第09讲函数的对称性和周期性的综合应用(教师版)

第09讲函数的对称性和周期性的综合应用【基础回顾】知识点1．奇函数、偶函数的对称性（1）奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称．（2）若f(x＋a)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为x＝a；（3）若f(x＋a)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为(a,0)．知识点2．任意函数的对称若函数y＝f(x)满足f(－x)＝f(2a＋x)，则函数的图象关于直线x＝a对称；若函数y＝f(x)满足f(2a－x)+f(x)=2b，则函数的图象关于点(a,b)对称．知识点3．两个函数图象的对称(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称；(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称；(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称．(4)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a,b)对称．知识点4.函数的周期性(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．(3)常见周期：f(x＋A)＝f(x)，T=2|A|f(x＋A)+f(x)=B，T=2|A|f(x＋A)f(x)=B，T=2|A|f(x＋1)=f(x)+f(x+2)，则T=6知识点5.函数的周期性和对称性的关系题型一函数的对称性及应用一．对称性的表述1.轴对称：2.中心对称：特别的对称：二．对称性的证明：1.利用对称性建立等式：2.对称变换法：【例题精讲】答案：故答案为：6答案：故答案为：答案：8090故答案为：8090.答案：答案：D同理可得故选：D.题型二函数的周期性的应用【例题精讲】1．若函数f（x）满足f（x+1）＝﹣f（x）．且当0＜x≤2，f(x)=log12A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1【答案】C【解答】解：因为f（x+1）＝﹣f（x），所以f（x+1）+f（x）＝0，所以f（x+2）+f（x+1）＝0，所以f（x+2）＝f（x），所以f（x）的一个周期为2，所以f（4）＝f（2），又0＜x≤2，f(x)=log所以f(2)=log12故选：C．2．已知偶函数f（x）的定义域为R，f（x）+f（3﹣x）＝0，且当x∈[0，32]时，f(x)=A．−94 B．﹣1 C．1 【答案】D【解答】解：已知偶函数f（x）的定义域为R，f（x）+f（3﹣x）＝0，则f（3﹣x）＝﹣f（x）＝﹣f（﹣x），所以f（3+x）＝﹣f（x），所以f（6+x）＝﹣f（3+x）＝f（x），所以f（x）是周期为6的周期函数，当x∈[0，32]所以f（2025）＝f（337×6+3）＝f（3）＝﹣f（0）=9故选：D．3．设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，当2≤x≤3时，f（x）＝5﹣2x，则f(19A．−12 B．−14 C．【答案】A【解答】解：根据题意，当2≤x≤3时，f（x）＝5﹣2x，又由函数f（x）是定义在R上且周期为2的函数，故f(19故选：A．（多选）4．已知函数f（x）定义域为R，其导函数为g（x），且f（2﹣x）+f（x）＝2，g（3﹣2x）+g（1+2x）＝1，则下列说法正确的是（）A．f（x）一个对称中心为（1，1） B．g（x）的一个周期为2 C．g（x）的图象关于x＝5对称 D．n=1【答案】ACD【解答】解：对于A，由f（x）满足f（2﹣x）+f（x）＝2，则f（x）关于（1，1）中心对称，故A正确；对于B，由f（2﹣x）+f（x）＝2，两边求导可得﹣f′（2﹣x）+f′（x）＝0，即g（x）＝g（2﹣x），所以g（x）的图象关于x＝1对称，又g（3﹣2x）+g（1+2x）＝1，即为g（3﹣x）+g（1+x）＝1，用x+1替换其中的x，得g（2﹣x）+g（x+2）＝1，又g（x）＝g（2﹣x），所以g（x）+g（x+2）＝1，用x+2替换其中的x，所以g（x+4）+g（x+2）＝1，所以g（x+4）＝g（x），即g（x）的一个周期为4，故B错误；对于C，因为g（x）的图象关于x＝1对称，周期为4，所以g（x）的图象关于x＝5对称，故C正确；对于D，将x＝0代入g（3﹣2x）+g（1+2x）＝1，可得g（3）+g（1）＝1，将x＝0代入g（x）＝g（2﹣x），得g（4）＝g（0）＝g（2），又g（x）+g（x+2）＝1，所以g(2)=g(4)=1所以g（2）+g（4）＝1，所以g（1）+g（2）+g（3）+g（4）＝2，又2031＝4×507+3，所以n=12031g(n)=507[g（1）+g（2）+g（3）+g（4）]+g（1）+g＝507×2+g（1）+g（2）+g（3）=1014+1+1=20312，故故选：ACD．（多选）5．已知非常数函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（0）＝0，f（2x﹣1）＝f（x），则（）A．f（1）＝0 B．2是f（x）的一个周期 C．当且仅当x∈Z时，f（x）＝0 D．f（x）不存在最小正周期【答案】ABD【解答】解：对于A，由f（2x﹣1）＝f（x），令x＝0，得f（﹣1）＝f（0），又f（x）是定义在R上的偶函数，且f（0）＝0，则f（1）＝f（﹣1）＝f（0）＝0，故A正确；对于B，由f（2x﹣1）＝f（x），令2x＝t，有f(t−1)=f(t由f（2x﹣1）＝f（x），令2x＝﹣t，有f(−t−1)=f(−t又f（x）是定义在R上的偶函数，f(t则有f（t﹣1）＝f（﹣t﹣1），所以函数f（x）的图象关于直线x＝﹣1对称，即有f（﹣x）＝f（x﹣2），又f（x）是定义在R上的偶函数，则f（﹣x）＝f（x）＝f（x﹣2），故f（x+2）＝f（x），所以2是f（x）的一个周期，故B正确；对于C，由f（2x﹣1）＝f（x），令x=12，得f(0)=f(1对于D，若T是f（x）的一个周期，则f（x+T）＝f（x），又因为f（x）＝f（2x﹣1），所以f（x+T）=f(x)=f(2x−1)=f(2x−1+T)=f[2(x+T则T2也是f（x结合B选项可知，2，1，12，14所以f（x）不存在最小正周期，故D正确．故选：ABD．题型三对称性与奇偶性、周期性的综合应用知识点1.对称性与周期性的关系：知识点2.奇偶性与对称性的结合：【例题精讲】1．已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（x）＝f（2﹣x），若f（1）＝1，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+…+f（2025）＝（）A．1 B．0 C．1013 D．2025【答案】A【解答】解：因为f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，且满足f（x）＝f（2﹣x），所以f（x）＝f（2﹣x）＝﹣f（x+2），所以f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数的最小正周期为4，又f（1）＝1，f（0）＝0，所以f（2）＝f（2﹣2）＝f（0）＝0，f（4）＝f（0）＝0，f（3）＝f（2﹣（﹣1））＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣1，所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝0，所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+…+f（2025）＝506[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（2025）＝f（2025）＝f（506×4+1）＝f（1）＝1．故选：A．2．设定义在R上的奇函数f（x）的导函数为f′（x），且对任意的x∈R，f′（x+4）＝﹣f′（x），f（1）＝2，则f（2027）的值为（）A．﹣2 B．0 C．2 D．2026【答案】C【解答】解：令函数h（x）＝f（x+4）+f（x）（x∈R），可得导函数h′（x）＝f′（x+4）+f′（x），由于f′（x+4）＝﹣f′（x），因此h′（x）＝0，因此h（x）＝c（c∈R），当x＝﹣2时，可得h（﹣2）＝f（﹣2）+f（2）＝0，因此c＝0，因此f（x+4）＝﹣f（x），因此f（x+8）＝﹣f（x+4）＝f（x），即函数f（x）的一个周期为8，所以f（2027）＝f（225×3+3）＝f（3），又由于f（x）为奇函数，可得f（x+4）＝﹣f（x）＝f（﹣x），因此函数f（x）的图象关于x＝2轴对称，因此f（3）＝f（1）＝2．故选：C．3．已知函数f（x）的定义域为R，其图象关于直线x＝﹣3对称且f（x+3）＝f（x﹣3），当x∈[0，3]时，f（x）＝2x+2x﹣11，则下列说法不正确的是（）A．函数f（x）为偶函数 B．函数f（x）在[﹣6，﹣3]上单调递增 C．函数f（x）的图象关于直线x＝3对称 D．f（2026）＝﹣7【答案】D【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，因为函数f（x）的定义域为R，其函数图象关于直线x＝﹣3对称，所以f（x﹣3）＝f（﹣x﹣3），又f（x+3）＝f（x﹣3），所以f（x+3）＝f（﹣x﹣3），变形可得f（x）＝f（﹣x），即该函数为偶函数，故A正确；对于B，因为f（x+3）＝f（x﹣3），变形可得f（x+6）＝f（x），所以函数f（x）是以6为一个周期的函数，当x∈[﹣6，﹣3]时，x+6∈[0，3]，因为当x∈[0，3]时，f（x）＝2x+2x﹣11，易得此时函数f（x）在[0，3]上单调递增，因6是函数f（x）的一个周期，故函数f（x）在[﹣6，﹣3]上也单调递增，故B正确；对于C，因为函数f（x）的图象关于直线x＝﹣3对称，所以f（x﹣3）＝f（﹣x﹣3），又函数f（x）是偶函数，所以f（x）＝f（﹣x），则f（x﹣3）＝f[﹣（x﹣3）]＝f（3﹣x），而f（﹣x﹣3）＝f[﹣（﹣x﹣3）]＝f（x+3），故f（x+3）＝f（﹣x+3），即函数f（x）的图象关于直线x＝3对称，故C正确；对于D，f（2026）＝f（337×6+4）＝f（4）＝f（﹣4）＝f（﹣4+6）＝f（2），又x∈[0，3]时，f（x）＝2x+2x﹣11，故f（2026）＝f（2）＝22+2×2﹣11＝﹣3，故D错误．故选：D．（多选）4．已知定义在R上的函数f（x），g（x）满足f（x+4）＝﹣f（x），g（x）＝f（3x+2），g（﹣x）＝g（x），g(−1A．f（﹣x）＝﹣f（x） B．f（2024）＝2 C．f（2﹣x）＝f（x） D．k=1【答案】AD【解答】解：因为定义在R上的函数f（x），g（x）满足f（x+4）＝﹣f（x），g（x）＝f（3x+2），g（﹣x）＝g（x），g(−1所以f（﹣3x+2）＝f（3x+2），所以f（﹣x+2）＝f（x+2），所以f（﹣x）＝f（x+4），又f（x+4）＝﹣f（x），所以f（﹣x）＝﹣f（x），所以A选项正确，C选项错误；由f（x+4）＝﹣f（x），得f（x+8）＝﹣f（x+4）＝﹣[﹣f（x）]＝f（x），所以8为f（x）的一个周期，所以f（2024）＝f（253×8+0）＝f（0），在f（﹣x）＝﹣f（x）中，令x＝0，得f（0）＝0，所以f（2024）＝0，所以B选项错误；由g（﹣x）＝g（x），得g(−13)=g(13)=2，又g（x）＝f（3由f（x+4）＝﹣f（x），得f（5）＝﹣2，f（7）＝﹣2，因为f（x+8）＝f（x），所以f（1）＝f（9）＝f（17）＝f（25）＝…＝f（193）＝2，f（3）＝f（11）＝f（19）＝f（27）＝…＝f（195）＝2，f（5）＝f（13）＝f（21）＝f（29）＝…＝f（197）＝﹣2，f（7）＝f（15）＝f（23）＝f（31）＝…＝f（199）＝﹣2，所以﹣f（1）﹣2f（3）﹣3f（5）﹣4f（7）＝8，﹣5f（9）﹣6f（11）﹣7f（13）﹣8f（15）＝8，……，所以﹣97f（193）﹣98f（195）﹣99f（197）﹣100f（199）＝8，所以k=1100(−k)f(2k−1)=25×8=200故选：AD．（多选）5．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（x+1）是偶函数，当x∈（0，1]时，f(x)=xA．x∈[1，2）时，f(x)=2−xB．函数f（x）的最小正周期是4 C．i=12025D．方程f（x）＝lg|x|恰有10个不同的实数根【答案】BCD【解答】解：因为f（x）为R上的奇函数，故f（﹣x）＝﹣f（x），而f（x+1）是偶函数，故f（x+1）＝f（﹣x+1）＝﹣f（x﹣1），所以f（x+2）＝﹣f（x），故f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），故f（x）的周期为4，故B正确；由f（x+1）＝f（﹣x+1），可得f（x）＝f（2﹣x），当x∈[1，2）时，2﹣x∈（0，1]，故f（x）＝f（2﹣x）=2−xe1−x因为f（x）为R上的奇函数，故f（0）＝0，而f（1）=1由f（x+2）＝﹣f（x），可得f（2）＝﹣f（0）＝0，f（3）＝﹣f（1）＝﹣1，f（4）＝f（0）＝0，故f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝0，故i=12025f（i）＝506×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）＝1，故当x∈（0，1]，f′（x）=1−x故f（x）在（0，1]为单调递增函数，结合f（x）的周期性和对称性可得函数的图象，如图所示：而f（x）＝lg|x|的解的个数可以看成y＝f（x），y＝lg|x|两个图象交点的个数，而lg10＝1，结合图象可得y＝f（x），y＝lg|x|两个图象在y轴右侧交点的个数为5个，因lg|﹣10|＝1，由图可得两个函数在y轴左侧交点的个数为5个，故共10个交点，故f（x）＝lg|x|恰有10个不同的解，故D正确．故选：BCD．课时精练一．选择题（共8小题）1．已知函数f（x）满足f（x+2）关于直线x＝﹣2对称，且f（x+2）=1f(x)，当2≤x≤3时，f（x）＝log2（x+112），则A．2 B．3 C．4 D．6【答案】B【解答】解：根据题意，函数f（x）满足f（x+2）关于直线x＝﹣2对称，则f（x）为偶函数，函数f（x）满足f（x+2）=1f(x)，则有f（x+4）=1f(x+2)即函数f（x）是周期为4的周期函数，则f（2192）＝（28×4−52）＝f（−52又由当2≤x≤3时，f（x）＝log2（x+112），则f（52）＝log2故f（2192故选：B．2．已知函数f（x）的定义域为R，f（x+1）为奇函数，且对∀x∈R，f（x+4）＝f（﹣x）恒成立．则以下结论：①f（x）为奇函数；②f（3）＝0；③f(1④f（2023）＝0．其中正确的为（）A．①②④ B．②③ C．②③④ D．①③④【答案】C【解答】解：因为函数f（x+1）为奇函数，所以f（x）的图象关于点（1，0）对称，即f（1﹣x）＝﹣f（1+x），令x＝x﹣1，可得f（2﹣x）＝﹣f（x），令x＝﹣x﹣1，可得f（2+x）＝﹣f（﹣x），因为对∀x∈R，f（x+4）＝f（﹣x）恒成立，所以f（2+x）＝f（2﹣x），又因为f（2﹣x）＝﹣f（x），f（2+x）＝﹣f（﹣x），所以﹣f（x）＝﹣f（﹣x），即f（x）＝f（﹣x），所以函数f（x）为偶函数，故①错误；因为函数f（x+1）为奇函数，所以f（1）＝0，因为f（2+x）＝f（2﹣x），令x＝1，得f（3）＝f（1）＝0，故②正确；因为f（2+x）＝f（2﹣x），令x=12，得因为f（x）的图象关于点（1，0）对称，所以f(3因为f(52)=f(32又因为f（x+4）＝f（﹣x）＝f（x），所以函数f（x）为周期函数，周期为4，所以f（2023）＝f（505×4+3）＝f（3）＝0，故④正确；综上可知，正确的有：②③④．故选：C．3．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x﹣1）+f（x+1）＝0，且当x∈[0，2）时，f（x）＝log2（x+1），则3f（2023）﹣2f（2022）的值为（）A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3【答案】D【解答】解：∵f（x﹣1）+f（x+1）＝0，∴f（﹣1）+f（1）＝0，且f（1）＝log2（1+1）＝1，∴f（﹣1）＝﹣1，∴f（0）+f（2）＝0，且f（0）＝log2（0+1）＝0，∴f（2）＝0，又可得f（x）+f（x+2）＝0，∴f（x+4）＝f（x），∴f（x）是周期T＝4的周期函数，∴f（2023）＝f（﹣1）＝﹣1，f（2022）＝f（2）＝0，∴3f（2023）﹣2f（2022）＝3×（﹣1）﹣2×0＝﹣3．故选：D．4．已知函数f（x）满足：∀x∈R，f（x﹣1）+6≥f（x+5），f（x+1）﹣3≥f（x﹣2），若f（3）＝1，则f（2025）＝（）A．2026 B．2025 C．2024 D．2023【答案】D【解答】解：依题意，得f（x）+6≥f（x+6），令x＝﹣3，则f（﹣3）+6≥f（3）＝1⇒f（﹣3）≥﹣5，又因为f（x+1）﹣3≥f（x﹣2）⇒f（x）﹣3≥f（x﹣3）⇒f（x）≥f（x﹣3）+3，在f（x）≥f（x﹣3）+3中令x＝0，则f（0）≥f（﹣3）+3⇒f（0）≥﹣2，在f（x）≥f（x﹣3）+3中令x＝3，则f（3）≥f（0）+3⇒f（0）≤﹣2，故得f（0）＝﹣2；又f（2025）＝f（2019+6）≤f....9）+6≤....≤f（3）+337×6＝2023；又f（2025）≥f（2025﹣3）+3＝f（2022）+3≥⋯≥f（0）+675×3＝﹣2+2025＝2023，所以2023≤f（2025）≤2023，即f（2025）＝2023．故选：D．5．已知函数f（x）的定义域为R，且f（x+y）+f（x﹣y）＝f（x）f（y），f（1）＝1，则k=122f（A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．1【答案】A【解答】解：令y＝1，则f（x+1）+f（x﹣1）＝f（x），即f（x+1）＝f（x）﹣f（x﹣1），∴f（x+2）＝f（x+1）﹣f（x），f（x+3）＝f（x+2）﹣f（x+1），∴f（x+3）＝﹣f（x），则f（x+6）＝﹣f（x+3）＝f（x），∴f（x）的周期为6，令x＝1，y＝0得f（1）+f（1）＝f（1）×f（0），解得f（0）＝2，又f（x+1）＝f（x）﹣f（x﹣1），∴f（2）＝f（1）﹣f（0）＝﹣1，f（3）＝f（2）﹣f（1）＝﹣2，f（4）＝f（3）﹣f（2）＝﹣1，f（5）＝f（4）﹣f（3）＝1，f（6）＝f（5）﹣f（4）＝2，∴k=16∴k=122f(k)=3×0+f(19)+f(20)+f(21)+f(22)=f（1）+f（2）+f故选：A．6．已知函数f（x）满足f（x﹣1）+f（x+1）＝2，且f（﹣1）＝1，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（9）的值为（）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【解答】解：根据f（x﹣1）+f（x+1）＝2，得f（x﹣3）+f（x﹣1）＝2，相减得f（x+1）＝f（x﹣3），即f（x+4）＝f（x），因此f（x）的周期为4，又因为f（﹣1）＝1，f（﹣1）+f（1）＝2，因此f（1）＝1，因为f（2）+f（4）＝2，f（1）+f（3）＝2，所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝4，所以f（1）+f（2）+⋯+f（9）＝2（f（1）+f（2）+f（3）+f（4））+f（1）＝4×2+1＝9．故选：B．7．已知函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）+g（2﹣x）＝5，g（x）﹣f（x﹣4）＝7．若y＝g（x）的图像关于直线x＝2对称，g（2）＝4，则k=122f（A．﹣21 B．﹣22 C．﹣23 D．﹣24【答案】D【解答】解：∵y＝g（x）的图像关于直线x＝2对称，则g（2﹣x）＝g（2+x），∵f（x）+g（2﹣x）＝5，∴f（﹣x）+g（2+x）＝5，∴f（﹣x）＝f（x），故f（x）为偶函数，∵g（2）＝4，f（0）+g（2）＝5，得f（0）＝1．由g（x）﹣f（x﹣4）＝7，得g（2﹣x）＝f（﹣x﹣2）+7，代入f（x）+g（2﹣x）＝5，得f（x）+f（﹣x﹣2）＝﹣2，故f（x）关于点（﹣1，﹣1）中心对称，∴f（1）＝f（﹣1）＝﹣1，由f（x）+f（﹣x﹣2）＝﹣2，f（﹣x）＝f（x），得f（x）+f（x+2）＝﹣2，∴f（x+2）+f（x+4）＝﹣2，故f（x+4）＝f（x），f（x）周期为4，由f（0）+f（2）＝﹣2，得f（2）＝﹣3，又f（3）＝f（﹣1）＝f（1）＝﹣1，所以k=122f（k）＝6f（1）+6f（2）+5f（3）+5故选：D．8．已知定义域均为R的函数f（x），g（x）满足f（2﹣x）+f（x）＝2，g（4﹣x）＝g（x），g（2）＝3，若f（x）＝g（2+x）+4，则下列说法错误的是（）A．f（x）的图象关于y轴对称 B．﹣8为f（x）的一个周期 C．f（2023）＝﹣1 D．k=122f（【答案】C【解答】解：因为g（4﹣x）＝g（x），g（2）＝3，又f（x）＝g（2+x）+4，所以f（2﹣x）＝g（4﹣x）+4，f（x﹣2）＝g（x）+4，两式相减可得：f（2﹣x）﹣f（x﹣2）＝0，所以f（2﹣x）＝f（x﹣2），所以f（﹣x）＝f（x），所以f（x）的图象关于y轴对称，所以A选项正确；又f（2﹣x）+f（x）＝2，所以f（2﹣x）+f（﹣x）＝2，所以f（x+2）+f（x）＝2，所以f（x+4）+f（x+2）＝2，所以f（x+4）＝f（x），所以f（x）的周期为4，所以﹣8为f（x）的一个周期，所以B选项正确；因为g（2）＝3，f（x）＝g（2+x）+4，所以f（0）＝g（2）+4＝7，又f（2﹣x）+f（x）＝2，所以2f（1）＝2，所以f（1）＝1，所以f（2）＝2﹣f（0）＝2﹣7＝﹣5，f（3）＝f（﹣1）＝f（1）＝1，f（4）＝f（0）＝7，所以f（2023）＝f（4×505+3）＝f（3）＝1，所以C选项错误；所以f（x）的一个周期的和为f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝1﹣5+1+7＝4，所以k=122f（k）＝5×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）+f（2）＝5×4+1﹣5＝16，所以故选：C．二．多选题（共3小题）（多选）9．已知定义域为R的偶函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（﹣x），当x∈（1，2]时f（x）＝2x﹣2，则下列结论正确的有（）A．f（﹣1）＝0 B．f（x）的图象关于点（3，0）成中心对称 C．f（2024）＞f（2025） D．f(【答案】ABD【解答】解：对A，∵f（x）满足f（x+2）＝﹣f（﹣x），令x＝﹣1，则f（1）＝﹣f（1），即f（1）＝0，又∵f（x）为偶函数，∴f（﹣1）＝f（1）＝0，故A对；对B，∵f（x+2）＝﹣f（﹣x）＝﹣f（x），∴f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），故f（x）的周期T＝4，再根据f（x+2）＝﹣f（﹣x），即f（x+6）＝﹣f（﹣x），∴f（x）的图象关于点（3，0）成中心对称，故B对；对C，由B知：f（x）的周期T＝4，故f（2024）＝f（506×4）＝f（0），∵f（x+2）＝﹣f（﹣x），令x＝0，则f（2）＝﹣f（0），又∵当x∈（1，2]时f（x）＝2x﹣2，∴f（2）＝22﹣2＝2，即f（0）＝﹣f（2）＝﹣2，即f（2024）＝f（0）＝﹣2，f（2025）＝f（506×4+1）＝f（1）＝0，故f（2024）＜f（2025），故C错误；对D，f（x）满足f（x+2）＝﹣f（﹣x），∴f（x）关于（1，0）中心对称，又∵当x∈（1，2]时f（x）＝2x﹣2，∴f（x）在[0，2]上单调递增；当x＝0时，f(0)=−2＜f(1当x≠0时，∵f（x）为偶函数，∴f(x∵0＜1当且仅当|x|=1|x|时，即∴f(xx2故选：ABD．（多选）10．已知函数f（x）与g（x）及其导函数f′（x）与g′（x）的定义域均为R．若f（x）为奇函数，f（x）+g（2﹣x）＝2，f′（x）+g′（x+1）＝2，则（）A．g（﹣2）+g（6）＝4 B．f′（0）＝0 C．曲线y＝f′（x）关于点(12D．k=1【答案】ACD【解答】解：对于选项A，令x＝﹣4，则f（﹣4）+g（6）＝2，令x＝4，则f（4）+g（﹣2）＝2，所以g（6）+g（﹣2）＝4，所以选项A正确；对于选项B，因为f（x）为奇函数，所以f′（x）为偶函数，所以无法得出f′（0）＝0，所以选项B错误；对于选项C，因为f（x）+g（2﹣x）＝2⇒f′（x）﹣g′（2﹣x）＝0，又因为f′（x）+g′（x+1）＝2，所以g′（x+1）+g′（2﹣x）＝2，所以g′（x）关于(3因为f′（x）＝2﹣g′（x+1），结合函数图象平移，所以f′（x）关于(12，1)对于选项D，由于f′（x）为偶函数，结合C选项所得对称中心，可知f′（x）周期为2，所以f′（x）+f′（1﹣x）＝2，f′（−12）＝f′（又因为g′（x+1）＝2﹣f′（x），所以g′（x）＝2﹣f′（x﹣1），且k=12025因为k=14所以i=12025所以k=120025f′(故选：ACD．（多选）11．定义在区间[0，2]上的函数f（x）满足下列条件：（i）f（1）＝2，对于任意的x∈[0，2]，有f（x）≥1，且f（x）＝f（2﹣x）；（ii）对于任意的x∈[1，2]，当x+y≥3时，f（x）+f（y）≤f（x+y﹣2）+1成立．则下列说法正确的是（）A．f（2）≥5 B．x∈[﹣2，0]时，恒有f（x+2）＝f（﹣x） C．f（x）在[0，1]上非减且f(1D．当x∈[1，2]，f（x）≤5﹣2x【答案】BCD【解答】解：∵（i）f（1）＝2，对于任意的x∈[0，2]，有f（x）≥1，且f（x）＝f（2﹣x）；（ii）对于任意的x∈[1，2]，当x+y≥3时，f（x）+f（y）≤f（x+y﹣2）+1成立，对于选项A，∵f（1）＝2，取x＝1时，由（ii）式得2f（1）≤f（0）+1，于是f（0）≥3，再令x＝2得，f（2）＝f（2﹣2）＝f（0）≥3，但无法确定f（2）≥5，于是选项A错误；对于选项B，∵x∈[﹣2，0]，则﹣x∈[0，2]，0≤x+2≤2，根据（i）有f（x+2）＝f[2﹣（x+2）]＝f（﹣x），即f（x+2）＝f（﹣x）成立，于是选项B正确；对于选项C，对于任意的x，y∈[0，1]∈[0，2]，有2﹣x，2﹣y∈[1，2]，若x+y≤1，则4﹣（x+y）≥3，由条件（ii）有f（2﹣x）+f（2﹣y）≤f（4﹣x﹣y﹣2）+1＝f（2﹣x﹣y）+1＝f[2﹣（x+y）]+1，即f[2﹣（x+y）]≥f（2﹣x）+f（2﹣y）﹣1．……①由x∈[0，2]，f（x）＝f（2﹣x），f（2﹣y）＝f（y）∴f[2﹣（x+y）]＝f（x+y），故由①变为f（x+y）≥f（x）+f（y）﹣1…………②对于任意的x1，x2∈[0，1]，设x1＜x2，则0＜x2﹣x1＜1．即x2﹣x1∈（0，1），不难想到x2＝[（x2﹣x1）+x1]，据②有f（x2）＝f[（x2﹣x1）+x1]≥f（x2﹣x1）+f（x1）﹣1，∴f（x2）﹣f（x1）≥f（x2﹣x1）﹣1，而x∈[0，2]，有f（x）≥1，进而f（x2﹣x1）≥1，于是f（x2）﹣f（x1）≥0，显然x∈[0，1]上f（x）非减；对于任意n∈N*有12即f(1即f(1下面以此式作为递推式得：f(1≤⋯≤(=2×(12)n+故选项C正确；对于选项D，若对于任意x∈（0，1]和n∈N*，使得12由选项C，知x∈[0，1]上f（x）非减，则f(1而12n−1=∴f(12n)≤f(x)≤f(12n−1)≤2x+1，此时x当且仅当x∈[1，2）时，1＜x≤2，则﹣2≤﹣x＜﹣1，0≤2﹣x＜1，f（x）＝f（2﹣x）≤2（2﹣x）+1＝5﹣2x，另外，x∈[1，2]，当x+y≥3时，根据（ii），f（x）+f（y）≤f（x+y﹣2）+1，特取x＝y＝2，此时f（2）+f（2）≤f（2）+1，f（2）≤1，即f（2）≤5﹣4＝1，综上所述，当x∈[1，2]，f（x）≤5﹣2x恒成立．即选项D成立．故选：BCD．三．填空题（共3小题）12．已知定义在R上的函数f（x）满足f（2x+3）为偶函数，同时f（x+3）+f（5﹣x）＝0，且f（3）＝1，则i=12025f（i【答案】﹣1．【解答】解：因为f（2x+3）为偶函数，所以f（﹣2x+3）＝f（2x+3），所以f（5﹣x）＝f（x+1），又f（x+3）+f（5﹣x）＝0，所以f（x+3）+f（x+1）＝0，且f（4）＝0，所以f（x+2）+f（x）＝0，所以f（x+4）+f（x+2）＝0，所以f（x+4）＝f（x），所以f（x）的周期为4，又f（1）+f（3）＝f（2）+f（4）＝0，又f（3）＝1，所以f（1）＝﹣f（3）＝﹣1，所以i=12025f（i）＝[f（1）+f（2）+f（3）+f故答案为：﹣1．13．偶函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），且x∈[﹣1，1]时，f(x)=log2(2x+1)+(x+a)【答案】1716【解答】解：因为f（x）为偶函数，且x∈[﹣1，1]时，f(x)=log所以f(−x)=log解得a=−14，所以因为f（x+2）＝f（x），所以函数f（x）的周期为2，所以f(2022)=f(0)=log故答案为：171614．已知函数f（x）满足：f（a+b）＝f（a）•f（b），f（1）＝2，则f2(1)+f(2)【答案】见试题解答内容【解答】解：运用条件知：f(n+1)f(n)且f=2f(2)故答案为：16四．解答题（共5小题）15．定义在（﹣2，2）上的函数f（x）满足对任意的x，y∈（﹣2，2），都有f（x）+f（y）＝f（x+y），且当x∈（0，2）时，f（x）＞0．（1）证明：函数f（x）是奇函数；（2）证明：f（x）在（﹣2，2）上是增函数；（3）若f（﹣1）＝﹣2，f（x）≤t2+at﹣1对任意x∈[﹣1，1]，a∈[﹣2，2]恒成立，求实数t的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）实数t的取值范围为（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）．【解答】解：（1）证明：∵x，y∈（﹣2，2），都有f（x）+f（y）＝f（x+y），∴令x＝y＝0，则f（0）+f（0）＝f（0），解得f（0）＝0，令y＝﹣x，则f（x）+f（﹣x）＝f（0）＝0，即f（﹣x）＝﹣f（x），∴函数f（x）是奇函数；（2）证明：任取x1，x2∈（0，2）且x1＞x2，则f（x1）﹣f（x2）＝f（x1）+f（﹣x2）＝f（x1﹣x2），∵x1，x2∈（0，2）且x1＞x2时，f（x）＞0，∴0＜x1﹣x2＜2，f（x1﹣x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（0，2）上单调递增，由（1）得函数f（x）是奇函数，∴f（x）在（﹣2，0）上单调递增，故f（x）在（﹣2，2）上是增函数；（3）由（1）（2）得函数f（x）是奇函数，f（x）在[﹣1，1]上是增函数，f（﹣1）＝﹣2，f（x）≤t2+at﹣1对任意x∈[﹣1，1]，a∈[﹣2，2]恒成立，转化为t2+at﹣1≥f（x）max，∵f（﹣1）＝﹣2，∴f（x）max＝f（1）＝﹣f（﹣1）＝2，∴t2+at﹣1≥2对任意a∈[﹣2，2]恒成立，即t2+at﹣3≥0对任意a∈[﹣2，2]恒成立，令g（a）＝ta+t2﹣3，a∈[﹣2，2]，∴g(−2)≥0g(2)≥0，即−2t+t2−3≥02t+故实数t的取值范围为（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）．16．已知定义域为I＝（﹣∞，0）∪（0，+∞）的函数f（x）满足对任意x1，x2∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），都有f（x1x2）＝x1f（x2）+x2f（x1）．（1）求证：f（x）是奇函数；（2）设g（x）=f(x)x，且x＞1时g（①求证：g（x）在（0，+∞）上是减函数；②求不等式g（2x﹣1）＞g（3x）的解集．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）取x1＝x2＝1，可得f（1）＝0，取x1＝x2＝﹣1，可得f（﹣1）=−12取x1＝x，x2＝﹣1，可得f（﹣x）＝﹣f（x）+xf（﹣1）＝﹣f（x）．∴f（x）是奇函数．（2）①∵f（x）是奇函数，g（x）=f(x)由f（x1x2）＝x1f（x2）+x2f（x1）．可得有g（x1x2）＝g（x2）+g（x1）．设x1＞x2＞0，则x1x2＞1，x＞1时g（∴g（x1）＝g（x1x2⋅x2）＝g（x2）+g（x∴g（x）在（0，+∞）上是减函数；②∵g（x）是偶函数且在（0，+∞）上是减函数，∴不等式g（2x﹣1）＞g（3x）的解集⇔2x−1≠03x≠0⇒x≠12x≠0x＞15∴不等式g（2x﹣1）＞g（3x）的解集为（﹣∞，﹣1）∪(117．函数f（x）满足对任意x∈R，都有f（x+2）＝f（﹣x+2），且f（x）的图象关于直线x＝1对称，当x∈[2，3）时，f（x）＝2（x﹣2）3，且函数y＝f（x）﹣|logax|恰有2025个零点．（1）证明：函数f（x）为周期函数；（2）求整数a的值．【答案】（1）因为f（x）的图象关于直线x＝1对称，所以f（﹣x）＝f（x+2），又因为f（x+2）＝f（﹣x+2），所以f（﹣x）＝f（﹣x+