2025年上学期高一数学每日一练（Day30）

2025年上学期高一数学每日一练（Day30）一、选择题（共10题，每题5分，共50分）已知集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|x²-ax+a-1=0}，若A∪B=A，则实数a的值为（）A.2B.3C.2或3D.1或2或3函数f(x)=√(x-1)+1/(x-2)的定义域是（）A.[1,+∞)B.(1,+∞)C.[1,2)∪(2,+∞)D.(1,2)∪(2,+∞)下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（）A.y=x+1B.y=-x³C.y=x|x|D.y=x²已知函数f(x)=2x+1，g(x)=x²-2x，则f(g(2))的值为（）A.5B.7C.9D.11函数y=log₂(x²-4x+5)的最小值是（）A.0B.1C.2D.3已知sinα=3/5，α∈(π/2,π)，则cos(α-π/4)的值为（）A.-7√2/10B.-√2/10C.√2/10D.7√2/10函数y=sin(2x+π/3)的最小正周期和振幅分别是（）A.π,1B.2π,1C.π,2D.2π,2已知向量a=(2,3)，b=(m,4)，若a⊥b，则m的值为（）A.-6B.-8/3C.8/3D.6在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若a=3，b=4，c=5，则sinA的值为（）A.3/5B.4/5C.3/4D.4/3已知直线l₁:ax+2y+6=0与l₂:x+(a-1)y+a²-1=0平行，则实数a的值为（）A.-1B.2C.-1或2D.1或-2二、填空题（共5题，每题6分，共30分）已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=x²-2x，则f(-1)=______。函数y=2x³-3x²-12x+5在区间[0,3]上的最大值是______。已知tanα=2，则(sinα+cosα)/(sinα-cosα)=______。已知向量a=(1,2)，b=(3,4)，则向量a在向量b方向上的投影为______。圆x²+y²-4x+6y-12=0的圆心坐标是______，半径是______。三、解答题（共6题，共70分）（10分）已知集合A={x|x²-4x+3<0}，B={x|2x-3>0}，求A∩B，A∪B，∁RA。（12分）已知函数f(x)=x²-2ax+3在区间[1,2]上的最小值为4，求实数a的值。（12分）已知sinα+cosα=1/5，α∈(0,π)，求sinα-cosα和tanα的值。（12分）已知向量a=(1,2)，b=(-3,4)。（1）求向量a与b的夹角；（2）若向量c满足c//a，且|c|=2√5，求向量c的坐标。（12分）已知圆C经过点A(1,1)，B(2,-2)，且圆心在直线x-y+1=0上，求圆C的方程。（12分）已知函数f(x)=log₂(x+1)+log₂(3-x)。（1）求函数f(x)的定义域；（2）求函数f(x)的最大值，并求此时x的值。参考答案与解析一、选择题C解析：A={1,2}，B={x|(x-1)(x-a+1)=0}={1,a-1}。因为A∪B=A，所以B⊆A，所以a-1=1或a-1=2，即a=2或a=3。C解析：要使函数有意义，需满足x-1≥0且x-2≠0，即x≥1且x≠2，所以定义域为[1,2)∪(2,+∞)。C解析：A是非奇非偶函数；B是奇函数，但在R上是减函数；C是奇函数，且在R上是增函数；D是偶函数。B解析：g(2)=2²-2×2=0，f(g(2))=f(0)=2×0+1=1。A解析：令t=x²-4x+5=(x-2)²+1≥1，所以y=log₂t≥log₂1=0，即最小值为0。B解析：因为α∈(π/2,π)，所以cosα=-4/5。cos(α-π/4)=cosαcosπ/4+sinαsinπ/4=(-4/5)(√2/2)+(3/5)(√2/2)=(-√2)/10。A解析：函数y=sin(2x+π/3)的最小正周期T=2π/2=π，振幅是1。A解析：因为a⊥b，所以a·b=2m+12=0，解得m=-6。A解析：因为a=3，b=4，c=5，所以△ABC是直角三角形，C=90°，所以sinA=a/c=3/5。A解析：因为l₁//l₂，所以a(a-1)-2×1=0，即a²-a-2=0，解得a=-1或a=2。当a=2时，l₁:2x+2y+6=0，l₂:x+y+3=0，两直线重合，所以a=-1。二、填空题2解析：因为f(x)是偶函数，所以f(-1)=f(1)=1²-2×1=1-2=-1。5解析：y'=6x²-6x-12=6(x²-x-2)=6(x-2)(x+1)，令y'=0，得x=2或x=-1（舍）。当x∈[0,2)时，y'<0，函数单调递减；当x∈(2,3]时，y'>0，函数单调递增。所以当x=0时，y=5；当x=3时，y=2×27-3×9-12×3+5=54-27-36+5=-4，所以最大值为5。3解析：(sinα+cosα)/(sinα-cosα)=(tanα+1)/(tanα-1)=(2+1)/(2-1)=3。11/5解析：向量a在向量b方向上的投影为(a·b)/|b|=(1×3+2×4)/√(3²+4²)=11/5。(2,-3)，5解析：将圆的方程化为标准方程：(x-2)²+(y+3)²=25，所以圆心坐标是(2,-3)，半径是5。三、解答题解：A={x|1<x<3}，B={x|x>3/2}A∩B={x|3/2<x<3}A∪B={x|x>1}∁RA={x|x≤1或x≥3}解：f(x)=x²-2ax+3=(x-a)²+3-a²，对称轴为x=a。当a≤1时，f(x)在[1,2]上单调递增，f(x)min=f(1)=1-2a+3=4-2a=4，解得a=0。当1<a<2时，f(x)min=f(a)=3-a²=4，解得a²=-1，无解。当a≥2时，f(x)在[1,2]上单调递减，f(x)min=f(2)=4-4a+3=7-4a=4，解得a=3/4（舍）。综上，a=0。解：因为sinα+cosα=1/5，所以(sinα+cosα)²=1/25，即1+2sinαcosα=1/25，所以2sinαcosα=-24/25<0。因为α∈(0,π)，所以sinα>0，cosα<0，所以sinα-cosα>0。(sinα-cosα)²=1-2sinαcosα=1+24/25=49/25，所以sinα-cosα=7/5。联立sinα+cosα=1/5和sinα-cosα=7/5，解得sinα=4/5，cosα=-3/5，所以tanα=sinα/cosα=-4/3。解：（1）a·b=1×(-3)+2×4=5，|a|=√(1+4)=√5，|b|=√(9+16)=5。cosθ=(a·b)/(|a||b|)=5/(√5×5)=1/√5=√5/5，所以θ=arccos(√5/5)。（2）因为c//a，所以设c=λa=(λ,2λ)。|c|=√(λ²+4λ²)=√5|λ|=2√5，所以|λ|=2，λ=±2。所以c=(2,4)或(-2,-4)。解：设圆心C(a,b)，则a-b+1=0，即b=a+1。|CA|=|CB|，所以√[(a-1)²+(b-1)²]=√[(a-2)²+(b+2)²]。平方得(a-1)²+(b-1)²=(a-2)²+(b+2)²，即a²-2a+1+b²-2b+1=a²-4a+4+b²+4b+4，化简得2a-6b+6=0，即a-3b+3=0。联立b=a+1和a-3b+3=0，解得a=-3，b=-2。所以圆心C(-3,-2)，半径r=|CA|=√[(-3-1)²+(-2-1)²]=√(16+9)=5。所以圆C的方程为(x+3)²+(y+2)²=25