2025年湖南省长沙市中考数学试卷

第42页（共42页）2025年湖南省长沙市中考数学试卷一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）（2025•长沙）人类探索浩瀚宇宙的步伐从未停止，天文学家已经探明一年之中地球与太阳之间的距离随时间变化而变化，地球与太阳之间的平均距离约为149600000km，用科学记数法将数据149600000表示为（）A．1.496×109 B．1.496×108 C．1.496×107 D．14.96×1072．（3分）（2025•长沙）如图是由五个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（）A． B． C． D．3．（3分）（2025•长沙）在实际生活中，常用正数、负数表示具有相反意义的量．如果把向东走80米记作+80米，那么向西走60米记作（）A．﹣60米 B．﹣80米 C．+90米 D．+60米4．（3分）（2025•长沙）下列运算正确的是（）A．2a+a2＝2a3 B．6a2b÷a＝6b C．（ab）7＝a7b7 D．195．（3分）（2025•长沙）2020年，我国承诺，力争于2030年前实现“碳达峰”，2060年前实现“碳中和”倡导低碳生活是每个公民的社会责任．某班环保小组为了解同学们去年各自家庭月平均“碳足迹”的情况，收集了本组8名同学的家庭月平均用电产生的耗碳量（单位：千克）数据，依次为：76，78，77，79，78，75，78，80，则这组数据的众数是（）A．77 B．78 C．79 D．806．（3分）（2025•长沙）智慧农业广泛应用智能机器人．某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟采摘10个苹果．若该机器人搭载m个机械手（m＞1），则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为（）A．6m B．m+10 C．60m D．10m7．（3分）（2025•长沙）如图，AB∥CD，直线EF与直线AB，CD分别交于点E，F，直线EG与直线CD交于点G．若∠1＝70°，∠2＝50°，则∠GEF的度数为（）A．50° B．60° C．65° D．70°8．（3分）（2025•长沙）如图，AC，BC为⊙O的弦，连接OA，OB，OC．若∠AOB＝40°，∠OCA＝30°，则∠BCO的度数为（）A．40° B．45° C．50° D．55°9．（3分）（2025•长沙）如图，将△ABC沿折痕AD折叠，使点B落在AC边上的点E处，若AB＝4，BC＝5，AC＝6，则△CDE的周长为（）A．5 B．6 C．6.5 D．710．（3分）（2025•长沙）中国式现代化取得了彪炳史册的伟大成就，极大地提升了我国的综合国力与国际影响力．据世界银行公布的2024年各国GDP数据，可知2024年中国GDP总量为18.53万亿美元．附：世界银行公布的2024年GDP排名前20名的部分国家数据表国家GDP总量（单位：万亿美元）国家GDP总量（单位：万亿美元）德国4.59巴西2.33印度3.93俄罗斯2.05英国3.49韩国1.76法国3.13瑞士0.93预计2025年中国GDP总量的增长率为5%左右，请你根据以上信息估算：2025年中国GDP的增长量与下列哪个国家2024年GDP总量最接近？（）A．法国 B．瑞士 C．巴西 D．英国二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）（2025•长沙）分解因式：mx﹣2my＝．12．（3分）（2025•长沙）为了解某校学生利用全国中小学智慧教育平台辅助学习的情况，从该校全体3600名学生中，随机调查了100名学生，统计结果显示仅有3名学生从未使用该平台辅助学习．由此，估计该校全体学生中，从未使用该平台辅助学习的学生有名．13．（3分）（2025•长沙）分式方程3x+1=22x14．（3分）（2025•长沙）如图，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OA，OB，若AB＝OA，AC＝3，则OA的长为．15．（3分）（2025•长沙）如图，五边形ABCDE中，∠B＝120°，∠C＝110°，∠D＝105°，则∠A+∠E＝．16．（3分）（2025•长沙）衣服穿戴整不整齐，系好第一粒扣子很重要．青少年迈开人生第一步就要走正道，要严格遵守国家法律法规．同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则．例如：下面命题的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的．命题：如果a，b，c为实数，且满足a+b＝﹣c．那么2＝1．推理过程如下：第一步：根据上述命题条件有a+b＝﹣c；①第二步：根据七年级学过的整式运算法则有a＝2a﹣a，b＝2b﹣b，c＝2c﹣c；②第三步：把②代入①，可得（2a﹣a）+（2b﹣b）＝﹣（2c﹣c）；③第四步：把③两边利用移项、去括号法则、加法交换律等，变形可得2（a+b+c）＝（a+b+c）；④第五步：把④两边同时除以（a+b+c），得2＝1．⑤请你判断上述推理过程中，第步是错误的，它违背了数学的基本法则．二、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）（2025•长沙）计算：|22-1|+(15)-118．（6分）（2025•长沙）解不等式组：1+2x19．（6分）（2025•长沙）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，以点C为圆心，适当长为半径作弧，交CA于点M，交CB于点N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长度为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点D（1）求∠BCD的度数；（2）若BC＝2.5，求AD的长．20．（8分）（2025•长沙）2025年5月18日，湖南省第三届大中小学阅读教育论坛在长沙举行．论坛聚焦美育与阅读融合．为探索美育与阅读融合的新路径，某校举行了以“美育与阅读融合”为主题的知识竞赛，竞赛成绩以等第形式呈现，随机抽取了部分参赛学生的成绩进行统计，得到如下两幅待完善的统计图表．（A代表优秀、B代表良好、C代表一般、D代表合格．）等第频数频率A20mB300.30Cn0.44D60.06根据图表中所给信息，解答下列问题：（1）本次调查随机抽取了名学生的成绩；表中m＝，n＝；（2）在扇形统计图中，“A等”所对应的扇形的圆心角为度；（3）若该校八年级一班和二班恰好各有2名学生的参赛成绩是“A等”，从这4名学生中随机抽取2名学生参加以“美育与阅读融合”为主题的校级阅读分享活动，请用列表法或树状图法求选出的2名学生恰好来自同一个班级的概率．21．（8分）（2025•长沙）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且BE＝DF．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）连接EF，若BC＝12，BE＝5，求EF的长．22．（9分）（2025•长沙）为落实科技兴农政策，某乡办食品企业应用新科技推动农产品由粗加工向精加工转变．根据市场需求，该食品企业将收购的农产品加工成A，B两种等级的农产品对外销售，已知销售6千克A等级农产品和4千克B等级农产品共收入112元，销售4千克A等级农产品和2千克B等级农产品共收入68元．（不考虑加工损耗）（1）求每千克A等级农产品和每千克B等级农产品的销售单价分别为多少元？（2）若该食品企业以每千克8元购进6000千克农产品，全部加工后对外销售，要求总利润不低于16000元，则至少需加工A等级农产品多少千克？23．（9分）（2025•长沙）如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D．经测得景点C位于景点B的北偏东60°方向上，位于景点A的北偏东30°方向上，景点B位于景点D的南偏西45°方向上．已知AB＝800m．（1）求∠ACB的度数；（2）求景点C与景点D之间的距离．（结果保留根号）24．（10分）（2025•长沙）我们约定：当x1，y1，x2，y2满足（x1+y2）2+（x2+y1）2＝0，且x1+y1≠0时，称点（x1，y1）与点（x2，y2）为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．请你根据该约定，解答下列问题：（1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“✓”，错误的打“×”）；①函数y=kx（k是非零常数）的图象上存在无数对“对偶点”；②函数y＝﹣2x+1一定不是“对偶函数”；③函数y＝x2+x﹣1的图象上至少存在两对“对偶点”．（2）若关于x的一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2（b1，b2都是常数，且b1•b2＜0）均是“对偶函数”，求这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和；（3）若关于x的二次函数y＝2ax2﹣1是“对偶函数”，求实数a的取值范围．25．（10分）（2025•长沙）如图1，点O是以AB为直径的半圆的圆心，AD与BC均为该半圆的切线，C，D均为直径AB上方的动点，连接CD，且始终满足CD＝AD+BC．（1）求证：CD与该半圆相切；（2）当半径r=2时，令AD＝a，BC＝b，m=22+a+22+b（3）在（1）的条件下，如图2，当半径r＝1时，若点E为CD与该半圆的切点，AC与BD交于点G，连接EG并延长交AB于点F，连接AE，BE，令EG＝x，4AE⋅BE+1FG+CD＝y

2025年湖南省长沙市中考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案B．AA．CBDBCDB一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）（2025•长沙）人类探索浩瀚宇宙的步伐从未停止，天文学家已经探明一年之中地球与太阳之间的距离随时间变化而变化，地球与太阳之间的平均距离约为149600000km，用科学记数法将数据149600000表示为（）A．1.496×109 B．1.496×108 C．1.496×107 D．14.96×107【考点】科学记数法—表示较大的数．【专题】实数；符号意识．【答案】B．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：149600000＝1.496×108．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2．（3分）（2025•长沙）如图是由五个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（）A． B． C． D．【考点】简单组合体的三视图．【专题】投影与视图；几何直观．【答案】A【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【解答】解：从左边看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形．故选：A．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．3．（3分）（2025•长沙）在实际生活中，常用正数、负数表示具有相反意义的量．如果把向东走80米记作+80米，那么向西走60米记作（）A．﹣60米 B．﹣80米 C．+90米 D．+60米【考点】正数和负数．【专题】实数；符号意识．【答案】A．【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【解答】解：“正”和“负”相对，所以，如果把向东走80米记作+80米，那么向西走60米记作﹣60米．故选：A．【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．4．（3分）（2025•长沙）下列运算正确的是（）A．2a+a2＝2a3 B．6a2b÷a＝6b C．（ab）7＝a7b7 D．19【考点】二次根式的加减法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；整式的除法．【专题】二次根式；运算能力．【答案】C【分析】利用二次根式的加减法，合并同类项，积的乘方，单项式除以单项式法则逐项判断即可．【解答】解：2a与a2不是同类项，无法合并，则A不符合题意，6a2b÷a＝6ab，则B不符合题意，（ab）7＝a7b7，则C符合题意，19与6不是同类二次根式，无法合并，则D不符合题意，故选：C．【点评】本题考查二次根式的加减法，合并同类项，积的乘方，单项式除以单项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．5．（3分）（2025•长沙）2020年，我国承诺，力争于2030年前实现“碳达峰”，2060年前实现“碳中和”倡导低碳生活是每个公民的社会责任．某班环保小组为了解同学们去年各自家庭月平均“碳足迹”的情况，收集了本组8名同学的家庭月平均用电产生的耗碳量（单位：千克）数据，依次为：76，78，77，79，78，75，78，80，则这组数据的众数是（）A．77 B．78 C．79 D．80【考点】众数．【专题】统计的应用；运算能力．【答案】B【分析】根据众数的定义即可得出答案．【解答】解：这组数据中78出现的次数最多，故众数是78．故选：B．【点评】此题考查了众数，给定一组数据，出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数．6．（3分）（2025•长沙）智慧农业广泛应用智能机器人．某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟采摘10个苹果．若该机器人搭载m个机械手（m＞1），则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为（）A．6m B．m+10 C．60m D．10m【考点】列代数式．【专题】整式；运算能力．【答案】D【分析】根据每个机械手摘的数量乘机械手的数量，即可求出m（m＞1）个机械手平均每分钟可以采摘的苹果数．【解答】解：m（m＞1）个机械手每分钟采摘苹果：10m，故选：D．【点评】本题考查了代数式，解题的关键是理解题意，根据数量关系列代数式．7．（3分）（2025•长沙）如图，AB∥CD，直线EF与直线AB，CD分别交于点E，F，直线EG与直线CD交于点G．若∠1＝70°，∠2＝50°，则∠GEF的度数为（）A．50° B．60° C．65° D．70°【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】B【分析】根据平行线的性质进行计算即可．【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝70°，∴∠GFE＝∠1＝70°．又∵∠EGF＝∠2＝50°，∴∠GEF＝180°﹣50°﹣70°＝60°．故选：B．【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．8．（3分）（2025•长沙）如图，AC，BC为⊙O的弦，连接OA，OB，OC．若∠AOB＝40°，∠OCA＝30°，则∠BCO的度数为（）A．40° B．45° C．50° D．55°【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．【专题】圆的有关概念及性质；几何直观；推理能力．【答案】C【分析】根据圆周角和圆心角的关系得∠ACB=12∠AOB＝20°，再根据∠OCA＝30°即可得出∠【解答】解：∵∠AOB＝40°，∴∠ACB=12∠AOB＝∵∠OCA＝30°，∴∠BCO＝∠OCA+∠ACB＝50°．故选：C．【点评】此题主要考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系是解决问题的关键．9．（3分）（2025•长沙）如图，将△ABC沿折痕AD折叠，使点B落在AC边上的点E处，若AB＝4，BC＝5，AC＝6，则△CDE的周长为（）A．5 B．6 C．6.5 D．7【考点】翻折变换（折叠问题）．【专题】三角形；几何直观；推理能力．【答案】D【分析】由折叠性质得AE＝AB＝4，DE＝BD，进而得CE＝AC﹣AE＝2，CD+DE＝BC＝5，由此即可得出△CDE的周长．【解答】解：∵AB＝4，BC＝5，AC＝6，∴由折叠的性质得：AE＝AB＝4，DE＝BD，∴CE＝AC﹣AE＝6﹣4＝2，CD+DE＝CD+BD＝BC＝5，∴△CDE的周长为：CE+CD+DE＝2+5＝7．故选：D．【点评】此题主要考查了图形的折叠变换及其性质，熟练掌握图形的折叠变换及其性质是解决问题的关键．10．（3分）（2025•长沙）中国式现代化取得了彪炳史册的伟大成就，极大地提升了我国的综合国力与国际影响力．据世界银行公布的2024年各国GDP数据，可知2024年中国GDP总量为18.53万亿美元．附：世界银行公布的2024年GDP排名前20名的部分国家数据表国家GDP总量（单位：万亿美元）国家GDP总量（单位：万亿美元）德国4.59巴西2.33印度3.93俄罗斯2.05英国3.49韩国1.76法国3.13瑞士0.93预计2025年中国GDP总量的增长率为5%左右，请你根据以上信息估算：2025年中国GDP的增长量与下列哪个国家2024年GDP总量最接近？（）A．法国 B．瑞士 C．巴西 D．英国【考点】百分数的应用．【专题】实数；运算能力．【答案】B【分析】求出2025年中国GDP的增长量，即可得出结论．【解答】解：由题意可知，18.53×5%＝0.9265（万亿美元），即2025年中国GDP的增长量与瑞士2024年GDP总量最接近，故选：B．【点评】本题考查了百分数的应用，正确列式计算是解题的关键．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）（2025•长沙）分解因式：mx﹣2my＝m（x﹣2y）．【考点】因式分解﹣提公因式法．【专题】整式；运算能力．【答案】m（x﹣2y）．【分析】提取公因式m进行因式分解即可．【解答】解：原式＝m•x﹣m•2y＝m（x﹣2y），故答案为：m（x﹣2y）．【点评】本题考查提公因式法因式分解，找到正确的公因式是解题的关键．12．（3分）（2025•长沙）为了解某校学生利用全国中小学智慧教育平台辅助学习的情况，从该校全体3600名学生中，随机调查了100名学生，统计结果显示仅有3名学生从未使用该平台辅助学习．由此，估计该校全体学生中，从未使用该平台辅助学习的学生有108名．【考点】用样本估计总体．【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．【答案】108．【分析】用总人数乘样本中“未使用该平台辅助学习”的人数所占比例即可得．【解答】解：估计该校全体学生中，从未使用该平台辅助学习的学生有：3600×3100故答案为：108．【点评】本题主要考查样本估计总体，熟练掌握样本估计总体的思想及计算方法是解题的关键．13．（3分）（2025•长沙）分式方程3x+1=22x-【考点】解分式方程．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】x＝1.25．【分析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．【解答】解：原方程去分母得：6x﹣3＝2x+2，解得：x＝1.25，经检验，x＝1.25是分式方程的解，故答案为：x＝1.25．【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．14．（3分）（2025•长沙）如图，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OA，OB，若AB＝OA，AC＝3，则OA的长为6．【考点】垂径定理；等边三角形的判定与性质；勾股定理．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】6．【分析】由垂径定理得到AB＝2AC＝6，即可得到OA的长．【解答】解：∵OC⊥AB于点C，∴AB＝2AC＝2×3＝6，∴OA＝AB＝6，故答案为：6．【点评】本题考查垂径定理，关键是由垂径定理推出AB＝2AC．15．（3分）（2025•长沙）如图，五边形ABCDE中，∠B＝120°，∠C＝110°，∠D＝105°，则∠A+∠E＝205°．【考点】多边形内角与外角．【专题】多边形与平行四边形；运算能力．【答案】205°．【分析】先根据五边形的内角和定理求出五边形的内角和，从而得到∠A+∠B+∠C+∠D+∠E，再根据已知条件求出答案即可．【解答】解：∵五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝540°，∵∠B＝120°，∠C＝110°，∠D＝105°，∴∠A+∠E＝540°﹣120°﹣110°﹣105°＝205°，故答案为：205°．【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角，解题关键是熟练掌握多边形的内角和定理．16．（3分）（2025•长沙）衣服穿戴整不整齐，系好第一粒扣子很重要．青少年迈开人生第一步就要走正道，要严格遵守国家法律法规．同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则．例如：下面命题的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的．命题：如果a，b，c为实数，且满足a+b＝﹣c．那么2＝1．推理过程如下：第一步：根据上述命题条件有a+b＝﹣c；①第二步：根据七年级学过的整式运算法则有a＝2a﹣a，b＝2b﹣b，c＝2c﹣c；②第三步：把②代入①，可得（2a﹣a）+（2b﹣b）＝﹣（2c﹣c）；③第四步：把③两边利用移项、去括号法则、加法交换律等，变形可得2（a+b+c）＝（a+b+c）；④第五步：把④两边同时除以（a+b+c），得2＝1．⑤请你判断上述推理过程中，第⑤步是错误的，它违背了数学的基本法则．【考点】推理与论证；实数的运算；整式的混合运算；等式的性质；一次函数的应用；命题与定理．【专题】推理填空题．【答案】⑤．【分析】根据等式的性质，逐步分析即可．【解答】解：∵等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，或是等式左右两边同时乘方，等式仍然成立．∴对于等式2（a+b+c）＝（a+b+c），当a+b+c＝0时，该等式恒成立，当a+b+c≠0，两边同时除以（a+b+c），得2＝1，∵a+b＝﹣c，∴a+b+c＝0，∴上述推理过程中，第⑤步是错误的；故答案为：⑤．【点评】本题考查了等式的性质，熟记相关结论即可．二、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）（2025•长沙）计算：|22-1|+(15)-1【考点】实数的运算．【专题】实数；运算能力．【答案】22【分析】利用绝对值的性质，二次根式的性质，零指数幂，负整数指数幂计算后再算加减即可．【解答】解：原式=2=22【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．18．（6分）（2025•长沙）解不等式组：1+2x【考点】解一元一次不等式组．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】﹣7＜x≤2．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式①，得x＞﹣7，解不等式②，得x≤2，∴不等式组的解集为﹣7＜x≤2．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19．（6分）（2025•长沙）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，以点C为圆心，适当长为半径作弧，交CA于点M，交CB于点N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长度为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点D（1）求∠BCD的度数；（2）若BC＝2.5，求AD的长．【考点】作图—基本作图；角平分线的性质；等腰三角形的性质．【专题】作图题；等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力．【答案】（1）36°；（2）2.5．【分析】（1）根据等腰三角形的性质和角平分线定义即可解决问题；（2）根据三角形内角和定理证明∠A＝∠ACD，得AD＝CD．进而可以解决问题．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠B＝72°，∴∠ACB＝∠B＝72°，由作图可知：CD是∠ACB的角平分线，∴∠BCD（2）∵∠BDC＝180°﹣∠B﹣∠BCD＝72°，∠B＝72°，∴∠BDC＝∠B，∴CD＝CB，∵∠BDC＝∠A+∠ACD，∠ACD＝36°，∴∠A＝∠BDC﹣∠ACD＝72°﹣36°＝36°，∴∠A＝∠ACD，∴AD＝CD，∴AD＝BC＝2.5．【点评】本题考查作图﹣基本作图，角平分线定义，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．20．（8分）（2025•长沙）2025年5月18日，湖南省第三届大中小学阅读教育论坛在长沙举行．论坛聚焦美育与阅读融合．为探索美育与阅读融合的新路径，某校举行了以“美育与阅读融合”为主题的知识竞赛，竞赛成绩以等第形式呈现，随机抽取了部分参赛学生的成绩进行统计，得到如下两幅待完善的统计图表．（A代表优秀、B代表良好、C代表一般、D代表合格．）等第频数频率A20mB300.30Cn0.44D60.06根据图表中所给信息，解答下列问题：（1）本次调查随机抽取了100名学生的成绩；表中m＝0.2，n＝44；（2）在扇形统计图中，“A等”所对应的扇形的圆心角为72度；（3）若该校八年级一班和二班恰好各有2名学生的参赛成绩是“A等”，从这4名学生中随机抽取2名学生参加以“美育与阅读融合”为主题的校级阅读分享活动，请用列表法或树状图法求选出的2名学生恰好来自同一个班级的概率．【考点】列表法与树状图法；频数（率）分布表；扇形统计图．【专题】概率及其应用；数据分析观念．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由A等频数及频率求解即可得出被调查的总人数，再根据频率＝频数÷总数求解即可得出m、n的值；（2）用360°乘A等频率即可；（3）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【解答】解：（1）本次随机调查的学生人数为30÷0.3＝100（名），m＝20÷100＝0.2，n＝100×0.44＝44，故答案为：100，0.2，44；（2）在扇形统计图中，“A等”所对应的扇形的圆心角为360°×0.2＝72°，故答案为：72；（3）记“选出的2名学生恰好来自同一个班级”为事件A，设一班的2名学生为甲和乙，二班的2名学生为丙和丁，画出树状图如下：一共有12种等可能的结果，其中事件A包含4种可能的结果．∴P(【点评】本题考查频数分布表，频数、频率的计算，列表法和树状图法求等可能事件的概率，熟悉频数、频率的关系，掌握列表法和树状图法求等可能事件概率的方法是解题的关键．21．（8分）（2025•长沙）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且BE＝DF．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）连接EF，若BC＝12，BE＝5，求EF的长．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．【专题】多边形与平行四边形；矩形菱形正方形；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】（1）证明见解答过程；（2）237【分析】（1）根据正方形性质得AB＝CD，AB∥CD，再根据BE＝DF得AE＝CF，由此根据平行四边形的判定即可得出结论；（2）过点E作EH⊥CD于点H，证明四边形EBCH是矩形得EH＝BC＝12，CH＝BE＝5，进而得DH＝7，再根据BE＝DF＝5得HF＝2，然后在Rt△EFH中，由勾股定理即可求出EF的长．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，∵BE＝DF，∴AB﹣BE＝CD﹣DF，∴AE＝CF，又∵AB∥CD，∴四边形AECF是平行四边形；（2）解：过点E作EH⊥CD于点H，如图所示：∴∠EHC＝∠EHF＝90°，∵四边形ABCD是正方形，BC＝12，∴AB＝BC＝CD＝AD＝12，∠B＝∠BCD＝90°，∴∠EHC＝∠B＝∠BCD＝90°，∴四边形EBCH是矩形，∴EH＝BC＝12，CH＝BE＝5，∴DH＝CD﹣CH＝12﹣5＝7，∵BE＝DF＝5，∴HF＝DH﹣DF＝7﹣5＝2，在Rt△EFH中，由勾股定理得：EF=E【点评】此题主要考查了正方形的性质，平行四边形的判定，理解正方形的性质，熟练掌握平行四边形的判定，勾股定理是解决问题的关键．22．（9分）（2025•长沙）为落实科技兴农政策，某乡办食品企业应用新科技推动农产品由粗加工向精加工转变．根据市场需求，该食品企业将收购的农产品加工成A，B两种等级的农产品对外销售，已知销售6千克A等级农产品和4千克B等级农产品共收入112元，销售4千克A等级农产品和2千克B等级农产品共收入68元．（不考虑加工损耗）（1）求每千克A等级农产品和每千克B等级农产品的销售单价分别为多少元？（2）若该食品企业以每千克8元购进6000千克农产品，全部加工后对外销售，要求总利润不低于16000元，则至少需加工A等级农产品多少千克？【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力；应用意识．【答案】（1）每千克A等级农产品的销售单价为12元，每千克B等级农产品的销售单价为10元；（2）至少需加工A等级农产品2000千克．【分析】（1）设每千克A等级农产品的销售单价为x元，每千克B等级农产品的销售单价为y元，根据销售6千克A等级农产品和4千克B等级农产品共收入112元，销售4千克A等级农产品和2千克B等级农产品共收入68元，列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）设需加工A等级农产品m千克，则需加工B等级农产品（6000﹣m）千克，根据总利润不低于16000元，列出一元一次不等式，解不等式即可．【解答】解：（1）设每千克A等级农产品的销售单价为x元，每千克B等级农产品的销售单价为y元，由题意得：6x解得：x=12答：每千克A等级农产品的销售单价为12元，每千克B等级农产品的销售单价为10元；（2）设需加工A等级农产品m千克，则需加工B等级农产品（6000﹣m）千克，由题意得：（12﹣8）m+（10﹣8）（6000﹣m）≥16000，解得：m≥2000，答：至少需加工A等级农产品2000千克．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．23．（9分）（2025•长沙）如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D．经测得景点C位于景点B的北偏东60°方向上，位于景点A的北偏东30°方向上，景点B位于景点D的南偏西45°方向上．已知AB＝800m．（1）求∠ACB的度数；（2）求景点C与景点D之间的距离．（结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题；勾股定理的应用．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．【答案】（1）30°；（2）景点C与景点D之间的距离为（1200-4003）m【分析】（1）由题意可得∠CBE＝60°，∠CAF＝30°，∠BDM＝45°，BM⊥DM，BE∥AF∥DM，进而可以解决问题；（2）根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题．【解答】解：（1）如图，由题意点C位于景点B的北偏东60°方向上，位于景点A的北偏东30°方向上，景点B位于景点D的南偏西45°方向上，∴∠CBE＝60°，∠CAF＝30°，∠BDM＝45°，BM⊥DM，BE∥AF∥DM，∴∠BCM＝∠CBE＝60°，∠ACM＝∠CAF＝30°，∴∠ACB＝∠BCM﹣∠ACM＝60°﹣30°＝30°；（2）方法一：∵∠CBE＝60°，∴∠CBM＝90°﹣∠CBE＝90°﹣60°＝30°，由（1）得∠ACB＝30°，∴∠ABC＝∠ACB＝30°，又∵AB＝800m，∴AB＝AC＝800m，在Rt△ACM中，sin∠∴AM=AC⋅CM=AC⋅∴BM＝BA+AM＝800+400＝1200（m），∵∠BDM＝45°，BM⊥DM，∴DM＝BM＝1200m，∴DC=∴景点C与景点D之间的距离为(1200-4003方法二：∵∠CBE＝60°，∠CAF＝30°，BE∥AF∥DM，∴∠BCM＝∠CBE＝60°，∠ACM＝∠CAF＝30°．设AM＝xm，∴AC＝2xm，∴CM=3AM=3x（在Rt△BCM中，tan∠即3=解得x＝400，经检验得x＝400是原方程的解，∴BM＝BA+AM＝800+400＝1200（m），∵∠BDM＝45°，BM⊥DM，∴BM＝DM＝1200m，∴DC=∴景点C与景点D之间的距离为（1200-4003）m【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．24．（10分）（2025•长沙）我们约定：当x1，y1，x2，y2满足（x1+y2）2+（x2+y1）2＝0，且x1+y1≠0时，称点（x1，y1）与点（x2，y2）为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．请你根据该约定，解答下列问题：（1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“✓”，错误的打“×”）；①函数y=kx（k是非零常数）的图象上存在无数对“对偶点”；✓②函数y＝﹣2x+1一定不是“对偶函数”；✓③函数y＝x2+x﹣1的图象上至少存在两对“对偶点”．×（2）若关于x的一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2（b1，b2都是常数，且b1•b2＜0）均是“对偶函数”，求这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和；（3）若关于x的二次函数y＝2ax2﹣1是“对偶函数”，求实数a的取值范围．【考点】二次函数综合题．【专题】新定义；函数的综合应用；运算能力；应用意识．【答案】（1）①✓；②✓；③×；（2）S=1（3）a＞3【分析】（1）①根据“对偶点”判断即可；②设（n，﹣2n+1）和（2n﹣1，﹣n）是y＝﹣2x+1图象上一对“对偶点”，可得得n＝1，此时n+（﹣2n+1）＝0，不符合“对偶点”定义，即可判断；③设（t，t2+t﹣1）和（﹣t2﹣t+1，﹣t）是函数y＝x2+x﹣1的图象上的“对偶点”，故（﹣t2﹣t+1）2+（﹣t2﹣t+1）﹣1＝﹣t，解得t的值可知（1，1）和（﹣1，﹣1）是一对“对偶点”，判断函数y＝x2+x﹣1的图象上只有一对“对偶点”；（2）由题意可求出两个一次函数为y＝x+b1，y＝x+b2，画出图象由三角形面积公式可得答案；（3）由题意可得a≠0，且x1≠﹣y1时，可得2ax12-x1+12a-1＝0，当Δ＝0，即8a﹣3＝0时，可得x1+y1＝0，此时不符合题意，这种情况舍去；故必有【解答】解：（1）①设函数y=kx图象上任意一点（m，km），可知（-km，﹣m而（m，km）与（-km，﹣m）是“∴函数y=kx（k是非零常数）的图象上存在无数对“对偶点故答案为：✓；②设（n，﹣2n+1）和（2n﹣1，﹣n）是y＝﹣2x+1图象上一对“对偶点”，∴﹣n＝﹣2（2n﹣1）+1，解得n＝1，此时n+（﹣2n+1）＝0，不符合“对偶点”定义，∴函数y＝﹣2x+1一定不是“对偶函数”，故答案为：✓；③设（t，t2+t﹣1）和（﹣t2﹣t+1，﹣t）是函数y＝x2+x﹣1的图象上的“对偶点”，∴（﹣t2﹣t+1）2+（﹣t2﹣t+1）﹣1＝﹣t，变形整理得：（t+1）（t﹣1）（t2+2t﹣1）＝0，解得t1＝﹣1，t2＝1，t3=2-1，t4=-当t1＝﹣1或t2＝1时，（1，1）和（﹣1，﹣1）是一对“对偶点”，符合题意；当t3=2-1，t4=-2-1时，t+（t2+t﹣1）＝0，不符合∴函数y＝x2+x﹣1的图象上只有一对“对偶点”，故答案为：×；（2）由题意可得：x2＝﹣y1，y2＝﹣x1，则点（x1，y1）与点（﹣y1，﹣x1）在x1≠﹣y1是一对“对偶点”，∵y＝k1x+b1是“对偶函数”，∴其图象上必存在一对“对偶点”，有y1=k1x1同理可得k2＝1，∴两个一次函数为y＝x+b1，y＝x+b2，∵b1，b2都是常数，且b1•b2＜0，∴两个一次函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形是有公共直角顶点的分别位于二、四象限的两个等腰直角三角形，如图：∴其面积之和S=1（3）由题意可得a≠0，且x1≠﹣y1时，有y1两式相减可得x1∴y1代入①整理可得2ax12-x1+1∵二次函数y＝2ax2﹣1是“对偶函数”，∴关于x1的一元二次方程2ax12-x1+1而Δ＝1﹣8a（12a-1）＝8a当Δ＝0，即8a﹣3＝0时，a=38，由34x12-x1∴y1=34×（23）2∴x1+y1＝0，此时不符合题意，这种情况舍去；∴必有Δ＝﹣3+8a＞0，解得a＞【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解“对偶函数”，“对偶点”的意义．25．（10分）（2025•长沙）如图1，点O是以AB为直径的半圆的圆心，AD与BC均为该半圆的切线，C，D均为直径AB上方的动点，连接CD，且始终满足CD＝AD+BC．（1）求证：CD与该半圆相切；（2）当半径r=2时，令AD＝a，BC＝b，m=22+a+22+b（3）在（1）的条件下，如图2，当半径r＝1时，若点E为CD与该半圆的切点，AC与BD交于点G，连接EG并延长交AB于点F，连接AE，BE，令EG＝x，4AE⋅BE+1FG+CD＝y【考点】圆的综合题．【专题】几何综合题；压轴题．【答案】（1）证明见解析；（2）m＝n，理由见解析；（3）y=3【分析】（1）如图，连接CO，并延长交DA的延长线于点M，过点O作OE⊥CD于点E，根据AD与BC均为该半圆的切线，得出AD⊥AB，BC⊥AB，则AD∥BC，可得∠M＝∠OCB．证明△OAM≌△OBC，得出AM＝BC，根据CD＝AD+BC，得出CD＝AD+AM＝DM，则∠M＝∠OCE，可得∠OCB＝∠OCE，即CO平分∠BCD．又OE⊥CD，OB⊥CB，得出OE＝OB，即可证明CD与该半圆相切；（2）如图，过点C作CM⊥AD，交AD于点M，在△CDM中，由勾股定理可得CD2＝DM2+CM2，根据CD＝AD+BC＝a+b，DM＝|a﹣b|，CM＝2r，列等式得出r2＝AD•BC＝ab＝2，代入可得m=（3）如图，根据CD，AD，BC均为该半圆的切线，则DA＝DE，CB＝CE，证明△DAG∽△BCG，得出CGGA=CBAD=CEED，从而得出CGCA=CECD，证明△ACD∽△GCE，得出∠ADC＝∠GEC，得出EG∥AD∥BC，FG∥AD∥BC，得出FGBC=AFAB，FGAD=BFAB，则FGBC+FGAD=1，即可得1BC+1AD=1FG，同理可得1BC+1AD=1EG，得出【解答】（1）证明：如图，连接CO，并延长交DA的延长线于点M，过点O作OE⊥CD于点E，∵AD与BC均为该半圆的切线，∴AD⊥AB，BC⊥AB，∴AD∥BC，∴∠M＝∠OCB，∵O为AB的中点，∴OA＝OB，在△OAM与△OBC中，∠M∴△OAM≌△OBC（AAS），∴AM＝BC，∵CD＝AD+BC，∴CD＝AD+AM＝DM，∴∠M＝∠OCE，∴∠OCB＝∠OCE，即CO平分∠BCD，又∵OE⊥CD，OB⊥CB，∴OE＝OB，∴CD与该半圆相切；（2）解：m＝n．理由如下：如图，过点C作CM⊥AD，交AD于点M，在△CDM中，由勾股定理可得CD2＝DM2+CM2，∵CD＝AD+BC＝a+b，DM＝|a﹣b|，CM＝2r，∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4r2，∴r2＝AD•BC＝ab＝2，代入可得m=（3）解：∵CD，AD，BC均为该半圆的切线，∴DA＝DE，CB＝CE，∵AD⊥AB，BC⊥AB，∴AD∥BC，∴△DAG∽△BCG，∴CGGA∴CGCA∵∠ACD＝∠GCE，∴△ACD∽△GCE，∴∠ADC＝∠GEC．∴EG∥AD∥BC，FG∥AD∥BC，∴FGBC∴FGBC∴1BC同理可得1BC∴FG＝EG＝x，由（2）可知r2＝AD•BC＝DE•EC＝1，∴1DE又在Rt△ABE中，∵12∴AE•BE＝4x，∴4AE∴y=【点评】该题考查了圆综合题，涉及圆切线的性质和判定，切线长定理，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，角平分线定理，勾股定理，函数解析式等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．

考点卡片1．正数和负数1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号．2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．2．科学记数法—表示较大的数（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】（2）规律方法总结：①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．3．实数的运算（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．【规律方法】实数运算的“三个关键”1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．4．列代数式（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义．列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分．②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系．③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用．⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．【规律方法】列代数式应该注意的四个问题1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．5．合并同类项（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．（3）合并同类项时要注意以下三点：①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．6．幂的乘方与积的乘方（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n＝amn（m，n是正整数）注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab）n＝anbn（n是正整数）注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．7．整式的除法整式的除法：（1）单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式．关注：从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤：①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式．（2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．说明：多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式．多项式除以单项式的结果仍是一个多项式．8．整式的混合运算（1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．（2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．9．因式分解-提公因式法1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．2、具体方法：（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．4、提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．10．二次根式的加减法（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．（2）步骤：①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．③合并被开方数相同的二次根式．（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．11．等式的性质（1）等式的性质性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．（2）利用等式的性质解方程利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x＝a的形式转化．应用时要注意把握两关：①怎样变形；②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的．12．二元一次方程组的应用（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．（4）求解．（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．（二）设元的方法：直接设元与间接设元．当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．13．解分式方程（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程时，一定要检验．14．一元一次不等式的应用（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．②根据题中的不等关系列出不等式．③解不等式，求出解集．④写出符合题意的解．15．解一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．16．一次函数的应用1、分段函数问题分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．2、函数的多变量问题解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．3、概括整合（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．17．二次函数综合题（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．18．平行线的性质1、平行线性质定理定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．2、两条平行线之间的距离处处相等．19．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．20．角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE21．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．22．等边三角形的判定与性质（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．23．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．24．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．25．多边形内角与外角（1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3且n为整数）此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．（2）多边形的外角和等于360°．①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°．26．平行四边形的判定与性质平行四边形的判定与性质的作用平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．27．正方形的性质（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．（2）正方形的性质①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．28．垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．29．圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．30．圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直