专题08 数列（5大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关）-备战2024年高考数学考试易错题（新高考专用）（解析版）

专题08数列

易错点一：混淆数列与函数的区别（数列求最值问题）

1、等差数列的定义

（1）文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数；

*

（2）符号语言：an1and(nN，d为常数)．

2、等差中项：若三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a，b的等差中项．

3、通项公式与前n项和公式

（1）通项公式：ana1(n1)d．

n(n1)n(aa)

（2）前n项和公式：Snad1n．

n122

（3）等差数列与函数的关系

①通项公式：当公差d0时，等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d是关于n的一次函数，

且一次项系数为公差d.若公差d0，则为递增数列，若公差d0，则为递减数列．

n(n1)dd

②前n项和：当公差d0时，Snadn2(a)n是关于n的二次函数且常数项为0.

n12212

已知数列an是等差数列，Sn是其前n项和．

1、等差数列通项公式的性质：

*

（1）通项公式的推广：anam(nm)d(n,mN)．

*

（2）若klmn(k,l,m,nN)，则akalaman．

（3）若an的公差为d，则a2n也是等差数列，公差为2d．

（4）若bn是等差数列，则panqbn也是等差数列．

2、等差数列前n项和的性质

（1）S2nn(a1a2n)n(anan1)；

（2）S2n1(2n1)an；

Sa

2n1n

（3）两个等差数列an，bn的前n项和Sn，Tn之间的关系为.

T2n1bn

（4）数列Sm，S2mSm，S3mS2m，…构成等差数列．

3、关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质

S奇an

（1）若项数为2n，则S偶S奇nd，；

S偶an1

S奇n

（2）若项数为2n1，则S偶(n1)an，S奇nan，S奇S偶an，.

S偶n1

最值问题：解决此类问题有两种思路：

一是利用等差数列的前n项和公式，可用配方法求最值，也可用顶点坐标法求最值；

二是依据等差数列的通项公式ana1n1ddna1d，当d0时，数列一定为递增数列，当d0时，

数列一定为递减数列．所以当a10，且d0时，无穷等差数列的前n项和有最大值，其最大值是所有非

负项的和；当a10，且d0时，无穷等差数列的前n项和有最小值，其最小值是所有非正项的和，求解

非负项是哪一项时，只要令an0即可

易错提醒：数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时有时可以利用函数的性质，但是在利用函数单调性

求解数列问题，要注意n的取值不是连续实数，忽略这一点很容易出错.

例．已知等差数列an的前n项和为Sn，且a41，S510，求Sn取得最大值时对应的n值.

aa2a

【详解】在等差数列a中，S1553510，则a2，而a1，

n52234

于是公差da4a31，因此ana3(n3)dn5，

由an0，得n5，显然数列an是递减等差数列，前5项都是非负数，从第6项起为负数，所以Sn的最

aa

大值为SS14410，此时n4或n5.

452

变式1．数列an是等差数列，a150，d0.6．

(1)从第几项开始有an0？

(2)求此数列的前n项和的最大值．

【详解】（1）因为a150，d0.6，所以an500.6n10.6n50.6．

50.6*

令0.6n50.60，则n84.3．由于nN，故当n85时，an0，

0.6

即从第85项开始各项均小于0；

22

nn12503503

（2）方法1：Sn50n0.60.3n50.3n0.3n．

26120

503

当n取最接近于的自然数，即n84时，S取到最大值S2108.4．

6n84

方法2：因为d0.60，a1500，由（1），知a840，a850，

所以S1S2S84，且S84S85S86．

8483

所以SS50840.62108.4．

nmax842

变式2．记Sn为等差数列an的前n项和，已知a17，S315．

(1)求an的通项公式；

(2)求Sn的最小值．

【详解】（1）设公差为d，a17，

3(31)

∴S3(7)d213d15，解得d2，

32

∴an=a1n1d2n9．

（2）∵a17，d2，

n(n1)2

∴Snadn28n＝n416，

n12

∴当n4时，Sn最小，最小值为16．

变式3．等差数列an，S1111，公差d3．

(1)求通项公式和前n项和公式；

(2)当n取何值时，前n项和最大，最大值是多少．

11a1a11112a6

【详解】（1）由Sn为等差数列an的前n项和，则S11a11，解得a61，

11226

ana6n6d1n63173n，则a117314，

naan14173n331

S1nn2n.

n2222

（2）由an173n，则数列an为递减数列，

5142

由a610，a520，则当n5时，Sn取得最大值，即最大值为S40.

52

1．已知数列an是等差数列，若a9a120，a10a110，且数列an的前n项和Sn，有最大值，当Sn0

时，n的最大值为（）

A．20B．17C．19D．21

【答案】C

，，

【分析】可判断数列{an}是递减的等差数列，利用前n项和公式和等差数列的性质可得S190S200进而

可得n的最大值．

【详解】因为a10a110，所以a10和a11异号，

又等差数列{an}的前n项和Sn有最大值，

所以数列{an}是递减的等差数列，

所以a100，a110，

aa

所以S1191919a0，

19210

aa

S1202010(aa)10(aa)0，

202120912

所以当Sn0时，n的最大值为19．

故选：C．

2．已知等差数列an的前n项和为Sn，7a55a90，且a9a5，则Sn取得最小值时n的值为（）

A．5B．6C．7D．8

【答案】B

【分析】由等差数列an的通项公式，求得a60，a70，进而得到当当1n6,nN时，an0，当

n7,nN时，an0，即可求解.

【详解】由等差数列an的通项公式7a55a90，得

17a17

7a4d5a8d0,12a68d0,ad,1，又aa，

11113d395

172171

所以a0,d0,ad0,a5dd0a5da0,adda0,

11313161337

则等差数列an中满足a60，a70，且d0，

数列an为递增数列，且当1n6,nN时，an0，当n7,nN时，an0，

所以当Sn取得最小值时，n的值为6.

故选：B.

3．已知数列an中，a125,4an14an7,若其前n项和为Sn，则Sn的最大值为（）

765705

A．15B．750C．D．

42

【答案】C

7

【分析】由题意可得数列a是以首项为25，公差d的等差数列，结合等差数列的通项公式以及前n

n4

项和的性质分析运算.

7

【详解】由4a4a7，可得aa，

n1nn1n4

7

所以数列a是以首项为25，公差d的等差数列，且a为单调递减数列，

n4n

77107

其通项公式为an25n1n．

444

71077100

当an0且an0时，Sn最大，

n44n144

107100

解得n且n，则n15，

77

即数列{an}的前15项均为非负值，第16项开始为负值，

15147765

故S15最大，S151525.

244

故选：C．

4．若an是等差数列，首项a10，a2021a20220，a2021a20220，则使前n项和Sn0成立的最大自然数

n是（）

A．2021B．2022C．4042D．4043

【答案】C

【分析】根据题意得a20210，a20220，再结合S40434043a20220，S40422021(a2021a2022)0，求解即可．

4043(a1a4043)

【详解】根据a0,aa0得a0，a20220，所以S40434043a20220，

12021202220212

4042(aa)

因为aa0，所以S140422021(aa)0，

202120224042220212022

所以使前n项和Sn0成立的最大自然数n是4042．

故选：C

5．设an是等差数列，Sn是其前n项和，且S5S6，S6S7S8，则下列结论正确的是（）.

A．d0B．a70

C．S9S5D．S6与S7均为Sn的最大值

【答案】BD

【分析】对于B：根据题意结合前n项和分析可得a60,a70,a80；对于A：根据等差数列的定义分析

判断；对于C：根据等差数列的性质分析可得a6a7a8a90，进而可得结果；对于D：根据等差数列

的正负性结合前n项和的性质分析判断.

【详解】因为S5S6，S6S7S8，

则a6S6S50,a7S7S60,a8S8S70，故B正确；

设等差数列an的公差为d，则da7a60，故A错误；

可知数列an为递减数列，可得a1a2a70a8，

可得a6a7a8a92a7a82a80，

所以S9S5a6a7a8a9S5，故C错误；

因为a6为最后一项正数，根据加法的性质可知：S6为Sn的最大值，

又因为S6S7，所以S6与S7均为Sn的最大值，故D正确；

故选：BD.

6．设等差数列an的前n项和为Sn，公差为d．已知a412，S140，S150，则下列结论正确的是（）

24

A．a0B．d3

77

Sn

C．S84D．设的前n项和为Tn，则T0时，n的最大值为27

7nn

【答案】BC

【分析】由已知求得a80，a70，解公差为d的取值范围，利用等差数列的通项公式求和公式及其性质

逐个选项判断正误即可.

14a1a1415a1a15

【详解】∵S140，S150，∴7aa0，15a0，

27828

∴a7a80，a80，∴a70，A选项错误；

又∵a412，即a1123d，

a7a8a43da44d247d024

∴，解得d3，B选项正确；

a8a44d124d07

7aa

∵S177a84，故C选项正确；

724

n(n1)Sn1

因为等差数列a的前n项和为S，所以Snad，即nad，

nnn12n12

SnSn1n1n11d

由a1da1d，

nn1222

SSn1

∴数列n为等差数列，设bnad，

nnn12

因为当n14时，Sn0，当n15时，Sn0，

所以当n14时，bn0，当n15时，bn0，

b1b27b1b282715

所以T272727b140，T2828142a1d1424d，

2222

24

因为d3，所以T可能为正数，也可能为负数，所以D选项不正确．

728

故选：BC．

2*

7．已知数列an的前n项和Sn满足Snan11nba,bR,nN，则下列说法正确的是（）

A．b0是an为等差数列的充要条件

B．an可能为等比数列

C．若a0，bR，则an为递增数列

D．若a1，则Sn中，S5，S6最大

【答案】ABD

【分析】计算a1ab11，当n2时，an2an11a，验证知A正确，当a=b=0时是等比数列，B

正确，举反例知C错误，计算a60得到D正确，得到答案.

2

【详解】Snan11nb，a1S1ab11；

22

当n2时，anSnSn1an11nban111n1b2an11a，

当b0时，a1a11，满足通项公式an2an11a，数列为等差数列；

当an为等差数列时，a12a11a11ab，b0，故A正确；

当a=b=0时，an11，是等比数列，B正确；

a23a11，取b2a，则a2a1，C错误；

当a1时，从第二项开始，数列递减，且an2n12，故a60，故S5，S6最大，D正确.

故选：ABD

2

8．已知数列an的前n项和Snn9nnN，则下列结论正确的是（）

A．an是等差数列B．a4a60

81

C．aaD．S有最大值

910n4

【答案】AB

【分析】由an与Sn的关系求出数列an的通项，从而可判断AB，根据数列性质可判断C，根据前n项和Sn

的函数性质可判断D.

【详解】当n1时，a1S18，

当n2时，

22

anSnSn1n9n[(n1)9(n1)]102n，符合a18，

故an102n,(nN)，

所以an1102(n1)82n，an1an2，

所以数列an是等差数列，首项为a18，公差d2，A正确；

a4a62a50，B正确；

因为公差d20，所以数列an是递减数列，所以a9a10，C错误；

981

Sn29n(n)2，

n24

易知当n4或5时，Sn有最大值S4S520，D错误.

故选：AB

2

9．数列an的前n项和为Sn，已知Snn7n，则下列说法正确的是（）

A．an是递增数列B．a1014

C．当n4时，an0D．当n3或4时，Sn取得最大值

【答案】CD

【分析】根据Sn表达式及n2时，anSnSn1的关系，算出数列an通项公式，即可判断A、B、C选项

2

的正误.Snn7n的最值可视为定义域为正整数的二次函数来求得.

【详解】当n2时，anSnSn12n8，又a1S16218，所以an2n8，则an是递减数

列，故A错误；

a1012，故B错误；

当n4时，an82n0，故C正确；

7

因为Sn27n的对称轴为n，开口向下，而n是正整数，且n3或4距离对称轴一样远，所以当n3

n2

或4时，Sn取得最大值，故D正确.

故选：CD.

10．等比数列an中a316，a62，则数列log2an的前n项和的最大值为．

【答案】21

【分析】先求得数列an的通项公式，由此求得数列log2an的通项公式，可知数列log2an是等差数列，

然后根据通项公式的特征求得前n项和的最大值．

【详解】由于等比数列an中，a316，a62，

aq2161

所以1，解得，

5a164,q

a1q22

n1

所以17n，所以，

an642log2an7n

2

所以数列log2an是首项为6，公差为1的等差数列，

当1≤n≤6时，log2an0；当n＝7时，log2an0；当n＞7时，log2an0，

则当n＝6或n＝7时，数列log2an的前n项和取得最大值，最大值为6＋5＋4＋3＋2＋1＝21．

故答案为：21．

11．记等差数列an的前n项和为Sn，若a10，a2a20230，则当Sn取得最大值时，n＝．

【答案】1012

【分析】由a2a20230求出a1和d的关系，结合等差数列前n项和公式即可求解.

2023

【详解】设等差数列a的公差为d，由aa0可得：ad，

n2202312

n(n1)2023ndn(n1)d

所以Snadd(n22024n)，

n12222

因为a10，所以d0，则Sn是关于n的二次函数，开口向下，对称轴n1012，

由二次函数的图象和性质可得：当n1012时，Sn取最大值，

故答案为：1012.

易错点二：忽视两个“中项”的区别（等比数列利用中项求其它）

1、等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个

数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。

an

数学语言表达式：q(n2，q为非零常数)．

an1

2、等比中项性质：如果三个数a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，其中Gab.

注意：同号的两个数才有等比中项。

3、通项公式及前n项和公式

（）通项公式：若等比数列的首项为，公比是，则其通项公式为n1；

1ana1qana1q

通项公式的推广：nm

anamq.

a(1qn)aaq

（2）等比数列的前n项和公式：当q1时，Sna；当q1时，S11n.

n1n1q1q

已知an是等比数列，Sn是数列an的前n项和．（等比中项）

1、等比数列的基本性质

m

（1）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，akm，ak2m，…仍是等比数列，公比为q.

12an

（2）若an，bn（项数相同）是等比数列，则an(0)，，an，anbn，仍是等比数

anbn

列．

*

（3）若klmn(k,l,m,nN)，则有akalaman

口诀：角标和相等，项的积也相等推广：2且

anankank(n,kN,nk1)

（4）若an是等比数列，且an0，则logaan（a0且a1）是以logaa1为首项，logaq为公差的等

差数列。

TT2

T,2k,3k,(kN*)k

（5）若an是等比数列，Tka1a2a3ak，则k构成公比为q的等比数列。

TkT2k

易错提醒：若a,b,c成等比数列，则b为a和c的等比中项。只有同号的两数才有等比中项，“b2ac”

仅是“b为a和c的等比中项”的必要不充分条件，在解题时务必要注意此点。

例．已知各项均为正数的等比数列an中，a2a42a3a5a4a625，则a3a5等于（）

A．5B．10C．15D．20

22

【详解】解：由等比数列的性质可得a2a4＝a3，a4a6＝a5，

222

∴a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a3＋2a3a5＋a5＝（a3＋a5）＝25，

又等比数列an各项均为正数，∴a3＋a5＝5，选项A正确

aaa

139

变式1．已知等差数列an的公差d0，且a1，a3，a9成等比数列，则()

a2a4a10

13101115

A．B．C．D．

16131316

22

【详解】由题意可知，a3a1a9得a12da1a18d，解得d0或a1d，

因为d0，故a1d，

aaa3a10d13d13

所以1391.

a2a4a103a113d16d16

故选：A.

变式2．已知a,b,cR，如果1，a，b，c，9成等比数列，那么（）

A．b3，ac9B．b3，ac9

C．b3，ac9D．b3，ac9

2

【详解】因为b是1和9的等比中项，所以b199，设公比为q，则bq2，

所以b与首项-1同号，所以b3．又a，c必同号，所以acb29．

故选：B

a4

变式3．已知等比数列an中，a2a65，a3a54，则tan（）

3

3

A．3B．3C．3或3D．

2

2

【详解】解：由等比数列性质可知a2a6a3a54a4，所以a42或a42，

a42

但a2a60，可知a40，所以a42，则tantan3，

33

故选：B

S3S2

1．已知等差数列an的前n项和为Sn，公差不为0，若满足a1、a3、a4成等比数列，则的值为（）

S5S3

1

A．2B．3C．D．不存在

5

【答案】A

SSa

323

【分析】根据题意，利用等比中项公式列出方程求得a14d，结合，即可求解.

S5S3a4a5

【详解】由等差数列an的前n项和为Sn，公差不为0，若满足a1，a3，a4成等比数列，

22

可得a3a1a4，即(a12d)a1(a13d)，整理得(a14d)d0，

因为d0，所以a14d，

S3S2a3a12d2d

又由2.

S5S3a4a52a17dd

故选：A.

2．已知公差不为零的等差数列an中，a3a514，且a1，a2，a5成等比数列，则数列an的前9项的和

为（）

A．1B．2C．81D．80

【答案】C

2

【分析】由题知a47，a2a1a5，进而根据等差数列通项公式解得d2，再求和即可.

【详解】因为a3a514，所以2a414，解得a47.

2

又a1，a2，a5成等比数列，所以a2a1a5.设数列an的公差为d，

222

则a42da43da4d，即72d73d7d，整理得d2d0.

因为d0，所以d2.

9aa9117

所以S1981.

922

故选:C.

3．已知a526，c526，则使得a,b,c成等比数列的充要条件的b值为（）

A．1B．1C．5D．26

【答案】B

【分析】根据等比中项的性质求解即可.

【详解】若a,b,c成等比数列，则b2ac，即bac(526)(526)1，

当b1时，满足b2ac，a,b,c成等比数列，

故使得a,b,c成等比数列的充要条件的b值为1.

故选：B

4．已知等差数列an的公差不为0，a11且a2,a4,a8成等比数列，则错误的是（）

a1a9a4a5Sn1n1

A．2B．C．D．Snan

a2a3a3a4n12

【答案】C

【分析】设出公差，根据题干条件列出方程，求出公差，求出通项公式ann，再利用通项公式和前n项和

公式对四个选项一一计算，进行判断.

【详解】设等差数列an的公差为d（d0）.

2

因为a11且a2,a4,a8成等比数列，所以13d1d17d.

解得：d1，所以ana1n1d1n11n.

a1a919

对于A：2.故A正确；

a2a323

aa5451aa

对于B：因为40，所以45.故B正确；

a3a43412a3a4

Sn1n2n2n1

对于C：n1.故C错误；

n12n122

nn1nn1nn1

对于D：因为San，所以当n1时，Sa0，即Snan.故D正确.

nn22nn2

故选：C

1

5．正项等比数列a中，4a是a与2a的等差中项，若a，则aa（）

n3542235

A．4B．8C．32D．64

【答案】D

1

【分析】依题意4a是a与2a的等差中项，可求出公比q，进而由a求出a，根据等比中项求出aa

35422435

的值.

【详解】由题意可知，4a3是a5与2a4的等差中项，

2

所以a52a48a3，即a3q2a3q8a3，

所以q22q80，q4或q2（舍），

2

所以a4a2q8，

2

a3a5a464，

故选：D.

x2

6．已知实数4，m，9构成一个等比数列，则圆锥曲线＋y2＝1的离心率为（）

m

30305

A．B．7C．或7D．或7

666

【答案】C

【分析】根据等比中项可求m6，然后代入曲线方程分别得到曲线为椭圆和双曲线，根据离心率的公式

即可求解.

【详解】实数4，m，9构成一个等比数列，可得m6，

x2530

当m6时，圆锥曲线y21为椭圆,则其离心率为：．

m66

x27

当m6时，圆锥曲线y21为双曲线,其离心率为：7．

m1

故选：C．

p

7．数列an为等比数列，a11，a54，命题p:a32，命题q:a3是a1、a5的等比中项，则是q的（）

条件

A．充要B．充分不必要C．必要不充分D．既不充分也不必要

【答案】A

【分析】根据等比中项的定义结合等比数列的定义判断可得出结论.

aa

35

【详解】因为数列an为等比数列，且a11，a54，若a32，则，

a1a3

则a3是a1、a5的等比中项，即pq；

2

若a3是a1、a5的等比中项，设an的公比为m，则a3a1m0，

2

因为a3a1a54，故a32，即pq.

因此，p是q的充要条件.

故选：A.

*

8．在数列an中，a12，an2an1nN，则a1a3a2a4a10a12（）．

44

A．4101B．4111

33

1110

16141

C．1D．1

3434

【答案】D

21

【分析】由等比数列定义可知数列an为等比数列，结合等比数列性质可知数列an是以4为首项，为公

4

比的等比数列，结合等比数列求和公式可求得结果.

*1

【详解】a12，an2an1nN，即an1an，

2

1

数列a是以2为首项，为公比的等比数列，

n2

2222

a1a3a2，a2a4a3，a3a5a4，…，a10a12a11，

21

又数列an是以4为首项，为公比的等比数列，

4

1

4111

222224

aaaaaaaaaaa4

132410121231111

1

4

10

16144141

141

1110.

3433434

故选：D.

9．已知{an}是等差数列，公差d0，前n项和为Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则()

A．a10，S40B．a10，S40C．a10，S40D．a10，S40

【答案】A

5

【分析】首先由a，a，a成等比数列可得a2aa，然后计算得出ad，再由d0可得a0，最

348438131

后由等差数列的前n项和公式即可得出S4的表达式，进而得出所求的答案．

2

【详解】因为a3，a4，a8成等比数列，所以a4a3a8，

5

即(a3d)2(a2d)(a7d)，即ad，

11113

因为d0，所以a10；

4352

而S4ad4a6d4(d)6dd0，

412133

故选：A．

10．数1与4的等差中项，等比中项分别是（）

5555

A．，2B．，2C．，2D．，2

2222

【答案】B

【分析】利用等差、等比中项的性质求对应中项即可.

5

【详解】若等差中项为m，则2m145，可得m；

2

若等比中项为n，则n2144，可得n=±2；

故选：B

11．已知数列{an}是等差数列，a12，其中公差d0，若a5是a3和a8的等比中项，则S18（）

A．398B．388

C．189D．199

【答案】C

【分析】数列{an}是等差数列，a12，其中公差d0，由a5是a3和a8的等比中项，可得

(24d)2(22d)(27d)，解得d即可得出．

【详解】解：数列{an}是等差数列，a12，其中公差d0，a5是a3和a8的等比中项，