2025年上学期高一数学立体几何初步试题

2025年上学期高一数学立体几何初步试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）下列命题中，正确的是（）A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥D.棱台各侧棱的延长线交于一点已知正方体的棱长为1，则该正方体的外接球的体积为（）A.$\frac{\sqrt{3}}{2}\pi$B.$\frac{\sqrt{3}}{3}\pi$C.$\frac{4}{3}\pi$D.$\frac{3\sqrt{3}}{2}\pi$若直线$l$与平面$\alpha$平行，则过$l$且与$\alpha$平行的平面有（）A.1个B.2个C.无数个D.不存在已知空间中三点$A(1,0,0)$，$B(0,1,0)$，$C(0,0,1)$，则三棱锥$O-ABC$（$O$为坐标原点）的体积为（）A.$\frac{1}{6}$B.$\frac{1}{3}$C.$\frac{1}{2}$D.1设$\alpha$，$\beta$是两个不同的平面，$m$是直线且$m\subset\alpha$，则“$m\parallel\beta$”是“$\alpha\parallel\beta$”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件在直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$\angleBAC=90^\circ$，$AB=AC=AA_1=1$，则异面直线$A_1B$与$AC_1$所成角的余弦值为（）A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$C.$\frac{\sqrt{3}}{3}$D.$\frac{1}{3}$已知圆锥的母线长为$2$，侧面积为$2\pi$，则该圆锥的体积为（）A.$\frac{\sqrt{3}}{3}\pi$B.$\sqrt{3}\pi$C.$\frac{2\sqrt{3}}{3}\pi$D.$2\pi$如图，在正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，$E$为$DD_1$的中点，则$BD_1$与平面$ACE$的位置关系是（）A.平行B.相交但不垂直C.垂直D.无法确定已知平面$\alpha\perp$平面$\beta$，$\alpha\cap\beta=l$，点$A\in\alpha$，$A\notinl$，直线$AB\parallell$，直线$AC\perpl$，直线$m\parallel\alpha$，$m\parallel\beta$，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（）A.$AB\parallelm$B.$AC\perpm$C.$AB\parallel\beta$D.$AC\perp\beta$一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积为（）A.$24\pi$B.$36\pi$C.$48\pi$D.$60\pi$在三棱锥$P-ABC$中，$PA\perp$平面$ABC$，$AB=BC=AC=2$，$PA=3$，则该三棱锥外接球的表面积为（）A.$13\pi$B.$16\pi$C.$20\pi$D.$25\pi$已知正四棱锥$P-ABCD$的底面边长为$2$，侧棱长为$\sqrt{5}$，$E$为侧棱$PC$的中点，则异面直线$BE$与$PA$所成角的正切值为（）A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$C.$\sqrt{2}$D.$2$二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）已知球的表面积为$16\pi$，则该球的半径为________。已知长方体的长、宽、高分别为$3$，$4$，$5$，则该长方体外接球的直径为________。如图，在直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$AB=BC=AA_1=2$，$\angleABC=90^\circ$，则点$B_1$到平面$A_1BC$的距离为________。已知平面$\alpha$的一个法向量为$\boldsymbol{n}=(2,-2,1)$，点$A(-1,3,0)$在$\alpha$内，则点$P(2,1,4)$到平面$\alpha$的距离为________。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（本小题满分10分）如图，在三棱锥$P-ABC$中，$PA\perp$平面$ABC$，$AB\perpBC$，$PA=AB=BC=2$，$D$为$AC$的中点。（1）求证：$BD\parallel$平面$PAC$；（2）求三棱锥$P-BCD$的体积。（本小题满分12分）已知某几何体的三视图如图所示（单位：cm），其中正视图和侧视图均为等腰直角三角形，俯视图为正方形。（1）画出该几何体的直观图；（2）求该几何体的表面积和体积。（本小题满分12分）如图，在正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，$M$，$N$分别为$A_1B_1$，$A_1D_1$的中点。（1）求证：$MN\parallel$平面$BDD_1B_1$；（2）求直线$MN$与平面$ABCD$所成角的大小。（本小题满分12分）在四棱锥$P-ABCD$中，底面$ABCD$是平行四边形，$PA\perp$平面$ABCD$，$PA=AB=AD=2$，$\angleBAD=60^\circ$。（1）求证：$BD\perp$平面$PAC$；（2）求二面角$P-BC-A$的余弦值。（本小题满分12分）如图，在直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$AC=BC=AA_1=2$，$\angleACB=90^\circ$，$D$，$E$分别为$AB$，$BB_1$的中点。（1）求证：$CE\perpA_1D$；（2）求点$C_1$到平面$A_1DE$的距离。（本小题满分12分）已知正三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$的底面边长为$2$，侧棱长为$3$，$D$为$BC$的中点。（1）求证：$A_1B\parallel$平面$ADC_1$；（2）若点$P$在线段$A_1D$上，且$AP\perp$平面$ADC_1$，求线段$A_1P$的长。参考答案及评分标准一、选择题D2.B3.A4.A5.B6.D7.A8.A9.D10.C11.D12.C二、填空题$2$14.$5\sqrt{2}$15.$\frac{2\sqrt{2}}{3}$16.$3$三、解答题（1）证明：因为$AB=BC$，$D$为$AC$的中点，所以$BD\perpAC$。又$PA\perp$平面$ABC$，$BD\subset$平面$ABC$，所以$PA\perpBD$。因为$PA\capAC=A$，所以$BD\perp$平面$PAC$。（5分）（2）解：$V_{P-BCD}=V_{C-PBD}=\frac{1}{3}S_{\trianglePBD}\cdotCD$。由题意得$AC=2\sqrt{2}$，$CD=\sqrt{2}$，$S_{\trianglePBD}=\frac{1}{2}\times2\times2=2$，所以$V_{P-BCD}=\frac{1}{3}\times2\times\sqrt{2}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$。（10分）（1）直观图为底面边长为$2$，高为$2$的四棱锥（图略）。（4分）（2）表面积：$S=4\times\frac{1}{2}\times2\times\sqrt{5}+2^2=4\sqrt{5}+4$；体积：$V=\frac{1}{3}\times2^2\times2=\frac{8}{3}$。（12分）（1）证明：连接$B_1D_1$，因为$M$，$N$分别为$A_1B_1$，$A_1D_1$的中点，所以$MN\parallelB_1D_1$。又$B_1D_1\parallelBD$，所以$MN\parallelBD$。因为$BD\subset$平面$BDD_1B_1$，$MN\not\subset$平面$BDD_1B_1$，所以$MN\parallel$平面$BDD_1B_1$。（6分）（2）解：直线$MN$与平面$ABCD$所成角为$45^\circ$。（12分）（1）证明：因为$PA\perp$平面$ABCD$，$BD\subset$平面$ABCD$，所以$PA\perpBD$。在$\triangleABD$中，$AB=AD=2$，$\angleBAD=60^\circ$，所以$BD\perpAC$。因为$PA\capAC=A$，所以$BD\perp$平面$PAC$。（6分）（2）解：以$A$为原点建立坐标系，得$\cos\theta=\frac{\sqrt{21}}{7}$。（12分）（1）证明：以$C$为原点建立坐标系，$C(0,0,0)$，$E(0,2,1)$，$A_1(2,0,2)$，$D(1,1,0)$，$\overrightarrow{CE}=(0,2,1)$，$\overrightarrow{A_1D}=(-1,1,-2)$，$\overrightarrow{CE}\cdot\overrightarrow{A_1D}=0$，所以$CE\perpA_1D