2025年上学期高一数学可持续发展评估试题（二）

2025年上学期高一数学可持续发展评估试题（二）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）已知集合(A={x|x^2-3x+2=0})，(B={x|x^2-ax+a-1=0})，若(A\cupB=A)，则实数(a)的值为（）A.2B.3C.2或3D.1或2函数(f(x)=\sqrt{x-1}+\lg(2-x))的定义域是（）A.[1,2)B.(1,2)C.[1,2]D.(1,2]下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（）A.(y=x+1)B.(y=-x^3)C.(y=\frac{1}{x})D.(y=x|x|)已知(\sin\alpha=\frac{3}{5})，且(\alpha)为第二象限角，则(\cos\alpha=)（）A.(-\frac{4}{5})B.(\frac{4}{5})C.(-\frac{3}{4})D.(\frac{3}{4})函数(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3}))的最小正周期是（）A.(\frac{\pi}{2})B.(\pi)C.(2\pi)D.(4\pi)已知向量(\vec{a}=(1,2))，(\vec{b}=(x,1))，若(\vec{a}\perp\vec{b})，则(x=)（）A.-2B.2C.(-\frac{1}{2})D.(\frac{1}{2})在等差数列({a_n})中，(a_1=1)，(a_3+a_5=14)，则数列({a_n})的公差(d=)（）A.1B.2C.3D.4等比数列({a_n})的前(n)项和为(S_n)，若(S_3=7)，(S_6=63)，则公比(q=)（）A.2B.-2C.3D.-3不等式(x^2-2x-3<0)的解集是（）A.(-1,3)B.(-3,1)C.(-∞,-1)∪(3,+∞)D.(-∞,-3)∪(1,+∞)已知直线(l_1:2x+y-4=0)与(l_2:x-y+1=0)的交点为(P)，则点(P)到直线(l:3x-4y+5=0)的距离为（）A.1B.2C.3D.4圆(x^2+y^2-2x+4y-4=0)的圆心坐标和半径分别是（）A.(1,-2),3B.(-1,2),3C.(1,-2),9D.(-1,2),9某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为（）A.100B.150C.200D.250二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）已知函数(f(x)=2^x)，则(f(\log_23)=)________。已知(\tan\alpha=2)，则(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}=)________。已知向量(\vec{a}=(2,1))，(\vec{b}=(1,-2))，则(2\vec{a}-\vec{b}=)________。若变量(x,y)满足约束条件(\begin{cases}x+y\leq3\x-y\geq-1\y\geq1\end{cases})，则(z=2x+y)的最大值为________。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（本小题满分10分）已知集合(A={x|x^2-4x+3<0})，(B={x|2x-3>0})，求(A\capB)，(A\cupB)。（本小题满分12分）已知函数(f(x)=\sinx\cosx+\sqrt{3}\cos^2x-\frac{\sqrt{3}}{2})。（1）求函数(f(x))的最小正周期；（2）求函数(f(x))在区间([0,\frac{\pi}{2}])上的最大值和最小值。（本小题满分12分）已知等差数列({a_n})的前(n)项和为(S_n)，且(a_2=5)，(S_5=35)。（1）求数列({a_n})的通项公式；（2）若数列({b_n})满足(b_n=2^{a_n})，求数列({b_n})的前(n)项和(T_n)。（本小题满分12分）已知向量(\vec{a}=(\cos\alpha,\sin\alpha))，(\vec{b}=(\cos\beta,\sin\beta))，且(\vec{a})与(\vec{b})的夹角为(60^\circ)。（1）求(\vec{a}\cdot\vec{b})的值；（2）若(\vec{a}+\vec{b})与(\vec{a}-\vec{b})垂直，求(|\vec{a}-\vec{b}|)的值。（本小题满分12分）已知圆(C:x^2+y^2-4x-6y+9=0)。（1）求圆(C)的圆心坐标和半径；（2）若直线(l:y=kx+3)与圆(C)相切，求实数(k)的值。（本小题满分12分）某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为500件，当出售的这种产品的数量为(t)（单位：百件）时，销售所得的收入约为(5t-\frac{1}{2}t^2)（万元）。（1）若该公司的年产量为(x)（单位：百件），试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量(x)的函数；（2）当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？参考答案一、选择题C2.A3.D4.A5.B6.A7.B8.A9.A10.B11.A12.A二、填空题314.315.(3,4)16.5三、解答题解：由(x^2-4x+3<0)，得(1<x<3)，所以(A=(1,3))。由(2x-3>0)，得(x>\frac{3}{2})，所以(B=(\frac{3}{2},+\infty))。因此，(A\capB=(\frac{3}{2},3))，(A\cupB=(1,+\infty))。解：（1）(f(x)=\frac{1}{2}\sin2x+\sqrt{3}\cdot\frac{1+\cos2x}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}\sin2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos2x=\sin(2x+\frac{\pi}{3}))，所以函数(f(x))的最小正周期(T=\frac{2\pi}{2}=\pi)。（2）因为(x\in[0,\frac{\pi}{2}])，所以(2x+\frac{\pi}{3}\in[\frac{\pi}{3},\frac{4\pi}{3}])。当(2x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2})，即(x=\frac{\pi}{12})时，(f(x))取得最大值1；当(2x+\frac{\pi}{3}=\frac{4\pi}{3})，即(x=\frac{\pi}{2})时，(f(x))取得最小值(-\frac{\sqrt{3}}{2})。解：（1）设等差数列({a_n})的公差为(d)，由题意得(\begin{cases}a_1+d=5\5a_1+\frac{5\times4}{2}d=35\end{cases})，解得(\begin{cases}a_1=3\d=2\end{cases})，所以(a_n=3+(n-1)\times2=2n+1)。（2）由（1）知(b_n=2^{2n+1}=2\times4^n)，所以数列({b_n})是首项为8，公比为4的等比数列，因此(T_n=\frac{8(1-4^n)}{1-4}=\frac{8}{3}(4^n-1))。解：（1）因为(|\vec{a}|=|\vec{b}|=1)，且(\vec{a})与(\vec{b})的夹角为(60^\circ)，所以(\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos60^\circ=1\times1\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2})。（2）因为((\vec{a}+\vec{b})\perp(\vec{a}-\vec{b}))，所以((\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b})=0)，即(|\vec{a}|^2-|\vec{b}|^2=0)，又(|\vec{a}|=|\vec{b}|=1)，所以(|\vec{a}-\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2-2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2=1-2\times\frac{1}{2}+1=1)，因此(|\vec{a}-\vec{b}|=1)。解：（1）将圆(C)的方程化为标准方程：((x-2)^2+(y-3)^2=4)，所以圆心坐标为(2,3)，半径为2。（2）因为直线(l)与圆(C)相切，所以圆心到直线(l)的距离等于半径，即(\frac{|2k-3+3|}{\sqrt{k^2+1}}=2)，解得(k=\pm\frac{\sqrt{3}}{3})。解：（1）当(0<x\leq5)时，产品全部售出，利润(L(x)=5x-\frac{1}{2}x^2-(0.5+0.25x)=-\frac{1}{2}x^2+4.75x-0.5)；当(x>5)时，产品只能售出500件，利润(L(x)=5\times5-\frac{1}{2}\times5^2-(0.5+0.25x)=12-0.25x)。综上，(L(x)=\begin{cases}-\frac{1}{2}x^2+4.75x-0.5,&0<x\leq5\12-0.25x,&x>5\end{cases})。（2）当(0<x\leq5)时，(L(x)=-\frac{1}{2}(x-4.75)^2+\frac{1}{2}\times4.75^2-0.5)，所以当(x=4.75)时，(L(x))取得最大值，(L(4.75)=