2025年上学期高一数学每日一练（Day12）

2025年上学期高一数学每日一练（Day12）一、选择题（共8题，每题5分，共40分）1.已知集合(A={x|x^2-3x+2=0})，(B={x|ax-2=0})，若(B\subseteqA)，则实数(a)的取值集合为（）A.({0,1,2})B.({1,2})C.({0,2})D.({0,1})解析：解方程(x^2-3x+2=0)，得(x=1)或(x=2)，故(A={1,2})。当(B=\varnothing)时，方程(ax-2=0)无解，此时(a=0)，满足(B\subseteqA)。当(B\neq\varnothing)时，(B=\left{\frac{2}{a}\right})，由(B\subseteqA)得(\frac{2}{a}=1)或(\frac{2}{a}=2)，解得(a=2)或(a=1)。综上，(a)的取值集合为({0,1,2})，选A。2.函数(f(x)=\frac{\sqrt{x+1}}{x-1})的定义域是（）A.([-1,+\infty))B.((-1,1)\cup(1,+\infty))C.([-1,1)\cup(1,+\infty))D.((-1,+\infty))解析：要使函数有意义，需满足：根号内非负：(x+1\geq0\Rightarrowx\geq-1)；分母不为0：(x-1\neq0\Rightarrowx\neq1)。综上，定义域为([-1,1)\cup(1,+\infty))，选C。3.下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（）A.(f(x)=x^3)B.(f(x)=\sinx)C.(f(x)=\frac{1}{x})D.(f(x)=x^2)解析：A选项：(f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x))，为奇函数；且(f(x)=x^3)在(\mathbb{R})上单调递增，符合题意。B选项：(f(x)=\sinx)是奇函数，但在(\mathbb{R})上不单调（如在([0,\frac{\pi}{2}])递增，在([\frac{\pi}{2},\pi])递减）。C选项：(f(x)=\frac{1}{x})是奇函数，但在((-\infty,0))和((0,+\infty))上分别递减，不是增函数。D选项：(f(x)=x^2)是偶函数，排除。选A。4.已知函数(f(x)=\begin{cases}2x-1,&x\geq0\x^2+1,&x<0\end{cases})，则(f(f(-1))=（）A.2B.3C.4D.5解析：先求(f(-1))：(x=-1<0)，代入(f(x)=x^2+1)，得(f(-1)=(-1)^2+1=2)。再求(f(f(-1))=f(2))：(x=2\geq0)，代入(f(x)=2x-1)，得(f(2)=2\times2-1=3)。选B。5.函数(f(x)=x^2-2x+3)在区间([0,3])上的最大值和最小值分别为（）A.6，2B.6，3C.8，2D.8，3解析：函数(f(x)=x^2-2x+3)的对称轴为(x=-\frac{b}{2a}=1)，开口向上。在区间([0,3])上，最小值在对称轴(x=1)处取得：(f(1)=1-2+3=2)。比较区间端点值：(f(0)=0-0+3=3)，(f(3)=9-6+3=6)，故最大值为6。选A。6.已知(\log_23=a)，(\log_37=b)，则(\log_{14}56=（）)（用(a,b)表示）A.(\frac{ab+a+1}{ab+1})B.(\frac{ab+a+1}{ab})C.(\frac{a+b+1}{ab+1})D.(\frac{ab+b+1}{ab+1})解析：由换底公式得：(\log_{14}56=\frac{\log_256}{\log_214}=\frac{\log_2(7\times8)}{\log_2(2\times7)}=\frac{\log_27+3}{\log_22+\log_27})。已知(\log_23=a\Rightarrow\log_32=\frac{1}{a})，则(\log_27=\log_2(3^b)=b\log_23=ab)（由(\log_37=b\Rightarrow7=3^b)）。代入得：(\log_{14}56=\frac{ab+3}{1+ab})？？？（此处需修正）正确步骤：(\log_27=\log_2(3^{\log_37})=\log_37\cdot\log_23=ab)，(\log_256=\log_2(8\times7)=3+\log_27=3+ab)，(\log_214=\log_2(2\times7)=1+\log_27=1+ab)，故(\log_{14}56=\frac{ab+3}{ab+1})，但选项中无此答案，说明题目可能存在印刷错误，若将56改为28，则(\log_228=2+ab)，结果为(\frac{ab+2}{ab+1})，仍不匹配。若原题正确，可能需重新推导：由(\log_37=b\Rightarrow\log_27=\log_23\cdot\log_37=ab)，(\log_{14}56=\frac{\log_356}{\log_314}=\frac{\log_3(7\times8)}{\log_3(2\times7)}=\frac{\log_37+3\log_32}{\log_32+\log_37}=\frac{b+\frac{3}{a}}{\frac{1}{a}+b}=\frac{ab+3}{ab+1})。选项中无正确答案，可能题目应为(\log_{14}28)，此时结果为(\frac{ab+2}{ab+1})，仍不匹配。按原题选项，最接近的是A选项，可能题目中56应为28，且分子中“3”误写为“1”，此处暂选A（需注意题目可能存在错误）。7.函数(f(x)=e^x-e^{-x})的图像大致为（）A.关于原点对称的增函数B.关于y轴对称的增函数C.关于原点对称的减函数D.关于y轴对称的减函数解析：奇偶性：(f(-x)=e^{-x}-e^x=-f(x))，故为奇函数，图像关于原点对称，排除B、D。单调性：(f'(x)=e^x+e^{-x}>0)恒成立，故(f(x))在(\mathbb{R})上单调递增，排除C。选A。8.已知函数(f(x)=\log_a(x+1)+\log_a(3-x))（(a>0)且(a\neq1)）的最大值为2，则(a=（）)A.2或(\frac{1}{2})B.2C.(\frac{1}{2})D.4解析：定义域：(x+1>0)且(3-x>0\Rightarrow-1<x<3)。化简(f(x)=\log_a[(x+1)(3-x)]=\log_a(-x^2+2x+3))。令(t=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4)，则(t\in(0,4])。当(a>1)时，(f(x)_{\text{max}}=\log_a4=2\Rightarrowa^2=4\Rightarrowa=2)；当(0<a<1)时，(f(x)_{\text{max}}=\log_a4=2\Rightarrowa^2=4\Rightarrowa=-2)（舍去）。综上，(a=2)，选B。二、填空题（共4题，每题5分，共20分）9.函数(f(x)=2^x+\frac{1}{2^x})的最小值为________。解析：令(t=2^x)，则(t>0)，(f(x)=t+\frac{1}{t})。由基本不等式(t+\frac{1}{t}\geq2\sqrt{t\cdot\frac{1}{t}}=2)，当且仅当(t=1)（即(x=0)）时取等号。答案：210.已知函数(f(x)=x^3+ax^2+bx+c)，若(f(1)=0)，(f(2)=0)，(f(3)=4)，则(c=)________。解析：由(f(1)=0)，(f(2)=0)，可设(f(x)=(x-1)(x-2)(x-m)+d)，但因三次函数最高次项系数为1，故(f(x)=(x-1)(x-2)(x-m))。代入(f(3)=4)：((3-1)(3-2)(3-m)=4\Rightarrow2\times1\times(3-m)=4\Rightarrow3-m=2\Rightarrowm=1)。故(f(x)=(x-1)^2(x-2)=(x^2-2x+1)(x-2)=x^3-4x^2+5x-2)，对比系数得(c=-2)。答案：-211.若函数(f(x)=\frac{2x+1}{x-a})的图像关于点((1,2))对称，则实数(a=)________。解析：函数(f(x)=\frac{2x+1}{x-a}=2+\frac{2a+1}{x-a})，其图像可由(y=\frac{2a+1}{x})向右平移(a)个单位，向上平移2个单位得到。反比例函数(y=\frac{k}{x})的对称中心为((0,0))，故(f(x))的对称中心为((a,2))。已知对称中心为((1,2))，则(a=1)。答案：112.已知定义在(\mathbb{R})上的奇函数(f(x))满足(f(x+4)=f(x))，且当(x\in[0,2])时，(f(x)=x^2)，则(f(7)=)________。解析：由(f(x+4)=f(x))知函数周期为4，故(f(7)=f(7-2\times4)=f(-1))。因(f(x))是奇函数，(f(-1)=-f(1))。当(x=1\in[0,2])时，(f(1)=1^2=1)，故(f(7)=-1)。答案：-1三、解答题（共4题，共70分）13.（15分）已知函数(f(x)=\frac{1}{2}x^2-ax+(a-1)\lnx)（(a>1)）。（1）求函数(f(x))的单调区间；（2）若对任意(x_1,x_2\in(0,+\infty))，(x_1\neqx_2)，都有(\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}>0)，求(a)的取值范围。解析：（1）函数定义域为((0,+\infty))，求导得：(f'(x)=x-a+\frac{a-1}{x}=\frac{x^2-ax+(a-1)}{x}=\frac{(x-1)(x-(a-1))}{x})。令(f'(x)=0)，得(x=1)或(x=a-1)（(a>1\Rightarrowa-1>0)）。当(a-1>1)（即(a>2)）时：(x\in(0,1)\cup(a-1,+\infty))时，(f'(x)>0)，(f(x))单调递增；(x\in(1,a-1))时，(f'(x)<0)，(f(x))单调递减。当(a-1=1)（即(a=2)）时，(f'(x)=\frac{(x-1)^2}{x}\geq0)，(f(x))在((0,+\infty))上单调递增。当(0<a-1<1)（即(1<a<2)）时：(x\in(0,a-1)\cup(1,+\infty))时，(f'(x)>0)，(f(x))单调递增；(x\in(a-1,1))时，(f'(x)<0)，(f(x))单调递减。（2）由题意知(f(x))在((0,+\infty))上单调递增，故(f'(x)\geq0)在((0,+\infty))上恒成立。结合（1），当(a=2)时，(f'(x)\geq0)恒成立；当(a>2)或(1<a<2)时，(f(x))存在递减区间，不满足题意。综上，(a=2)，即(a)的取值范围为({2})。14.（15分）已知函数(f(x)=|x-1|+|2x+m|)（(m\in\mathbb{R})）。（1）当(m=2)时，解不等式(f(x)\leq5)；（2）若存在(x_0\in\mathbb{R})，使得(f(x_0)\leq2)成立，求(m)的取值范围。解析：（1）当(m=2)时，(f(x)=|x-1|+|2x+2|=|x-1|+2|x+1|)。分段讨论：当(x\geq1)时，(f(x)=(x-1)+2(x+1)=3x+1\leq5\Rightarrowx\leq\frac{4}{3})，故(1\leqx\leq\frac{4}{3})；当(-1<x<1)时，(f(x)=(1-x)+2(x+1)=x+3\leq5\Rightarrowx\leq2)，故(-1<x<1)；当(x\leq-1)时，(f(x)=(1-x)+2(-x-1)=-3x-1\leq5\Rightarrowx\geq-2)，故(-2\leqx\leq-1)。综上，不等式解集为([-2,\frac{4}{3}])。（2）(f(x)=|x-1|+|2x+m|=|x-1|+2|x+\frac{m}{2}|)，其最小值在分段点处取得。令(x-1=0\Rightarrowx=1)，(x+\frac{m}{2}=0\Rightarrowx=-\frac{m}{2})。当(-\frac{m}{2}\leq1)（即(m\geq-2)）时，(f(x))在(x=-\frac{m}{2})处取得最小值：(f(-\frac{m}{2})=|-\frac{m}{2}-1|+0=|\frac{m}{2}+1|\leq2\Rightarrow-2\leq\frac{m}{2}+1\leq2\Rightarrow-6\leqm\leq2)，结合(m\geq-2)，得(-2\leqm\leq2)。当(-\frac{m}{2}>1)（即(m<-2)）时，(f(x))在(x=1)处取得最小值：(f(1)=0+|2+m|\leq2\Rightarrow-2\leqm+2\leq2\Rightarrow-4\leqm\leq0)，结合(m<-2)，得(-4\leqm<-2)。综上，(m)的取值范围为([-4,2])。15.（20分）已知函数(f(x)=a^x-k\cdota^{-x})（(a>0)且(a\neq1)）是定义域为(\mathbb{R})的奇函数，且(f(1)=\frac{3}{2})。（1）求(k)和(a)的值；（2）判断(f(x))的单调性，并证明；（3）若(f(x^2+tx)+f(4-x)>0)对任意(x\in[1,2])恒成立，求实数(t)的取值范围。解析：（1）因(f(x))是奇函数，故(f(0)=0\Rightarrowa^0-k\cdota^0=1-k=0\Rightarrowk=1)。又(f(1)=a-\frac{1}{a}=\frac{3}{2}\Rightarrow2a^2-3a-2=0\Rightarrow(2a+1)(a-2)=0)，解得(a=2)（(a>0)）。（2）(f(x)=2^x-2^{-x})，在(\mathbb{R})上单调递增，证明如下：任取(x_1<x_2)，则(f(x_1)-f(x_2)=(2^{x_1}-2^{-x_1})-(2^{x_2}-2^{-x_2})=(2^{x_1}-2^{x_2})+(2^{-x_2}-2^{-x_1}))。因(x_1<x_2)，(2^{x_1}<2^{x_2}\Rightarrow2^{x_1}-2^{x_2}<0)；(-x_2<-x_1\Rightarrow2^{-x_2}<2^{-x_1}\Rightarrow2^{-x_2}-2^{-x_1}<0)；故(f(x_1)-f(x_2)<0\Rightarrowf(x_1)<f(x_2))，即(f(x))在(\mathbb{R})上递增。（3）由(f(x))是奇函数且递增，得：(f(x^2+tx)+f(4-x)>0\Rightarrowf(x^2+tx)>-f(4-x)=f(x-4)\Rightarrowx^2+tx>x-4)对(x\in[1,2])恒成立。整理得：(x^2+(t-1)x+4>0)，令(g(x)=x^2+(t-1)x+4)，(x\in[1,2])。对称轴为(x=\frac{1-t}{2})，需分情况讨论：当(\frac{1-t}{2}\leq1)（即(t\geq-1)）时，(g(x)_{\text{min}}=g(1)=1+t-1+4=t+4>0\Rightarrowt>-4)，故(t\geq-1)；当(1<\frac{1-t}{2}<2)（即(-3<t<-1)）时，(g(x)_{\text{min}}=g\left(\frac{1-t}{2}\right)=4-\frac{(t-1)^2}{4}>0\Rightarrow(t-1)^2<16\Rightarrow-3<t<5)，故(-3<t<-1)；当(\frac{1-t}{2}\geq2)（即(t\leq-3)）时，(g(x)_{\text{min}}=g(2)=4+2(t-1)+4=2t+6>0\Rightarrowt>-3)，此时无解。综上，(t>-3)，即(t)的取值范围为((-3,+\infty))。16.（20分）已知函数(f(x)=\log_a(1-x)+\log_a(x+3))（(a>0)且(a\neq1)）。（1）求函数(f(x))的定义域和值域；（2）若函数(f(x))的最小值为(-2)，求(a)的值。解析：（1）定义域：由(\begin{cases}1-x>0\x+3>0\end{cases}\