江苏省扬州市高邮市2025-2026学年高二上学期期中学情调研测试数学试卷（含答案）

江苏省扬州市高邮市2025-2026学年高二上学期期中学情调研测试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知复数，则的实部是（

）A． B． C．1 D．22．已知的顶点为，，，则边上的中线长为（

）A． B． C． D．63．已知直线：在轴上的截距是在轴上的截距的3倍，则实数的值是（

）A．6 B． C．或1 D．6或14．已知在圆：外，则实数的取值范围为（

）A． B． C．或 D．5．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到：椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆的中心为原点，焦点，均在轴上，其面积为，若椭圆上一点满足，则椭圆的标准方程为（

）A． B． C． D．6．已知圆：与圆：相交于，两点，则弦的长度为（

）A． B． C． D．7．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，是双曲线的一个顶点.以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，且，则双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．8．已知圆：的切线与圆：交于，两点，则面积的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知，，，且四边形是矩形，则（

）A．直线的斜率为B．直线的方程为C．四边形的面积为6D．以为直径的圆的方程为10．已知左、右焦点分别为，的椭圆上有一动点（异于长轴端点，），则下列说法正确的是（

）A．的取值范围为B．射线与椭圆交于点，则的最小值为C．椭圆上存在4个不同的点，使得为直角三角形D．直线，的斜率之积为11．高邮融合历史与现代，将“好事成双”提炼为文旅品牌.邮城一位数学老师设计了“双核”曲线，其方程为.对于曲线，下列说法正确的是（

）A．当且仅当时，直线与曲线有唯一公共点B．曲线上存在唯一的点，使得点到与到的距离之差为8C．曲线所围成的封闭曲线面积小于D．若曲线上恰好存在4个不同点到直线的距离为1，则实数的取值范围为三、填空题12．与双曲线：有相同焦点，且过点的双曲线的标准方程为.13．复数满足，则的最大值为.14．椭圆：的左、右焦点分别为，，是椭圆上一点，且，若内切圆的半径，则椭圆的离心率为.四、解答题15．已知复数.(1)若是关于的方程的一个根，求的值；(2)若复数满足，且是纯虚数，求复数.16．已知三条直线：，：，：，且与间的距离是.(1)求的值；(2)求过直线与的交点，且垂直于的直线方程；(3)求与平行且到，距离相等的直线的方程.17．在人工智能实验室中，一个追踪机器人从点出发，发现一个目标机器人在点处正欲逃跑.追踪机器人最大速度是目标机器人最大速度的2倍.假设两个机器人均按直线方向以最大速度移动.

(1)若追踪机器人在点处成功拦截目标机器人，求点的轨迹方程；(2)问：无论目标机器人沿何方向逃跑，追踪机器人是否总能在安全区（的区域）内成功拦截?并说明理由.18．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，射线与椭圆交于点，的周长为.(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线过点且与椭圆只有一个公共点，求直线的方程；(3)过点作斜率为，的两条直线分别与椭圆交于，两点，且，证明：直线过定点.19．已知双曲线：，过右焦点作直线交双曲线的右支于，两点，交两条渐近线于，两点，点，在第一象限，为坐标原点.(1)证明：点到两条渐近线的距离之积为定值；(2)求面积的最小值；(3)记，，的面积分别为，，，求的取值范围.

参考答案题号12345678910答案BCCADBBAABDAC题号11答案ABD12．13．/14．15．（1）由是关于的方程的一个根，所以，即有，化简得，则；（2）设，所以，又，且是纯虚数，所以，解得或，所以或.16．（1）因为：，：，所以与间的距离为，即，因为，所以，解得；（2）由直线与的方程联立方程组，解得.即两直线的交点坐标为，设所求直线方程为，代入得解得，故所求的直线方程为，即.（3）直线：，：，由题可设所求直线方程为，则有，所以，所以，解得，故所求的直线方程为，即.17．（1）设追踪机器人在点处拦截目标机器人，因为追踪机器人与目标机器人速度之比为，所以相遇时，所以，即两机器人相遇点的轨迹方程为；（2）点的轨迹圆的圆心为，半径，因为圆心到的距离，所以点的轨迹圆与相交，则相遇点会出现在安全区外，故追踪机器人不会总能在安全区内成功拦截.18．（1）由的周长为，得，解得，由椭圆过点，得，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）由直线与椭圆只有一个公共点，且点在椭圆上，得该直线的斜率存在，设直线的方程为，即，由消去得，由，解得，所以直线的方程为：.（3）当直线斜率存在时，如图，设直线方程为，，

由消去得，，即，则，而，由，得，解得，则直线过点；当直线斜率不存在时，，由，得，解得，直线也过点，所以直线过定点.19．（1）由题意知,双曲线的渐近