2025年上学期高一数学数学建模初步实践试题

2025年上学期高一数学数学建模初步实践试题一、校园共享单车投放优化模型题目背景某校为解决学生通勤问题，计划在东西两个校区投放共享单车。已知：东校区有3栋宿舍楼（A、B、C），西校区有2栋宿舍楼（D、E），各楼栋学生人数如表1所示；单车需停放在指定区域，东校区设2个停放点（F、G），西校区设1个停放点（H），各停放点最大容量均为50辆；学生骑行意愿与距离相关：距离≤300米时，80%学生会选择骑行；300米＜距离≤500米时，50%学生会选择骑行；距离＞500米时，无人骑行。各楼栋到停放点的距离如表2所示。表1：各楼栋学生人数|楼栋|A|B|C|D|E||------|-----|-----|-----|-----|-----||人数|420|380|500|300|450|表2：楼栋到停放点的距离（单位：米）|楼栋|F|G|H||------|------|------|------||A|200|450|-||B|350|250|-||C|400|300|-||D|-|-|280||E|-|-|420|问题模型假设：列出3条以上合理假设（如：忽略天气影响、学生出行时间均匀分布等）。需求预测：计算各停放点的理论骑行需求量（即选择骑行的学生人数）。优化投放：若学校计划投放120辆单车，如何分配到F、G、H三个停放点，才能使被满足的骑行需求最大？解答要求用表格呈现各停放点的需求量计算过程；建立投放量分配的数学模型（需明确目标函数和约束条件）；给出具体分配方案，并说明理由。二、社区垃圾分类效率评估模型题目背景某社区推行“智能垃圾分类站+积分奖励”模式，需评估其运行效率。相关数据如下：硬件配置：3个智能分类站（甲、乙、丙），各配备2个可回收物投放口和1个其他垃圾投放口，单次投放时间为10秒/户；居民数据：社区共800户，分为A、B、C三个片区，各片区户数及到分类站的平均步行时间如表3所示；投放习惯：70%住户每日投放1次垃圾，30%住户每2日投放1次；可回收物占比为30%（每户每次投放量约1kg）；积分规则：投放1kg可回收物得2积分，1积分可兑换0.1元日用品。表3：各片区住户及步行时间|片区|户数|到甲站时间（分钟）|到乙站时间（分钟）|到丙站时间（分钟）||------|------|--------------------|--------------------|--------------------||A|300|5|12|8||B|250|10|6|15||C|250|15|8|5|问题效率指标：定义2个评估垃圾分类效率的核心指标（如：日均处理户数、积分兑换率等），并解释其意义。瓶颈分析：若每日7:00-9:00为投放高峰（占全日投放量的60%），计算各分类站的最大处理能力（户/小时），并判断是否存在拥堵风险（即需求超过能力）。改进建议：若丙站高峰期排队超过15分钟，提出2条具体改进措施（如：增加投放口、调整积分规则等），并说明理论依据。解答要求写出指标计算公式，并代入数据计算结果；用柱状图对比各站点的处理能力与高峰需求；对改进措施进行可行性分析（需涉及成本、居民接受度等）。三、校园食堂排队时间预测模型题目背景某校食堂有3个窗口（①、②、③），提供套餐、面食、小吃三类餐品，午餐时段（11:30-13:00）的客流数据如下：客流分布：11:30-12:00为高峰，平均每分钟8人；12:00-12:30为平峰，平均每分钟5人；12:30-13:00为低峰，平均每分钟3人；服务效率：套餐窗口（①）平均1分钟/人，面食窗口（②）平均2分钟/人，小吃窗口（③）平均1.5分钟/人；选择偏好：学生选择套餐、面食、小吃的比例为5:3:2。问题模型构建：建立排队时间预测模型，需考虑时段客流差异和窗口服务效率。时间计算：分别计算11:45（高峰）和12:45（低峰）到达食堂的学生，平均排队等待时间。优化建议：若食堂可增派1名厨师（可使1个窗口服务效率提升50%），应优先分配到哪个窗口？说明理由。解答要求用流程图表示排队系统的构成（如：客流→窗口选择→服务→离开）；列出等待时间计算公式，分步代入数据计算；通过对比优化前后的等待时间，验证建议的有效性。四、城市公园绿地规划模型题目背景某城市拟新建一个三角形公园，三顶点坐标为A(0,0)、B(800,0)、C(400,600)（单位：米），需在园内规划一片矩形草坪，要求：草坪一边在AB边上，另两个顶点分别在AC、BC边上；草坪面积不小于50000平方米，且周长不超过400米；草坪中心需设置一个半径为20米的圆形花坛。问题坐标建模：设草坪在AB边上的顶点坐标为(x,0)和(y,0)（x＜y），用x、y表示草坪的长和宽，写出面积S的表达式。约束条件：根据题目要求，列出x、y满足的所有不等式（需结合几何关系推导）。方案设计：给出一组符合条件的草坪顶点坐标（x,y），并计算其面积和周长。解答要求画出公园与草坪的示意图，标注关键点坐标；推导AC、BC边的直线方程，并用解析几何方法求草坪的宽；验证所设计方案是否满足所有约束条件。五、数据建模综合题：短视频用户行为分析题目背景某短视频平台收集了500名用户的周均使用数据，部分变量如表4所示，需分析用户留存率（周均使用≥3次定义为“留存用户”）的影响因素。表4：用户行为变量说明|变量|定义|数据类型||--------|-------------------------------|----------------||年龄|用户年龄（岁）|连续型（12-60）||时长|单次使用时长（分钟）|连续型（1-120）||互动率|点赞+评论+分享次数/观看视频数|连续型（0-1）||内容偏好|游戏/美食/教育/娱乐|分类变量|问题数据预处理：若“时长”变量存在10%的缺失值，列出2种处理方法，并说明适用场景。相关性分析：选择2个连续型变量，提出关于其与留存率关系的假设（如：“时长越长，留存率越高”），并设计验证方案（需说明样本分组、统计量选择等）。模型选择：若要建立留存率预测模型，选择一种合适的数学