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】尺规作图；几何直观．【答案】B【分析】连接AB，AC，BC，由作图可得OA＝OB，AC＝BC＝AB，则△ABC为等边三角形，可得∠ACB＝60°．证明△OAC≌△OBC，可得∠ACO＝∠BCO=12∠ACB=30°，∠AOC=∠BOC=12∠AOB=50°【解答】解：连接AB，AC，BC，由作图可得，OA＝OB，AC＝BC＝AB，∴△ABC为等边三角形，∴∠ACB＝60°．∵OC＝OC，∴△OAC≌△OBC（SSS），∴∠ACO＝∠BCO=12∠ACB∴∠OAC＝180°﹣∠AOC﹣∠ACO＝180°﹣30°﹣50°＝100°．故选：B．【点评】本题考查作图—基本作图、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．8．（2分）（2025•北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形OACB是矩形，函数y=1x（x＞0）的图象与边AC交于点M，与边BC交于点N（M，①△COM与△CON的面积一定相等；②△MON与△MCN的面积可能相等；③△MON一定是锐角三角形；④△MON可能是等边三角形．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质；等边三角形的判定；矩形的性质．【专题】反比例函数及其应用；推理能力．【答案】B【分析】设点M坐标为(a，1a)，点N坐标为(b，1b)，则OB=AB=1b，OA＝BC＝a，BN＝b，AM=1a，CN＝a﹣b，CM=1b-1a，可用a，b表示出S△COM=a2b-12，S△CON=a2b-1【解答】解：设点M坐标为(a，1a)则A（a，0），B(0，1∴OB=AB=1b，OA＝BC＝a，BN＝b，AM=1a，∴S△S△∴S△COM＝S△CON，故结论①正确；S△S△当△MON与△MCN的面积相等时，(a-b)2当a＝b时，M，N重合，与题意不符，故结论②错误；∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当∠NOM＝60°且对称轴都为直线y＝x，△MON可能是等边三角形，故④正确，如图：当M，N在y＝x的同侧时，△MON可能是钝角三角形，故③错误；综上，①④正确、②③错误．故选：B．【点评】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数的图形和性质，矩形的性质，图形结合是解题的关键．二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）（2025•北京）若3x-3在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是x≥1【考点】二次根式有意义的条件．【专题】二次根式；运算能力．【答案】x≥1．【分析】根据二次根式有意义的条件可得3x﹣3≥0，解不等式即可．【解答】解：若3x则3x﹣3≥0，解得：x≥1，故答案为：x≥1．【点评】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握其有意义的条件是解题的关键．10．（2分）（2025•北京）分解因式：7m2﹣28＝7（m+2）（m﹣2）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【专题】整式；运算能力．【答案】7（m+2）（m﹣2）．【分析】提公因式后利用平方差公式因式分解即可．【解答】解：原式＝7（m2﹣4）＝7（m+2）（m﹣2），故答案为：7（m+2）（m﹣2）．【点评】本题考查因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键．11．（2分）（2025•北京）方程2x-6+1x=0【考点】解分式方程．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】x＝2．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：方程两边乘最简公分母x（x﹣6）得，2x+x﹣6＝0，解得x＝2，经检验x＝2是原方程的解，故答案为：x＝2．【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．12．（2分）（2025•北京）某地区七年级共有2000名男生．为了解这些男生的体重指数（BMI）分布情况，从中随机抽取了100名男生，测得他们的BMI数据（单位：kg/m2），并根据七年级男生体质健康标准整理如下：等级低体重正常超重肥胖BMI≤15.415.5～22.122.2～24.9≥25.0人数675154根据以上信息，估计该地区七年级2000名男生中BMI等级为正常的人数是1500．【考点】用样本估计总体．【专题】数据的收集与整理．【答案】1500．【分析】用2000乘以样本中BMI等级为正常的人数所占的比例即可得解．【解答】解：由题意可得：该地区七年级2000名男生中BMI等级为正常的人数是2000×75故答案为：1500．【点评】本题考查了由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用解此题的关键．13．（2分）（2025•北京）能说明命题“若a2＞4b2，则a＞2b”是假命题的一组实数a，b的值为a＝﹣3，b＝1（答案不唯一）．【考点】命题与定理．【专题】实数；数感．【答案】﹣3，1（答案不唯一）．【分析】根据举反例的方法找到a，b满足a2＞4b2，但是不满足a＞2b即可．【解答】解：当a＝﹣3，b＝1时，a2＞4b2，但是a＜2b，故答案为：﹣3，1（答案不唯一）．【点评】本题主要考查了命题与定理的知识，掌握判断一个命题是假命题的时候可以举出反例是解题的关键．14．（2分）（2025•北京）如图，⊙O是地球的示意图，其中AB表示赤道，CD，EF分别表示北回归线和南回归线，∠DOB＝∠FOB＝23.5°．夏至日正午时，太阳光线GD所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角∠IFH（即平行于GD的光线HF与⊙O的切线FI所成的锐角）的大小为43°．【考点】切线的性质；圆周角定理．【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．【答案】43．【分析】根据平行线的性质求出∠OFH，根据切线的性质得到∠OFI＝90°，进而求出∠IFH．【解答】解：∵∠DOB＝∠FOB＝23.5°，∴∠DOF＝∠DOB+∠FOB＝47°，∵GD∥HF，∴∠OFH＝180°﹣∠DOF＝180°﹣47°＝133°，∵FI是⊙O的切线，∴OF⊥FI，∴∠OFI＝90°，∴∠IFH＝133°﹣90°＝43°，故答案为：43．【点评】本题考查的是切线的性质，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．15．（2分）（2025•北京）如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，CF⊥BE，垂足为F．若AB＝1，∠EBC＝30°，则△ABF的面积为38【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】矩形菱形正方形；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】过点F分别作FM⊥BC，FN⊥AB，垂足为M，N，连接AM，则∠FMC＝90°，先根据平行线间的距离处处相等得出FN＝BM，继而得出S△ABF＝S△ABM，通过解直角三角形得出BM=【解答】解：过点F分别作FM⊥BC，FN⊥AB，垂足为M，N，连接AM，则∠FMC＝90°，∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC＝90°，∴∠ABC＝∠FMC，∴AB∥FM，∴FN＝BM，∵S△ABF=∴S△ABF＝S△ABM，∵CF⊥BE，垂足为F，AB＝1＝BC，∠EBC＝30°，∴∠BFC＝90°，CF=∴∠CFM＝90°﹣∠BCF＝30°，∴CM=∴BM=∴S△故答案为：38【点评】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，解直角三角形，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．16．（2分）（2025•北京）某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售．当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如下：n＝1n＝2n＝3n＝4n＝5n＝6…A4060/////B30557590100105/C204060708090…D14386286110134…（1）如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商B分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）；（2）如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值为157万元．【考点】函数的表示方法．【专题】函数及其图象；推理能力．【答案】（1）B；（2）157．【分析】（1）分别计算各经销商销售完第2台比第1台的利润的增长量，比较即可得答案；（2）分别求出一家分配时、四家分配时、三家分配时、两家分配时的最大利润，比较即可得答案．【解答】解：（1）当n＝2时，A经销商的利润为60，比n＝1时增加60﹣40＝20（万元），B经销商的利润为55，比n＝1时增加55﹣30＝25（万元），C经销商的利润为40，比n＝1时增加40﹣20＝20（万元），D经销商的利润为38，比n＝1时增加38﹣14＝24（万元），∵25＞24＞20，∴应向经销商B分配2台设备，故答案为：B；（2）当给这四家经销商中的一家分配时，最大利润为D经销商的134万元，当分配给多家销售时：当分配四家时，最大利润为40+55+20+38＝153（万元），当分配给三家时，最大利润为40+55+62＝157（万元），当分配给两家时，最大利润为60+90＝150（万元）或40+110＝150（万元），综上所述：企业可获得的总利润的最大值为157万元．故答案为：157．【点评】本题考查列举等可能的结果，根据表格列举出增长量的变化是解题关键．三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。17．（5分）（2025•北京）计算：|﹣3|+27+【考点】实数的运算．【专题】实数；运算能力．【答案】4+33．【分析】利用绝对值及算术平方根的性质，负整数指数幂，特殊锐角三角函数值计算后再算加减即可．【解答】解：原式＝3+33+2﹣2＝3+33+2﹣＝4+33．【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．18．（5分）（2025•北京）解不等式组：2(【考点】解一元一次不等式组．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】﹣3＜x＜1．【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．【解答】解：2(x解不等式①，得：x＞﹣3，解不等式②，得：x＜1，∴原不等式组的解集为﹣3＜x＜1．【点评】本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式（组）的方法．19．（5分）（2025•北京）已知a+b﹣3＝0，求代数式4(a【考点】分式的值．【专题】分式；运算能力．【答案】43【分析】由已知条件易得a+b＝3，将原式变形后代入数值计算即可．【解答】解：∵a+b﹣3＝0，∴a+b＝3，∴原式==4(=4=4【点评】本题考查分式的值，将原式进行正确地变形是解题的关键．20．（6分）（2025•北京）如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，DF⊥BC，垂足为F，点G在DE的延长线上，DG＝FC．（1）求证：四边形DFCG是矩形；（2）若∠B＝45°，DF＝3，DG＝5，求BC和AC的长．【考点】矩形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形中位线定理；平行四边形的判定与性质．【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形菱形正方形；运算能力；推理能力．【答案】（1）证明见解析；（2）BC＝8，AC＝210．【分析】（1）证明DE是△ABC的中位线，得DE∥BC，再证明四边形DFCG是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论；（2）证明△BDF是等腰直角三角形，得BF＝DF＝3，则BC＝BF+FC＝8，再由三角形中位线定理求出DE＝4，然后由矩形的性质得CG＝DF＝3，∠G＝90°，则EG＝DG﹣DE＝1，进而由勾股定理求出CE的长，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵D，E分别为AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∵DG＝FC，∴四边形DFCG是平行四边形，又∵DF⊥BC，∴∠DFC＝90°，∴平行四边形DFCG是矩形；（2）解：∵DF⊥BC，∴∠DFB＝90°，∵∠B＝45°，∴△BDF是等腰直角三角形，∴BF＝DF＝3，∵DG＝FC＝5，∴BC＝BF+FC＝3+5＝8，由（1）可知，DE是△ABC的中位线，四边形DFCG是矩形，∴DE=12BC＝4，CG＝DF＝3，∠G＝∴EG＝DG﹣DE＝5﹣4＝1，∴CE=C∵E为AC的中点，∴AC＝2CE＝210．【点评】本题考查了矩形的判定与性质、三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．21．（5分）（2025•北京）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（1，3）和（2，5）．（1）求k，b的值；（2）当x＜1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值既小于函数y＝kx+b的值，也小于函数y＝x+k的值，直接写出m的取值范围．【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征．【专题】一次函数及其应用；推理能力．【答案】（1）k=2（2）2≤m≤3．【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；（2）由（1）可得函数y＝kx+b（k≠0）的解析式为y＝2x+1，函数y＝x+k的解析式为y＝x+2，当mx＜2x+1时，则（m﹣2）x＜1，当mx＜x+2时，则（m﹣1）x＜2，根据当x＜1时，两个不等式都成立可得m≥2；当m＝2，x＜1时，2x＜2x+1和x＜2恒成立；当m＞2时，则x＜1m-2且x＜2m-【解答】解：（1）∵在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（1，3）和（2，5），∴k+解得k=2（2）由（1）可得函数y＝kx+b（k≠0）的解析式为y＝2x+1，函数y＝x+k的解析式为y＝x+2，当mx＜2x+1时，则（m﹣2）x＜1，当mx＜x+2时，则（m﹣1）x＜2，∵当x＜1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值既小于函数y＝kx+b的值，也小于函数y＝x+k的值，∴m﹣2≥0，且m﹣1≥0，∴m≥2，当m＝2，x＜1时，2x＜2x+1和x＜2恒成立，故m＝2符合题意；当m＞2时，则x＜当1m-2解不等式1m-2≥2m-∴2＜m≤3；当1m-2解不等式1m-2＜2m-1得m综上所述，2≤m≤3．【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与不等式之间的关系，熟知一次函数的相关知识是解题的关键．22．（6分）（2025•北京）北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图1）；一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是1：1：2．已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中BC的长是门条长的59，AB．CD【考点】一元一次方程的应用；分数混合运算的应用；比的应用．【专题】一次方程（组）及应用．【答案】80cm．【分析】设胸腹高为xcm，则单根膀条长为5xcm，门条AD的长度为（5x﹣10）cm，BC=59(5x-10)cm，AB＝CD＝xcm，头部高为xcm，尾部高为2xcm，这只风筝的骨架的总高为4xcm；由AD＝AB+BC【解答】解：设胸腹高为xcm，则单根膀条长为5xcm，门条AD的长度为（5x﹣10）cm，BC=59(5x-10)cm，AB＝CD＝x，头部高为由AD＝AB+BC+CD，可得5x解得：x＝20；所以这只风筝的骨架的总高4x＝80cm，答：这只风筝的骨架的总高80cm．【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，弄清量之间的关系、列出一元一次方程是解题的关键．23．（5分）（2025•北京）校田径队教练选出甲、乙、丙、丁四名运动员参加100米比赛．对这四名运动员最近10次100米跑测试成绩（单位：s）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．甲、乙两名运动员10次测试成绩的折线图：b．丙运动员10次测试成绩：12.412.412.512.712.812.812.812.812.912.9c．四名运动员10次测试成绩的平均数、中位数、方差甲乙丙丁平均数12.512.5p12.5中位数m12.512.812.45方差0.056n0.0340.056（1）表中m的值为12.5；（2）表中n＜0.056（填“＞”“＝”或“＜”）；（3）根据这10次测试成绩，教练按如下方式评估这四名运动员的实力强弱：首先比较平均数，平均数较小者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试成绩小于平均数的次数较多者实力更强．评估结果：这四名运动员按实力由强到弱依次为乙、丁、甲、丙．【考点】折线统计图；算术平均数；中位数；方差；用样本估计总体．【专题】数据的收集与整理；统计的应用；运算能力；推理能力．【答案】（1）12.5；（2）＜；（3）乙、丁、甲、丙．【分析】（1）根据中位数定义即可求解m；（2）根据方差计算公式求解，再比较即可；（3）根据中位数、方差、平均数，结合题意分析即可．【解答】解：（1）甲的10次测试成绩排列为：12.1，12.1，12.5，12.5，12.5，12.5，12.5，12.7，12.7，12.9，∴中位数m=故答案为：12.5；（2）乙的方差为：110[（12.6﹣12.5）2×2+（12.3﹣12.5）2+（12.5﹣12.5）2×3+（12.7﹣12.5）2×2+（12.4﹣12.5）2+（12.2﹣12.5）2]＝0.024∴n＜0.056，故答案为：＜；（3）丙的平均数p=∴丙的平均数最大，则实力最弱，∵方差0.024＜0.034＜0.056，∴乙实力最强，∵丁的测试成绩中位数为12.45，∴第5，6次成绩和为24.9，∴前5次测试成绩小于平均数，甲测试成绩小于平均数12.5的次数有2次，∴丁比甲强，∴这四名运动员按实力由强到弱依次为：乙、丁、甲、丙，故答案为：乙、丁、甲、丙．【点评】本题考查了折线统计图，计算方差，中位数，平均数等知识点，正确理解题意是解题的关键．24．（6分）（2025•北京）如图，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，连接OA，OB，OP，取OP的中点C，连接AC并延长，交⊙O于点D，连接BD．（1）求证：∠ADB＝∠AOP；（2）延长OP交DB的延长线于点E．若AP＝10，tan∠AOP=12，求【考点】切线的性质；解直角三角形；圆周角定理．【专题】与圆有关的计算；推理能力．【答案】（1）见解析；（2）44．【分析】（1）利用切线长定理得OP平分∠AOB，利用圆周角定理得∠ADB（2）延长AO交⊙O于点F，连接DF，利用条件求出线段长，再利用角度转换证明三角形相似，最后根据相似求得DE长．【解答】（1）证明：∵AP，BP分别切⊙O于A点，B点，∴OP平分∠AOB，∴∠AOP又∵AB=∴∠ADB∴∠ADB＝∠AOP；（2）解：延长AO交⊙O于点F，连接DF，则∠ADF＝90°，∵AP，BP分别切⊙O于A点，B点，∴PA⊥OA，∵C为OP的中点，∴PC＝OC，∴AC=又∵AP＝10，tan∠∴AO=APtan∠AOP=20，OP=AO2∵AC＝OC，∴∠CAO＝∠AOC，又∵∠PAO＝∠ADF＝90°，∴POAO∴DA=2010∵∠AOP＝∠ADB，∠ACO＝∠ECD，∴△ACO∽△ECD，∴AOED∴DE=【点评】本题主要考查切线长定理，圆周角定理及推论，勾股定理，三角函数，相似三角形的判定与性质等知识点，熟记切线长定理，圆周角定理，并且能根据题意作出合适的辅助线是解题的关键．25．（5分）（2025•北京）工厂对新员工进行某种工艺品制作的培训．在完成理论学习后，新员工接下来先使用智能辅助训练系统进行一次为期T日（T可取0，1，2或3）的模拟练习，然后开始试制．记一名新员工在试制阶段的第x日单日制成的合格品的个数为y，根据以往的培训经验，对于给定的T，可以认为y是x的函数．当T＝0和T＝3时，部分数据如下：x0123456789T＝0时y的值07810121620232526T＝3时y的值0263743m4850515253T＝3时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变．对于给定的T，在平面直角坐标系xOy中描出该T值下各数对（x，y）所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线∁T．当T＝1和T＝2时，曲线C1，C2如图所示．（1）观察曲线C1，当整数x的值为6时，y的值首次超过35；（2）写出表中m的值，并在给出的平面直角坐标系中画出T＝3时的曲线C3；（3）新员工小云和小腾刚刚完成理论学习，接下来进行模拟练习和试制．①若新员工单日制成不少于45个合格品即可获得“优秀学员”证书，根据上述函数关系，小云最早在完成理论学习后的第7日可获得“优秀学员”证书；②若工厂希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这4日中应安排小腾先进行1日的模拟练习．【考点】函数的图象；函数的概念；函数值．【专题】函数及其图象；推理能力．【答案】（1）6；（2）见解析；（3）①7；②1．【分析】（1）找C1图象上y的值首次超过35时的x值；（2）根据第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变，第5日比第3日多试制5个合格产品，可知第4日比第3日多3个合格产品，即得；运用表格数据在平面直角坐标系描点画出函数图象；（3）①根据单日制成不少于45个合格品的只有C2与C3，C3：T＝3x＝4时，y＝46，得T+x＝7；C2：T＝2，当x＝6时，y＝45，得T+x＝8，比较即得小云最早在完成理论学习后的第7日可获得“优秀学员”证书；②分模拟练习T＝0日，T＝1日，T＝2日，T＝3日，求出对应的4日内的试制日数，试制的合格产品数，比较即得应安排小腾先进行的模拟练习日数．【解答】解：（1）由曲线C1看出，当整数x的值为6时，y的值首次超过35，故答案为：6；（2）∵T＝3日的模拟练习时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变，在试制阶段的第3日单日制成的合格品43个，第5日单日制成的合格品48个，∴相差48﹣43＝5（个），把5分成两个接近的数，5＝3+2，∴第4日增加3个，第5日增加2个，∴m＝43+3＝46，画出T＝3时的曲线C3：（3）①单日制成不少于45个合格品的只有C2与C3，C3：T＝3日的模拟练习，然后试制阶段第x＝4日制成的合格品达到y＝46个，∴T+x＝7；C2：T＝2日的模拟练习，然后试制阶段第x＝6日制成的合格品达到y＝45个，∴T+x＝8，∵7＜8，故小云最早在完成理论学习后的第7日可获得“优秀学员”证书；故答案为：7；②如图，当模拟练习T＝0日时，4日内的试制时间x＝4﹣0＝4日，4日的合格产品分别是7，8，10，12，∴合格产品共有7+8+10+12＝37；当模拟练习T＝1日时，4日内的试制时间x＝4﹣1＝3日，3日的合格产品分别是12，19，26，∴合格产品共有12+19+26＝57；当模拟练习T＝2日时，4日内的试制时间x＝4﹣2＝2日，2日的合格产品分别是20，30，∴合格产品共有20+30＝50；当模拟练习T＝3日时，4日内的试制时间x＝4﹣3＝1日，1日的合格产品是26；∵26＜37＜50＜57，∴希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这4日中应安排小腾先进行1日的模拟练习．故答案为：1．【点评】本题考查了表格法与图象法表示函数．熟练掌握函数表示的表格法与图象法，根据表格信息画函数图象，函数的图象和性质，函数的增减性质，求函数值或自变量的值，是解题的关键．26．（6分）（2025•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点O和点A（3，3a）．（1）求c的值，并用含a的式子表示b；（2）过点P（t，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线y＝ax于点N．①若a＝1，t＝4，求MN的长；②已知在点P从点O运动到点B（2a，0）的过程中，MN的长随OP的长的增大而增大，求a的取值范围．【考点】二次函数综合题．【专题】代数综合题．【答案】（1）c＝0，b＝﹣2a；（2）①4；②0＜a≤34或a＜【分析】（1）分别将O（0，0），O（0，0）代入抛物线解析式，即可获得答案；（2）①结合题意，分别确定点M、N的坐标，即可获得答案；②首先确定MN＝|at2﹣3at|，再分a＞0和a＜0两种情况分析求解即可．【解答】解：（1）将点O（0，0）代入，抛物线y＝ax2+bx+c，可得c＝0，∴该抛物线解析式为y＝ax2+bx，将点A（3，3a）代入，抛物线y＝ax2+bx，可得3a＝9a+3b，解得b＝﹣2a；（2）①若a＝1，则该抛物线及直线解析分别为y＝x2﹣2x，y＝x，当t＝4时，可有点P（4，0），如图，∵PM⊥x轴，∴xM＝xN＝4，将x＝4代入y＝x2﹣2x，可得y＝42﹣2×4＝8，即M（4，8），将x＝4代入y＝x，可得y＝4，即N（4，4），∴MN＝8﹣4＝4；②当点P从点O运动到点B（2a，0）的过程中，∵PM⊥x轴，P（t，0），∴xM＝xN＝t，将x＝t代入y＝ax2﹣2ax，可得y＝at2﹣2at，即M（t，at2﹣2at），将x＝t代入y＝ax，可得y＝at，即N（t，at），∴MN＝|at2﹣2at﹣at|＝|at2﹣3at|，令MN＝0，即at2﹣3at＝0，解得t＝0或t＝3，若a＞0，可有2a＞0，即点P在y轴右侧，如图，当0＜t≤3时，可有MN＝﹣at2+3at，其图象开口向下，对称轴为直线x=若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的增大而增大，则2a解得a≤当t＞3时，可有MN＝at2﹣3at其图象开口向上，对称轴为直线x=若a＜0，可有2a＜0，即点P在y轴左侧，如图，当t＜0时，可有MN＝﹣at2+3at，其图象开口向上，对称轴为直线x=若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的减小而增大，则2a≤3∴a＜0，综上所述，a的取值范围为0＜a≤34或a＜【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质、二次函数与一次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题．27．（7分）（2025•北京）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝α，点D在射线BC上，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转180°﹣2α得到线段AE（点E不在直线AB上），过点E作EF∥AB，交直线BC于点F．（1）如图1，α＝45°，点D与点C重合，求证：BF＝AC；（2）如图2，点D，F都在BC的延长线上，用等式表示DF与BC的数量关系，并证明．【考点】几何变换综合题．【专题】几何综合题．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）根据α＝45°，得出∠BAC＝∠ABC＝45°，根据旋转可得AE＝AD＝AC，∠EAB＝90°﹣∠BAC＝45°，进而证明四边形ABFE是平行四边形，得出BF＝AE，BF＝AC；即可得证；（2）在DB上取一点G，使得AG＝AB，证明△DAG≌△EAB（SAS），得出DG＝BE，∠AGD＝∠ABE＝180°﹣∠AGC＝180°﹣α，进而根据三角形内角和定理得出∠FBE＝180°﹣2α，根据平行线的性质得出∠BFE＝∠ABF＝α，进而得出∠BEF＝α，根据等角对等边可得BE＝BF，则DG＝BF，根据三线合一可得GC＝BC，进而根据DF＝BD﹣BF＝BD﹣DG＝BG＝2BC，即可得证．【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，∵线段AD绕点A逆时针旋转180°﹣2×45°＝90°得到线段AE，点D与点C重合，∴AE＝AD＝AC，∠EAB＝90°﹣∠BAC＝45°，∴∠EAB＝∠ABC，∴BC∥AE，∵EF∥AB，∴四边形ABFE是平行四边形，∴BF＝AE，∴BF＝AC；（2）DF＝2BC，证明：如图，在DC上取一点G，使得CG＝CB，∵∠ACB＝90°，∴∠ACG＝∠ACB＝90°，在Rt△ACG和Rt△ACB中，AC=∴Rt△ACG≌Rt△ACB（SAS），∴AG＝AB，∴∠AGB＝∠ABG＝α，∴∠BAG＝180°﹣2α，∵将线段AD绕点A逆时针旋转180°﹣2α得到线段AE，∴DA＝EA，∴∠DAE＝∠GAB＝180°﹣2α，∴∠DAG＝∠EAB，∴△DAG≌△EAB（SAS），∴DG＝BE，∠AGD＝∠ABE＝180°﹣∠AGC＝180°﹣α，又∵∠ABC＝α，∵∠FBE＝∠ABE﹣∠ABC＝180°﹣α﹣α＝180°﹣2α，∵EF∥AB，∴∠BFE＝∠ABF＝α，∴∠BEF＝180°﹣∠FBE﹣∠BFE＝α，∴BE＝BF，∴DG＝BF，∵AG＝AB，AC⊥BC，∴GC＝BC，∴DF＝BD﹣BF＝BD﹣DG＝BG＝2BC．【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，平行四边形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．28．（7分）（2025•北京）在平面直角坐标系xOy中，对于点A和⊙C给出如下定义：若⊙C上存在两个不同的点M，N，对于⊙C上任意满足AP＝AQ的两个不同的点P，Q，都有∠PAQ≤∠MAN，则称点A是⊙C的关联点，称∠MAN的大小为点A与⊙C的关联角度．（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角）（1）如图，⊙O的半径为1．①在点A1（12，0），A2（43，0），A3（2，0）中，点A3是⊙O的关联点且其与⊙O的关联角度小于90°，该点与⊙O的关联角度为60②点B（1，m）在第一象限，若对于任意长度小于1的线段BD，BD上所有的点都是⊙O的关联点，则m的最小值为3；（2）已知点E（1，3），F（4，3），T（t，0），⊙T经过原点，线段EF上所有的点都是⊙T的关联点，记这些点与⊙T的关联角度的最大值为α．若90°≤α≤180°，直接写出t的取值范围．【考点】圆的综合题．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】（1）①A3，60；②3；（2）322≤t＜3或【分析】（1）①根据新定义可得A3的是⊙O的关联点且其与⊙O的关联角度小于90°，进而根据切线的性质，解Rt△MA3O，即可求得∠MA3O＝30°，即可求解；②根据定义可得B为⊙O外一点，由BD＜1，⊙O的半径为1，得出BO≥2，进而当OB＝2时，勾股定理求得m的值，即可求解；（2）由（1）可得，当A在圆的外部时，且AM，AN为圆的切线时，∠MAN最大，且A距离圆心越近，根据90°≤α≤180°，得出r＜TA≤2r，根据已知可得，EF上距离T最近的点在t≤TA≤【解答】解：（1）①根据定义可得：当A在⊙O上时，不存在都有∠PAQ≤∠MAN；当A在⊙O内部时，过A的直线MN使得⊙O的关联角度为180°；当A在⊙O的外部时，且AM，AN为⊙O的切线时，∠MAN最大；如图，A3是⊙O的关联点且其与⊙O的关联角度小于90°，A1与⊙O的关联角度为180°，A2与⊙O的关联角度大于90°，∵A3（2，0），⊙O的半径为1，∴OM＝1，OA3＝2，且MA3是⊙O的切线，∴sin∠∴∠MA3O＝30°，∴∠MA3N＝60°，即与⊙O的关联角度为60°，故答案为：A3，60；②根据定义可得B为⊙O外一点，∵BD＜1，⊙O的半径为1，∴BO≥2，当OB＝2时，如图，取点G（1，0），则∠OGB＝90°，∴m≥∴m的最小值为3，故答案为：3；（2）由（1）可得，当A在圆的外部时，且AM，AN为圆的切线时，∠MAN最大，且A距离圆心越近，∵90°≤α≤180°，∴当∠MAN＝90°时，由∠TMA＝∠TNA＝90°，如图，∴四边形TMAN是矩形，∵TM＝TA，∴四边形TMAN是正方形，∴TA=当∠MAN≥90°时，r＜∵点E（1，3），F（4，3），T（t，0），⊙T经过原点，线段EF上所有的点都是⊙T的关联点，则r＝|t|，∴EF上距离T最近的点在t＜①EF和2t∴TA=3=解得：t=②EF和半径为t的圆相切时，如图，∴t＝3（不包含临界值），∴32③当E在半径为t的圆，如图，∴t2＝（t﹣1）2+32，解得：t＝5（不包含临界值），∴t＞5时，E，F都在⊙T内部，此时α＝180°；④当F在半径为2t设⊙T的半径为r，则t＝﹣r，∴32解得：r=1+∴t≤-1-11时，此时90°≤α综上所述，322≤t＜3或【点评】本题考查了新定义，直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，理解新定义是解题的关键．

考点卡片1．绝对值（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．③有理数的绝对值都是非负数．（2）如果用字母a表示有理数，则数a绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）2．科学记数法—表示较大的数（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】（2）规律方法总结：①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．3．实数与数轴（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．4．实数的运算（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．【规律方法】实数运算的“三个关键”1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．5．提公因式法与公式法的综合运用先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可．6．分式的值分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径．7．二次根式有意义的条件判断二次根式有意义的条件：（1）二次根式的概念．形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．（3）二次根式具有非负性．a（a≥0）是一个非负数．学习要求：能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．【规律方法】二次根式有无意义的条件1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．8．一元一次方程的应用（一）一元一次方程解应用题的类型有：（1）探索规律型问题；（2）数字问题；（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率=利润进价×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×（5）行程问题（路程＝速度×时间）；（6）等值变换问题；（7）和，差，倍，分问题；（8）分配问题；（9）比赛积分问题；（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．列一元一次方程解应用题的五个步骤1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．3．列：根据等量关系列出方程．4．解：解方程，求得未知数的值．5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．9．根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．10．解分式方程（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程时，一定要检验．11．解一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．12．函数的概念函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应．13．函数值函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值．注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程；②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个．14．函数的图象函数的图象定义对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．．15．函数的表示方法函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法．其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化．16．一次函数图象与系数的关系由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限；②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限；③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限；④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限．17．一次函数图象上点的坐标特征一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（-bk，0）；与y轴的交点坐标是（0，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．18．待定系数法求一次函数解析式待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．19．反比例函数系数k的几何意义比例系数k的几何意义在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12|k|20．反比例函数图象上点的坐标特征反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．21．二次函数综合题（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．22．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．23．等腰三角形的判定与性质1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．24．等边三角形的性质（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．25．等边三角形的判定（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．26．等边三角形的判定与性质（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．27．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．28．三角形中位线定理（1）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．（2）几何语言：如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点∴DE∥BC，DE=1229．多边形内角与外角（1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3且n为整数）此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．（2）多边形的外角和等于360°．①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°．30．平行四边形的判定与性质平行四边形的判定与性质的作用平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．31．矩形的性质（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．32．矩形的判定与性质（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．