高考数学复习：第48讲 圆的方程

第48讲圆的方程已知圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1，则a A．-43 B．-34 C．3 D点m2,5与圆x2+y A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．不能确定圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1 A．-43 B．-34 C．点P4,-2与圆x2+y2 A．x-22+y+12=1 C．x+42+y-22=4已知圆C关于y轴对称，经过点1,0且被x轴分成两段，弧长比为1:2，则圆C的方程为   A．x2+y+332 C．x-32+y2=已知三点A1,0，B0,3，C2,3，那么在平面直角坐标系xOy中，过点A1,3，B4,6，且圆心在直线x-2y-1=0上的圆的标准方程为根据下列条件，求圆的方程．(1)经过点A5,2，B3,-2，且圆心在直线2x-y-3=0(2)经过P-2,4，Q3,-1两点，并且在x轴上截得的弦长等于已知圆C经过P-2,4，Q3,-1两点，且在x轴上截得的弦长为6，则圆C的方程为已知圆心在直线y=-4x上，且圆与直线l:x+y-1=0相切于点P3,-2，则该圆的方程是若一个圆与y轴相切，圆心在直线x-3y=0上，且在直线y=x上截得的弦长为27，则该圆的方程为若实数x，y满足x2(1)yx-4(2)3x-4y；(3)x2已知点x,y在圆x-22+y+32=1已知实数x，y满足方程x2（1）yx的最大值和最小值分别为和（2）y-x的最大值和最小值分别为和；（3）x2+y2的最大值和最小值分别为已知△ABC中，AB=AC=3，△ABC所在平面内存在点P使得PB2+PC2=3P已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A-1,0，B(1)求直角顶点C的轨迹方程；(2)求直角边BC的中点M的轨迹方程．已知圆x2+y2=4上一定点A2,0，B1,1(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ=90∘，求线段PQ已知半径为1的圆经过点3,4，则其圆心到原点的距离的最小值为   A．4 B．5 C．6 D．7若过点2,1的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x-y-3=0的距离为   A．55 B．255 C．355已知直线x-3y+8=0和圆x2+y2=r2r>0相交于A，B已知圆C与圆x2+y2+10x+10y=0相切于原点，且过点A0,-6，则圆在平面直角坐标系内，若曲线C:x2+y2+2ax-4ay+5a2设抛物线C:y2=4x的焦点为F，过F且斜率为kk>0的直线l与C交于A，B（1）直线l的方程为；（2）过点A，B且与C的准线相切的圆的方程为．已知M为圆C:x2+y2(1)求MQ的最大值和最小值；(2)若Mm,n，求n-3m+2

答案1.【答案】A【解析】因为圆x2+y2-2x-8y+13=0所以圆心到直线ax+y-1=0的距离d=a+4-1a2+12.【答案】A【解析】将点m2,5代入圆方程，得3.【答案】A4.【答案】A【解析】设中点为Ax,y，圆上任意一点为B由题意得xʹ+4=2x,yʹ-2=2y,则xʹ=2x-4,故2x-42+2y+225.【答案】A；B【解析】由已知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心0,a，半径为r，则rsinπ3=1，rcosπ3=a，解得r=23，即r6.【答案】217.【答案】(x-5)【解析】由圆心既的线段AB的垂直平分线上，又在直线x-2y-1=0上，先求出圆心的坐标．线段AB的中点为M52,9所以线段AB的垂直平分线方程为y-92=-x-由x+y=7,x-2y=1,得圆心C5,2，半径圆C的方程为x-528.【答案】(1)由题意知kAB=2，AB中点为4,0，设圆心因为圆过A5,2，B3,-2所以圆心一定在线段AB的垂直平分线上，则ba-4=-12,2a-b-3=0,解得所以r=CA所以所求圆的方程为x-22(2)设圆的方程为x2将P，Q两点的坐标分别代入得2D-4E-F=20, ⋯⋯①又令y=0，得x2设x1，x2是方程由x1-x2由①②④解得D=-2，E=-4，F=-8或D=-6，E=-8，F=0．故所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-8=09.【答案】x2+y2-2x-4y-8=0【解析】设圆的方程为x2将P，Q两点的坐标分别代入得2D-4E-F=20, ⋯⋯①又令y=0，得x2设x1，x2是方程③的两根，由即x1+x2由①②④解得D=-2，E=-4，F=-8或D=-6，E=-8，F=0．故所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-8=010.【答案】(x-1)【解析】过切点且与x+y-1=0垂直的直线方程为x-y-5=0，与y=-4x联立可求得圆心为1,-4，所以半径r=3-1故所求圆的方程为x-1211.【答案】(x-3)2+(y-1)2【解析】因为所求圆的圆心在直线x-3y=0上，所以设所求圆的圆心为3a,a．因为所求圆与y轴相切，所以半径r=3a因为所求圆在直线y=x上截得的弦长为27圆心3a,a到直线y=x的距离d=2a所以d2+72=r2故所求圆的方程为x-32+y-12=912.【答案】(1)（方法1）令yx-4=k，则因为x，y满足x2所以圆心-1,2到直线kx-y-4k=0的距离不大于圆的半径2，即2+5kk2+1≤2所以yx-4的最大值为0，最小值为-（方法2）令yx-4=k，则y=k整理得1+k因为上述方程有实数根，所以Δ=2-4k-8化简整理得21k2+20k≤0，解得所以yx-4的最大值为0，最小值为-(2)（方法1）设3x-4y=k，则3x-4y-k=0，圆心-1,2到该直线的距离不大于圆的半径，即-3-8-k25解得-21≤k≤-1，所以3x-4y的最大值为-1，最小值为-21．（方法2）设k=3x-4y，即y=3整理得25x因为上述方程有实数根，所以Δ=-16-6k化简整理得k2+22k+21≤0，解得所以3x-4y的最大值为-1，最小值为-21．(3)（方法1）先求出原点与圆心之间的距离d=-1-0根据几何意义，知x2+y2最小值为5-2（方法2）由（1）的方法知，圆的方程中的x，y变为x=-1+2cosx2所以x2+y2的最大值为9+413.【答案】设t=x+y，则y=-x+t，t可视为直线y=-x+t在y轴上的截距，所以x+y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距．由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即2+-3-t2=1，解得t=2所以x+y的最大值为2-1，最小值为-14.【答案】3；-3；-2+6；-2-6；7+43【解析】原方程可化为x-22+y2=3，表示以2,0（1）yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx=k，即当直线y=kx与圆相切时（如图），斜率k取最大值或最小值，此时2k-0k2+1=所以yx的最大值为3，最小值为-（2）y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距．如图所示，当直线y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时2-0+b2=3，解得所以y-x的最大值为-2+6，最小值为-2-（3）x2+由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为2，所以x2+y2x2+y215.【答案】523【解析】以BC所在的直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立坐标系，设B-a,0，Ca,0（a>0），则A0,则Px,y点满足x+a2+y即Px,y点为圆x2+y2=则1-3解得0<a所以△ABC面积为S=因为0<a所以当a2=2316时S16.【答案】(1)设Cx,y，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0因为AC⊥BC，所以kAC又kAC=y所以yx+1⋅yx-3因此，直角顶点C的轨迹方程为x2(2)设Mx,y，C因为B3,0，M是线段BC由中点坐标公式得x=x0+3所以x0=2x-3，由（1）知，点C的轨迹方程为x-12将x0=2x-3，y0=2y即x-22因此动点M的轨迹方程为x-2217.【答案】(1)设AP的中点为Mx,y，由中点坐标公式可知点P坐标为2x-2,2y因为点P在圆x2+y2=4故线段AP中点的轨迹方程为x-12(2)设PQ的中点为Nx,y．在Rt△PBQ中，PN设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以OP2所以x2故线段PQ中点的轨迹方程为x218.【答案】A【解析】设圆心Cx,y，则x-3化简得x-32所以圆心C的轨迹是以M3,4为圆心，1所以∣OC∣+1≥∣OM∣=3所以∣OC∣≥5-1=4，当且仅当C在线段OM上时取得等号，故选：A．19.【答案】B【解析】由于圆上的点2,1在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限．设圆心的坐标为a,a，则圆的半径为a．圆的标准方程为x-a2由题意可得2-a2可得a2-6a+5=0，解得a=1或所以圆心的坐标为1,1或5,5．圆心1,1到直线2x-y-3=0的距离均为d1圆心5,5到直线2x-y-3=0的距离均为d2圆心到直线2x-y-3=0的距离均为d=-2所以，圆心到直线2x-y-3=0的距离为2520.【答案】5【解析】因为圆心0,0到直线x-3y+8=0的距离由AB=2r2-d2可得21.【答案】x+32【解析】由几何知识可知，圆心C在圆x2+y2+10x+10y=0又在OA的垂直平分线y=-3上，所以C-3,-3易得圆C的标准方程为x+3222.【答案】(-∞,-2)【解析】圆C的标准方程为x+a2所以圆心为-a,2a，半径r=2，故由题意知a<0,-a>2,2a>2,故实数a的取值范围为-∞,-2．23.【答案】y=x-1；(x-3)2+(y-2)2【解析】（1）由题意得F1,0，l的方程为y=k设Ax1,由y=kx-1,y2=4xΔ=16k2+16>0，故所以AB=由题设知4k2+4k2=8因此l的方程为y=x-1．（2）由（1）得AB的中点坐标为3,2，所以AB的垂直平分线方程为y-2=-x-3，即y