高考数学复习：第32讲 平面向量的应用

第32讲平面向量的应用已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足OP=OA+λAB+AC，λ∈0,+∞，则点P的轨迹一定通过 A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心在△ABC中，BC+BA⋅AC=AC2，则 A．等边 B．等腰 C．直角 D．等腰直角在平行四边形ABCD中，AB=8，AD=6，N为DC的中点，BM=2MC，则AM⋅ A．48 B．36 C．24 D．12设a，b，c都是单位向量，且a⋅b=0，则c-平面上有三个点A-2,y，B0,y2，Cx,y，若AB⊥BC在△ABC所在平面上有一点P，满足PA+PB+PC=AB，则△PAB与在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=120∘，BM=λBC．若AM⋅BC=-已知向量m=λ+1,1，n=λ+2,2，若m+n A．-4 B．-3 C．-2 D．-1已知向量AB与AC的夹角为120∘，且AB=3，AC=2．若AP=λAB+AC，且AP平面四边形ABCD中，AB+CD=0，AB-AD⋅AC=0 A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足OP=OA+λAB+AC，λ∈0,+∞则点P的轨迹一定通过 A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心如图，在△ABC中，已知AB=3，AC=2，∠BAC=120∘，D为边BC的中点．若CE⊥AD，垂足为E，连接BE，则EB⋅EC已知平面向量α，β满足∣β∣=1，且α与β-α的夹角为120∘，则α的模的取值范围为在平面直角坐标系中，设向量a=cosα,sinα，(1)若a∥b，求α(2)若tan2α=-17，求已知向量a=2cos(1)求向量a与b的夹角；(2)若λb-a⊥a在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知向量m=cosB,2cos2C(1)求角C的大小；(2)若点D为边AB上一点，且满足AD=DB，∣CD∣=7，c=2已知向量OA=k,12，OB=4,5，OC=10,k，且A，B，C三点共线，当k<0时，若k为直线的斜率，则过点若点O和点F分别为椭圆x24+y23=1的中心和左焦点，点P如图：已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0，A2,0是长轴的一个端点，弦(1)求椭圆的方程；(2)若AB上的一点F满足BO-2OA+3OF=0，求证：CF如图，已知AC=2，B为AC的中点，分别以AB，AC为直径在AC的同侧作半圆，M，N分别为两半圆上的动点（不含端点A，B，C），且BM⊥BN，则AM⋅CN的最大值为已知单位向量a，b的夹角为45∘，ka-b与a垂直，则已知向量a，b满足a=5，b=6，a⋅b=-6，则 A．-3135 B．-1935 C．1735在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=23，AD=5，∠A=30∘，点E在线段CB的延长线上，且AE=BE，则如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点O．若AB⋅AC=6AO⋅EC，则

答案1.【答案】C【解析】由原等式，得OP-OA=λAB+AC，即AP=λAB+AC，根据平行四边形法则，知AB+AC=2AD（D为2.【答案】C【解析】由BC+BA⋅AC即AC⋅BC+所以AC⊥所以A=90又根据已知条件不能得到AB=故△ABC一定是直角三角形．3.【答案】C【解析】AM⋅4.【答案】1-2【解析】不妨设a=1,0，b=0,1，c故得其最小值为1-25.【答案】y6.【答案】13【解析】由题意可得PC=所以P是线段AC的三等分点（靠近点A），易知S△PAB=137.【答案】13【解析】解法1（基底法）因为AM=所以AM⋅解得λ=1解法2（坐标运算法）建立如图所示的平面直角坐标系．由题意有，A0,0，B3,0，设点M的坐标为x,y，则x-3,y=λ-1-3,3，即故AM⋅解得λ=18.【答案】B【解析】因为m+所以m+n⋅m9.【答案】712【解析】由AP⊥BC，知AP⋅解得λ=710.【答案】B【解析】AB+CD=0⇒AB=-CDAB-所以平行四边形ABCD是菱形．11.【答案】C【解析】由原等式得OP-OA=λAB+AC，即AP=λAB+AC，根据平行四边形法则知AB+AC是△ABC的中线AD（D为所以点P的轨迹必过△ABC的重心．12.【答案】-27【解析】解法1（坐标法）以点A为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系xOy（如图所示），则A0,0，B3,0，C-1,所以直线AD：y=32x，直线CE联立y=3得E2所以EB=197从而EB⋅解法2（向量的数量积）EB⋅由2AD2=AB+AC2因为S△ADC=12所以CE2故EB⋅解法3（基底法）因为E在中线AD上，所以可设AE=λAB+AC，则EB所以EB⋅由AD⋅EC=0，得AB+AC⋅1-λ13.【答案】(0,2【解析】设α与β的夹角为θ，则0∘由正弦定理可得∣α∣sin所以∣α∣=2因为0∘<θ<120∘所以0<sin120∘-θ14.【答案】(1)因为a∥所以cosα所以cos2α+因为0<α<π所以π6于是2α+π6=π(2)因为0<α<π所以0<2α<π又tan2α=-故π2因为tan2α=所以cos2α=-7又sin2解得sin2α=210因此，a⋅15.【答案】(1)设向量a与b的夹角为θ，因为∣a∣=2，所以cosθ=考虑到0≤θ≤π，得向量a与b的夹角为π(2)若λb-a⊥a，则因为b⋅a=2，a2=4，所以16.【答案】(1)因为m=cosB,cosC所以ccos在△ABC中，由正弦定理得sinCcosB+又因为sinA≠0所以cosC=因为C∈0,所以C=π(2)由AD=DB，知所以2CD两边平方得4∣CD又因为c2所以a2由①②得ab=8，所以S△ABC17.【答案】2x+y-3=0【解析】由题意可得AB=4-k,-7，由于AB和BC共线，故有4-kk-5+42=0，解得k=11或因为当k<0时，若k为直线的斜率，所以过点2-1的直线方程为y+1=-2x-2，即2x+y-3=018.【答案】6【解析】由题意，F-1,0设点Px0,y0，则有因为FP=x0所以OP⋅FP=x因为-2≤x所以当x0=2时，OP⋅FP19.【答案】(1)因为AC⋅BC=0，所以AC又OC-OB=2BC所以△AOC是等腰直角三角形．因为A2,0，所以C1,1，而点C所以1a2+1b2所以所求椭圆方程为x2(2)由（1），得C1,1，B又BO-2即BO+设Fx0,y0，则x0=-所以∠ACF=∠FCB=45∘，即CF平分20.【答案】14【解析】【解法1】（坐标法）以点B为坐标原点，线段AC所在的直线为x轴，建立平面坐标系．设∠NBC=∠MAB=α，α∈0,π2，，则MA-1,0，CAM⋅当cosα=12，α=π3时，AM【解法2】（定义法）设∠NBC=∠MAB=α，α∈0,AM⋅令∣AM∣=t，0<t<1，所以AM⋅CN的最大值为【解法3】（解析几何法）以点B为坐标原点，线段AC所在的直线为x轴，建立平面坐标系．设直线BN的斜率为kk>0，则直线BM的斜率为-1k，则直线BN的方程为y=kx，直线BM的方程为联立y=kx,x解得N1联立y=-1解得M-因为A-1,0，C所以AM=1kAM⋅令t=11+k2，则所以AM⋅CN的最大值为21.【答案】22【解析】由题意可得：a⋅由向量垂直的充分必要条件可得：ka即：k×a2-故答案为：2222.【答案】D【解析】因为a=5，b=6，所以a⋅a+因此，cosa23.【答案】-1【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB=30∘，AB=23，AD=5，则B因为AD∥BC，