2025年上学期高一数学审美素养教育试题（二）

2025年上学期高一数学审美素养教育试题（二）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）古希腊数学家毕达哥拉斯认为“万物皆数”，尤其推崇整数的和谐美。在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A.正三角形B.正五边形C.正方形D.扇形分形几何是20世纪数学领域的重大发现，其自相似性展现出无穷嵌套的美感。科赫雪花曲线是典型的分形图形，它是由等边三角形通过无限次迭代生成的。若初始等边三角形边长为1，则第3次迭代后图形的周长为（）A.3×(4/3)³B.3×(3/4)³C.3×(1/3)³D.3×(2/3)³黄金分割比φ=(√5-1)/2≈0.618，被广泛应用于艺术、建筑等领域。已知线段AB=10，点C为AB的黄金分割点（AC<CB），则AC的长度为（）A.5(√5-1)B.5(3-√5)C.10(√5-1)D.10(3-√5)函数图像的对称性是数学美的重要体现。下列函数中，图像关于直线x=1对称的是（）A.f(x)=x²-2x+3B.f(x)=|x-1|+|x+1|C.f(x)=2ˣ+2⁻ˣD.f(x)=log₂(x+1)太极图是中国传统文化中体现阴阳平衡的经典图形，其形状可近似看作两个相切的半圆。若太极图的直径为2，则图中阴影部分的面积为（）A.π/4B.π/2C.πD.2π数学公式的简洁美在三角函数中尤为突出。已知sinα+cosα=1/5，α∈(0,π)，则sin2α的值为（）A.12/25B.-12/25C.24/25D.-24/25阿波罗尼斯圆是平面内到两定点距离之比为常数（不为1）的点的轨迹，具有完美的对称性。已知平面内两点A(-1,0)，B(2,0)，动点P满足PA/PB=1/2，则点P的轨迹方程为（）A.x²+y²+4x=0B.x²+y²-4x=0C.x²+y²+2x=0D.x²+y²-2x=0杨辉三角（帕斯卡三角）展现了二项式系数的对称性和规律性。根据杨辉三角的规律，(a+b)⁸展开式中系数最大的项是（）A.第4项B.第5项C.第6项D.第4项和第5项晶体结构中原子的排列具有严格的周期性，体现了数学的对称美。某晶体的基本结构单元为正八面体（八个等边三角形构成的多面体），则该正八面体的顶点数为（）A.6B.8C.10D.12斐波那契数列（1,1,2,3,5,8,...）因蕴含自然生长规律而被誉为“上帝的指纹”。若数列{aₙ}为斐波那契数列，即a₁=1,a₂=1,aₙ₊₂=aₙ₊₁+aₙ，则a₁₀的值为（）A.34B.55C.89D.144二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）我国古代数学名著《九章算术》中记载的“弦图”（如图1），由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形。若直角三角形的两条直角边分别为3和4，则弦图中大正方形的面积为________。函数f(x)=x+4/x(x>0)的图像在x=处取得最低点，此时函数值为。（本小题第一空2分，第二空3分）谢尔宾斯基三角形是一种经典的分形图形，将一个等边三角形挖去中心的小等边三角形得到第一个图形，再对剩余的小三角形重复上述操作。若初始三角形面积为1，则第n次操作后图形的面积为________。在空间直角坐标系中，正四面体的四个顶点坐标分别为(0,0,0)，(1,0,0)，(1/2,√3/2,0)，(1/2,√3/6,h)，则该正四面体的高h=，体积为。（本小题第一空2分，第二空3分）数学中的对称多项式具有轮换不变的美感。已知x+y+z=0，则x³+y³+z³=________。三、解答题（本大题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（本小题满分14分）黄金矩形是指宽与长的比值为黄金分割比φ=(√5-1)/2的矩形，具有独特的视觉美感。（1）证明：将黄金矩形截去一个以宽为边长的正方形后，剩余部分仍是黄金矩形；（2）若某黄金矩形的面积为20，求其长和宽。（本小题满分15分）函数的周期性是自然界循环规律的数学抽象，如潮汐涨落、昼夜交替等都可近似用周期函数描述。已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x+2)=-f(x)。（1）证明：函数f(x)的周期为4；（2）若当x∈[0,1]时，f(x)=x²，求f(2025)的值及x∈[1,3]时的函数解析式。（本小题满分15分）在立体几何中，正多面体因其完美的对称性而备受关注。已知正四面体ABCD的棱长为a。（1）求正四面体的高；（2）求其外接球的表面积；（3）若在正四面体的每个顶点放置一个点电荷，电荷量均为q，根据库仑定律，顶点A所受的静电力大小与各电荷间距离的平方成反比。试写出顶点A所受静电力大小的表达式（比例系数为k，只需列出式子，无需计算结果）。（本小题满分16分）分形艺术是数学与艺术结合的典范，科赫曲线的生成过程如下：第0阶段：一条长度为L的线段；第1阶段：将线段三等分，以中间一段为底边向外作等边三角形，然后去掉底边；第2阶段：对每条线段重复第1阶段的操作；……如此无限迭代下去，最终形成科赫曲线。（1）计算第n阶段图形的总长度Lₙ；（2）证明：当n→∞时，图形的面积趋近于一个常数（提示：第1阶段增加的面积为√3L²/36）；（3）简述分形图形的两个主要特征。（本小题满分15分）数学在音乐理论中有着广泛应用，音高由声波的频率决定，频率之比为简单整数比的音程听起来更和谐。例如：八度音程：频率比2:1纯五度：频率比3:2纯四度：频率比4:3已知某音阶中C音的频率为261.63Hz（记为f₀），其上方第n个半音的频率为fₙ=f₀×2ⁿ/¹²。（1）求C音上方纯五度（7个半音）的G音频率（精确到0.01Hz）；（2）证明：八度音程的频率比为2:1；（3）某和弦由C、E、G三个音组成，其频率比约为4:5:6，这三个音的频率分别对应上方0、4、7个半音。验证该频率比是否接近实际频率比，并分析这种简单整数比为何能产生和谐的听觉效果。四、探究题（本大题共1小题，共15分）雪花曲线、海岸线长度、股票价格波动等现象都表现出分形特征。（1）收集生活中的三个分形实例，并简述其自相似性；（2）用坐标纸绘制一个简单的分形图形（要求至少完成3次迭代），并描述其生成规则；（3）结合数学史，说明分形几何的创立对传统几何学的突破。参考答案及评分标准（此处省略，实际考试中应附详细解析）说明：本试卷满分150分，考试用时120分钟。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其