2025年上学期高一数学实际生活应用试题

2025年上学期高一数学实际生活应用试题一、函数模型应用综合题（25分）（一）购物消费优化问题某超市为促销推出两种会员方案：方案A：每月会员费50元，所有商品享受9折优惠；方案B：每月会员费100元，所有商品享受8折优惠（其中生鲜类商品额外再享9.5折）。已知小明家每月在该超市购物平均消费结构如下：食品类：800元（其中生鲜占60%）日用品类：300元其他商品：200元（1）分别建立两种方案下月消费总额y（元）与基本购物金额x（元）的函数关系；（2）通过计算判断小明家选择哪种会员方案更划算；（3）若小明家计划每月节省30元以上购物开支，在方案B基础上，每月购物总金额需控制在什么范围？（二）环境治理模型题某化工厂2025年1月投入治污设备后，每月的污染排放量y（单位：吨）与月份x（1≤x≤12）的关系满足函数模型y=200·(0.8)^x+10x+50。环保部门要求该厂每月污染排放量不得超过180吨。（1）计算3月份和6月份的污染排放量；（2）求该函数的单调区间，并判断哪几个月需要加强治污措施；（3）若每吨污染物处理成本为2000元，计算全年治污总费用。二、三角函数应用题（20分）（一）建筑遮阳设计某居民楼阳台朝南，为设计遮阳篷，测得夏至日正午太阳高度角为75°，冬至日正午太阳高度角为30°（太阳高度角θ=90°-|当地纬度-太阳直射点纬度|）。已知阳台宽1.2米，窗台高0.8米。（1）若要求夏至日正午阳光刚好照到窗台内侧，计算遮阳篷的伸出长度；（2）在（1）的条件下，计算冬至日正午阳光照进阳台的深度；（3）若遮阳篷采用可调节角度设计，当太阳高度角为θ时，写出遮阳篷最佳伸出长度L与θ的函数关系（精确到0.01米）。（二）简谐运动模型某医疗器械的振动部件做简谐运动，其位移y（cm）与时间t（s）的关系为y=4sin(πt+π/3)。（1）求该振动的振幅、周期和初相位；（2）计算t=0.5s时的位移和速度（速度v=y'）；（3）若振幅减小为原来的3/4，频率增加一倍，写出新的振动方程。三、数列与不等式应用题（25分）（一）教育基金规划小明父母2025年1月开始每月初存入教育基金a元，月利率为0.3%，按复利计算（即每月利息计入下月本金）。（1）写出第n个月存款后的本利和an的递推公式；（2）求2027年12月存款后的本利和总额（精确到1元）；（3）若2028年9月需支付大学入学费用5万元，每月至少需存入多少元？（二）校园快递柜配置某校快递驿站现有5个快递柜，每个柜子有36个格口。随着网购增加，快递量逐月增长，2025年3月快递总量为2000件，以后每月递增150件。（1）若每个格口平均存放1.2件快递，建立快递柜缺口数y与月份x（x≥3）的函数关系；（2）若每增加1个快递柜需投入2000元，每月维护费50元/柜，预测2025年下学期（9-12月）需新增多少个快递柜，总费用多少元？（3）为节约成本，驿站采取"柜+临时货架"模式，每个货架可临时存放80件，成本仅为快递柜的1/5。写出总成本C与新增快递柜数量n的函数关系，并求n为何值时成本最低。四、立体几何与空间向量应用题（20分）（一）仓储货架设计某仓库设计三层货架，底层是棱长为1.2m的正方体货格，中层是底面边长0.8m的正四棱柱，顶层是底面直径0.6m的圆柱。货架总高度2.8m，层间距0.3m。（1）计算每层的内部高度（精确到0.01m）；（2）若存放半径0.2m的球型货物，每层最多能放多少个？（3）设计斜拉式加固杆，从底层一角到顶层对角，计算加固杆的长度和与水平面的夹角。（二）无人机测绘某无人机在100米高空测得教学楼顶部俯角为30°，前进50米后测得俯角为45°（俯角为视线与水平线的夹角）。（1）计算教学楼的高度；（2）若无人机保持高度不变，要拍摄教学楼全景，需距离教学楼底部多远？（3）建立空间直角坐标系，写出无人机两次观测点和教学楼顶部的坐标。五、概率统计与线性规划综合题（30分）（一）校园食品安全检测学校食堂每天抽检5种食材，每种食材合格率为0.95，且各食材合格与否相互独立。（1）求一天抽检全部合格的概率；（2）若连续三天至少有两天全部合格，则评为"食品安全示范窗口"，求获得该称号的概率；（3）建立抽检合格食材数X的分布列，并计算数学期望和方差。（二）校园共享单车调度某校现有A、B两个停车点，A点可容纳80辆，B点可容纳60辆。早高峰后统计：A点有65辆（其中20辆需调度到B点），B点有48辆（其中15辆需调度到A点）。每辆调度成本：A→B为2元，B→A为3元。（1）设从A调x辆到B，从B调y辆到A，建立总成本C的线性规划模型；（2）求最低调度成本及此时的调度方案；（3）若每辆单车日均收益12元，调度后车辆利用率从70%提升到90%，计算调度后每月（30天）增加的收益。（三）成绩分析模型某班50名学生的数学期中考试成绩（分）服从正态分布N(75,10²)。（1）计算成绩在[65,85]的学生人数；（2）若按120%的比例划定及格线（满分150分），计算及格线分数；（3）建立成绩y与学习时长t（小时/周）的线性回归方程，若某学生每周学习15小时，预测其成绩（参考数据：̅=10，̅=75，=120，=800，=1050）。六、附加探究题（10分）新能源汽车优化配置某小区计划采购10辆新能源汽车作为共享用车，现有A、B两种车型选择：A型车单价12万元，续航400km，百公里电耗15度；B型车单价15万元，续航600km，百公里电耗12度。小区充电桩最大功率允许总续航不超过5000km，购车预算不超过130万元。（1）建立购车方案的线性规划模型；（2）若每辆车年均运营里程1.5万