2025年上学期高一数学章节小测（第八章）

2025年上学期高一数学章节小测（第八章）一、章节核心知识点梳理1.1基本概念向量的定义：既有大小又有方向的量称为向量，记作$\vec{a}$或$\overrightarrow{AB}$。向量的大小称为模，记作$|\vec{a}|$或$|\overrightarrow{AB}|$。特殊向量：零向量：模为0的向量，方向任意，记作$\vec{0}$。单位向量：模为1的向量，若$\vec{a}\neq\vec{0}$，则与$\vec{a}$同向的单位向量为$\vec{e}=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$。平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，规定零向量与任意向量平行。相等向量：模相等且方向相同的向量，与起点无关。1.2向量的线性运算向量加法：三角形法则：$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$；平行四边形法则：以$\vec{a}$，$\vec{b}$为邻边的平行四边形中，对角线向量$\vec{a}+\vec{b}$。运算律：交换律$\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$；结合律$(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$。向量减法：$\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$，几何意义为$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}$。数乘运算：定义：实数$\lambda$与向量$\vec{a}$的乘积$\lambda\vec{a}$是向量，模为$|\lambda||\vec{a}|$，方向由$\lambda$符号决定（$\lambda>0$同向，$\lambda<0$反向，$\lambda=0$为零向量）。运算律：$\lambda(\mu\vec{a})=(\lambda\mu)\vec{a}$，$(\lambda+\mu)\vec{a}=\lambda\vec{a}+\mu\vec{a}$，$\lambda(\vec{a}+\vec{b})=\lambda\vec{a}+\lambda\vec{b}$。1.3向量的坐标表示平面向量基本定理：若$\vec{e_1}$，$\vec{e_2}$是同一平面内不共线的向量，则对该平面内任意向量$\vec{a}$，存在唯一一对实数$\lambda_1$，$\lambda_2$，使得$\vec{a}=\lambda_1\vec{e_1}+\lambda_2\vec{e_2}$。其中${\vec{e_1},\vec{e_2}}$称为基底。坐标运算：若$\vec{a}=(x_1,y_1)$，$\vec{b}=(x_2,y_2)$，则：$\vec{a}+\vec{b}=(x_1+x_2,y_1+y_2)$；$\vec{a}-\vec{b}=(x_1-x_2,y_1-y_2)$；$\lambda\vec{a}=(\lambdax_1,\lambday_1)$；$|\vec{a}|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}$。1.4向量的数量积定义：$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$，其中$\theta$为$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角（$0\leq\theta\leq\pi$）。几何意义：$\vec{a}\cdot\vec{b}$等于$|\vec{a}|$与$\vec{b}$在$\vec{a}$方向上的投影$|\vec{b}|\cos\theta$的乘积。坐标运算：若$\vec{a}=(x_1,y_1)$，$\vec{b}=(x_2,y_2)$，则$\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2$。性质：$\vec{a}\perp\vec{b}\Leftrightarrow\vec{a}\cdot\vec{b}=0$（$\vec{a}$，$\vec{b}$为非零向量）；$\vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2$，即$|\vec{a}|=\sqrt{\vec{a}\cdot\vec{a}}$；$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2}}$。二、典型例题及解析例1：向量的线性运算与共线定理题目：已知$\vec{a}$，$\vec{b}$不共线，且$\vec{c}=2\vec{a}-\vec{b}$，$\vec{d}=3\vec{a}-2\vec{b}$，若$\vec{c}$与$\vec{d}$共线，求实数$\lambda$的值（注：原题中“$\lambda$”应为笔误，修正为判断$\vec{c}$与$\vec{d}$是否共线并说明理由）。解析：假设$\vec{c}$与$\vec{d}$共线，则存在实数$k$，使得$\vec{c}=k\vec{d}$，即：$2\vec{a}-\vec{b}=k(3\vec{a}-2\vec{b})\Rightarrow(2-3k)\vec{a}+(2k-1)\vec{b}=\vec{0}$。由于$\vec{a}$，$\vec{b}$不共线，故系数需同时为0：$\begin{cases}2-3k=0\2k-1=0\end{cases}\Rightarrowk=\frac{2}{3}$且$k=\frac{1}{2}$，矛盾。因此$\vec{c}$与$\vec{d}$不共线。例2：向量的坐标运算与模长计算题目：已知$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(-3,4)$，求：（1）$2\vec{a}-3\vec{b}$；（2）$|\vec{a}+\vec{b}|$；（3）$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角$\theta$。解析：（1）$2\vec{a}=(2,4)$，$3\vec{b}=(-9,12)$，故$2\vec{a}-3\vec{b}=(2-(-9),4-12)=(11,-8)$。（2）$\vec{a}+\vec{b}=(1-3,2+4)=(-2,6)$，则$|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{(-2)^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$。（3）$\vec{a}\cdot\vec{b}=1\times(-3)+2\times4=-3+8=5$，$|\vec{a}|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$|\vec{b}|=\sqrt{(-3)^2+4^2}=5$，故$\cos\theta=\frac{5}{\sqrt{5}\times5}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，因此$\theta=\arccos\frac{\sqrt{5}}{5}$。例3：数量积的应用——垂直与投影题目：已知$\vec{a}=(m,1)$，$\vec{b}=(1,m)$，且$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角为钝角，求$m$的取值范围。解析：夹角为钝角的条件是$\vec{a}\cdot\vec{b}<0$且$\vec{a}$与$\vec{b}$不共线。$\vec{a}\cdot\vec{b}=m\times1+1\timesm=2m<0\Rightarrowm<0$；若$\vec{a}$与$\vec{b}$共线，则$m\timesm-1\times1=0\Rightarrowm^2=1\Rightarrowm=\pm1$。当$m=-1$时，$\vec{a}=(-1,1)$，$\vec{b}=(1,-1)$，此时$\vec{a}=-\vec{b}$，夹角为$\pi$（平角），不符合钝角定义，需排除。综上，$m$的取值范围是$(-\infty,-1)\cup(-1,0)$。三、练习题3.1基础题（共60分）一、选择题（每题5分，共20分）下列命题正确的是（）A.若$|\vec{a}|=|\vec{b}|$，则$\vec{a}=\vec{b}$或$\vec{a}=-\vec{b}$B.若$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$，则$\vec{a}=\vec{0}$或$\vec{b}=\vec{0}$C.若$\vec{a}\parallel\vec{b}$，$\vec{b}\parallel\vec{c}$，则$\vec{a}\parallel\vec{c}$D.若$\vec{a}=\vec{b}$，则$|\vec{a}|=|\vec{b}|$且方向相同已知$\vec{a}=(2,-1)$，$\vec{b}=(x,2)$，若$\vec{a}\perp\vec{b}$，则$x=$（）A.$-1$B.$1$C.$-4$D.$4$向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(3,4)$，则$2\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{b}=$（）A.$(-\frac{1}{2},0)$B.$(\frac{1}{2},0)$C.$(-\frac{1}{2},2)$D.$(\frac{1}{2},2)$若$\vec{a}=(1,m)$，$\vec{b}=(m,4)$，且$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角为锐角，则$m$的取值范围是（）A.$(0,+\infty)$B.$(2,+\infty)$C.$(0,2)\cup(2,+\infty)$D.$(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)$二、填空题（每题5分，共20分）5.已知$\vec{a}=(3,-4)$，则$|\vec{a}|=$，与$\vec{a}$同向的单位向量是。6.若$\vec{a}+\vec{b}=(2,-8)$，$\vec{a}-\vec{b}=(-8,16)$，则$\vec{a}=$，$\vec{b}=$。7.已知$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(2,k)$，且$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角为$45^\circ$，则$k=$。8.在$\triangleABC$中，$\overrightarrow{AB}=(2,3)$，$\overrightarrow{AC}=(1,k)$，若$\angleA=90^\circ$，则$k=$。三、解答题（每题10分，共20分）9.已知$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(-3,2)$，（1）求$|\vec{a}+\vec{b}|$和$|\vec{a}-\vec{b}|$；（2）当$k$为何值时，$(k\vec{a}+\vec{b})$与$(\vec{a}-3\vec{b})$垂直？已知点$A(1,2)$，$B(3,4)$，$C(5,0)$，（1）求$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$；（2）求$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$及$\triangleABC$的面积。3.2提高题（共40分）一、解答题（每题10分，共20分）11.已知$\vec{a}$，$\vec{b}$是单位向量，且$\vec{a}+\vec{b}=(1,0)$，求$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角。12.在四边形$ABCD$中，$\overrightarrow{AB}=(1,2)$，$\overrightarrow{BC}=(-4,-1)$，$\overrightarrow{CD}=(-5,-3)$，证明四边形$ABCD$是梯形。二、综合题（20分）13.已知$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(-2,1)$，$\vec{c}=(3,-4)$，（1）求$\vec{a}+2\vec{b}-\vec{c}$；（2）若$\vec{c}=\lambda\vec{a}+\mu\vec{b}$，求$\lambda$，$\mu$的值；（3）求$\vec{c}$在$\vec{a}$方向上的投影。四、知识点拓展与易错点提示4.1拓展：向量在几何中的应用证明平行：利用向量共线定理，即$\vec{a}=\lambda\vec{b}$（$\vec{b}\neq