2025年上学期高一数学章节小测（第十章）

2025年上学期高一数学章节小测（第十章）一、单项选择题（每题5分，共40分）下列试验中属于古典概型的是（）A.在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点B.某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环C.某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲D.在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽解析：古典概型需满足两个条件：样本空间的样本点总数有限；每个样本点出现的可能性相等。选项A中样本点无限，选项B中各环数概率不相等，选项D中发芽与不发芽概率不一定相等，只有选项C符合古典概型定义，故选C。抛掷两枚质地均匀的硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，设事件A="第一枚正面朝上"，事件B="第二枚正面朝上"，则（）A.A与B互为对立事件B.A与B互斥C.A与B相等D.A与B相互独立解析：事件A与B可以同时发生（两枚都正面朝上），故不对立也不互斥，排除A、B；事件A与B包含的样本点不同，不相等，排除C；由于两枚硬币的抛掷结果互不影响，因此A与B相互独立，故选D。已知事件A，B互斥，P(A∪B)=5/9，且P(A)=2P(B)，则P(A)=（）A.5/9B.4/9C.5/18D.10/27解析：因为A，B互斥，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=5/9。设P(B)=x，则P(A)=2x，可得3x=5/9，解得x=5/27，因此P(A)=2x=10/27，故选D。在不超过9的质数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的概率为（）A.1/4B.1/3C.1/2D.2/3解析：不超过9的质数有2，3，5，7共4个。其中偶数质数只有2，其余均为奇数。选取两个数和为偶数的情况有两种：两数均为奇数（3，5，7中选2个）或两数均为偶数（只有2，无法选2个）。因此满足条件的选法有C(3,2)=3种，总选法有C(4,2)=6种，概率为3/6=1/2，故选C。某学校乒乓球比赛采取三局两胜制，学生甲和乙每局获胜概率分别为0.7和0.3。利用计算机模拟试验，每3个随机数为一组表示比赛结果（0-6表示甲胜，7-9表示乙胜）。产生20组随机数如下：603099316696851916062107493977329906355860375107347467822166，据此估计甲获胜的概率为（）A.0.9B.0.95C.0.8D.0.85解析：逐组分析随机数：603：甲胜（6、0、3均≤6）099：前两局0（甲）、9（乙），第三局9（乙）→乙胜316：甲胜（3、1、6）696：甲胜（6、9→乙、6→甲，甲2胜）851：8→乙、5→甲、1→甲→甲胜916：9→乙、1→甲、6→甲→甲胜062：甲胜（0、6、2）107：1→甲、0→甲→甲胜（无需第三局）493：4→甲、9→乙、3→甲→甲胜977：乙胜（9、7、7）329：3→甲、2→甲→甲胜906：9→乙、0→甲、6→甲→甲胜355：甲胜（3、5、5）860：8→乙、6→甲、0→甲→甲胜375：3→甲、7→乙、5→甲→甲胜107：1→甲、0→甲→甲胜347：3→甲、4→甲→甲胜467：4→甲、6→甲→甲胜822：8→乙、2→甲、2→甲→甲胜166：甲胜（1、6、6）甲胜的组数为18组，概率为18/20=0.9，故选A。已知集合M={-1,1,2,3}，N={-20,-8,4,9}，分别从集合M，N中随机抽取一个数m和n，构成二次函数f(x)=mx²-nx-1。则“[-4,+∞)是该二次函数单调递增区间”的概率为（）A.1/4B.3/8C.1/2D.5/8解析：二次函数f(x)=mx²-nx-1的对称轴为x=n/(2m)，单调递增区间为[n/(2m),+∞)。要使[-4,+∞)是递增区间，需满足：m>0（开口向上）n/(2m)≤-4→n≤-8mM中正数m的取值：1，2，3（共3个）m=1时，n≤-8，N中满足条件的n=-20,-8（2个）m=2时，n≤-16，N中满足条件的n=-20（1个）m=3时，n≤-24，N中无满足条件的n（0个）总样本点个数：4×4=16，满足条件的样本点个数：2+1+0=3，概率为3/16。但题目选项中无此答案，经检查发现m=-1时虽开口向下，但原区间[-4,+∞)可能为递减区间，故正确概率计算应为3/16，本题选项设置可能存在误差，建议以3/16为准。柜子里有白色、黑色、蓝色3双不同的袜子，从中不放回地随机取出2只袜子，恰好是一双的概率为（）A.1/5B.2/5C.3/5D.4/5解析：6只袜子中任取2只，总样本点数为C(6,2)=15。"恰好一双"包含3种情况（白、黑、蓝各一双），每种情况包含1个样本点，共3个样本点，概率为3/15=1/5，故选A。某系统由A、B、C三类元件连接而成，当A正常工作且B、C至少有一个正常工作时，系统正常工作。已知A、B、C正常工作的概率依次为0.8、0.7、0.7，则系统正常工作的概率为（）A.0.448B.0.56C.0.672D.0.924解析：系统正常工作的条件：A正常且（B正常或C正常）。P(A正常)=0.8P(B正常或C正常)=1-P(B、C都不正常)=1-(1-0.7)(1-0.7)=1-0.09=0.91因此系统正常概率=0.8×0.91=0.728，选项中无此答案，可能题目条件应为B、C串联，此时P(B、C至少一个正常)=1-0.3×0.3=0.91，系统概率=0.8×0.91=0.728，仍无对应选项，建议检查题目条件。二、多项选择题（每题5分，共20分，全部选对得5分，部分选对得3分，选错得0分）抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，"点数为奇数"记为事件A，"点数小于5"记为事件B，"点数大于5"记为事件C。下列说法正确的是（）A.A与C互斥B.B与C对立C.A与B相互独立D.P(A∪B)=P(A)+P(B)解析：事件A={1,3,5}，B={1,2,3,4}，C={6}。A与C无公共样本点，互斥，A正确B与C的并集不是样本空间（缺少5），不对立，B错误P(A)=1/2，P(B)=2/3，P(AB)=P({1,3})=1/3，满足P(AB)=P(A)P(B)，独立，C正确A与B不互斥，P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=1/2+2/3-1/3=5/6≠P(A)+P(B)，D错误故选AC。已知事件A与事件B相互独立，且P(A)=0.3，P(B)=0.4，则下列正确的是（）A.P(Ā)=0.7B.P(AB)=0.12C.P(A∪B)=0.58D.P(A|B)=0.3解析：P(Ā)=1-P(A)=0.7，A正确P(AB)=P(A)P(B)=0.3×0.4=0.12，B正确P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.3+0.4-0.12=0.58，C正确独立事件P(A|B)=P(A)=0.3，D正确故选ABCD。从装有2个红球和3个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A."至少有一个红球"与"都是黑球"B."至少有一个黑球"与"都是黑球"C."恰有1个黑球"与"恰有2个黑球"D."至少有一个黑球"与"至少有1个红球"解析：A：对立事件，不符合B："都是黑球"是"至少有一个黑球"的子集，不互斥C：两个事件无公共样本点（恰有1黑与恰有2黑），且并集不是全体（缺少"0黑"），互斥不对立D：存在公共样本点（1红1黑），不互斥故选C。某商场促销活动中，箱子内放有7个标有数字1或2的小球，每次摸取3个小球，数字之和为奇数则中奖。记标有数字1的小球个数为m（2≤m≤6），若想使中奖率最低，则m=（）A.2B.3C.5D.6解析：数字之和为奇数的情况：1奇2偶或3奇。设标1的球m个（奇数球），标2的球n=7-m个（偶数球）。中奖概率P=C(m,1)C(n,2)+C(m,3)/C(7,3)m=2时：P=[C(2,1)C(5,2)+0]/35=(2×10)/35=20/35m=3时：P=[C(3,1)C(4,2)+C(3,3)]/35=(3×6+1)/35=19/35m=5时：P=[C(5,1)C(2,2)+C(5,3)]/35=(5×1+10)/35=15/35m=6时：P=[C(6,1)C(1,2)+C(6,3)]/35=0+20/35=20/35（C(1,2)=0）m=5时P最小，故选C。三、填空题（每题5分，共20分）连续投骰子两次得到的点数分别为m，n，作向量(m,n)，则与向量(1,-1)的夹角成为直角三角形内角的概率是________。解析：向量夹角θ∈(0,π/2]时满足条件，此时(m,n)·(1,-1)=m-n≥0，即m≥n。样本点总数36，满足m≥n的样本点数为6+5+4+3+2+1=21，概率为21/36=7/12。答案：7/12甲、乙、丙三人参加招聘面试，甲合格就签约，乙、丙约定两人都合格才一同签约，否则都不签约。设甲合格概率3/4，乙、丙合格概率均为1/2，三人面试相互独立，则至少一人签约的概率为________。解析：设A=甲签约，B=乙丙签约。P(A)=3/4，P(B)=P(乙合格)P(丙合格)=1/2×1/2=1/4，A与B互斥。至少一人签约概率P(A∪B)=P(A)+P(B)=3/4+1/4=1。答案：1某学校开展航天科普知识竞答，比赛分两轮。学生甲第一轮获胜概率2/3，第二轮获胜概率3/5，两轮均获胜概率1/5，则甲恰好有一轮获胜的概率为________。解析：P(恰好一轮获胜)=P(第一轮胜第二轮负)+P(第一轮负第二轮胜)=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)=2/3+3/5-2×1/5=2/3+1/5=13/15答案：13/15将2名男生和1名女生随机排成一排，则2名男生相邻的概率为________。解析：3人全排列有6种，2名男生相邻的情况有：(男1男2女)、(男2男1女)、(女男1男2)、(女男2男1)共4种，概率4/6=2/3。答案：2/3四、解答题（共50分）（10分）某游戏有三个袋子，游戏规则如下：|游戏|袋子中球的数量和颜色|取球规则|获胜规则||------|----------------------|----------|----------||1|2红1白|取1个球|取到红球→甲胜||2|1红2白|取2个球|同色→甲胜||3|2红2白|取2个球|同色→甲胜|（1）分别计算三个游戏中甲获胜的概率；（2）若三个游戏各进行一次，求甲获胜次数多于乙的概率。解析：（1）游戏1：P1=2/3（2红1白取红球）游戏2：总取法C(3,2)=3，同色取法C(2,2)=1（2白），P2=1/3游戏3：总取法C(4,2)=6，同色取法C(2,2)+C(2,2)=2（2红或2白），P3=2/6=1/3（2）甲获胜次数可能为1,2,3次，乙获胜次数对应为2,1,0次。P(甲胜1次)=P(仅游戏1胜)+P(仅游戏2胜)+P(仅游戏3胜)=2/3×2/3×2/3+1/3×1/3×2/3+1/3×2/3×1/3=8/27+2/27+2/27=12/27P(甲胜2次)=P(游戏1,2胜)+P(游戏1,3胜)+P(游戏2,3胜)=2/3×1/3×2/3+2/3×2/3×1/3+1/3×1/3×1/3=4/27+4/27+1/27=9/27P(甲胜3次)=2/3×1/3×1/3=2/27所求概率=12/27+9/27+2/27=23/27答案：（1）2/3，1/3，1/3；（2）23/27（12分）已知集合M={-1,1,2,3}，N={-20,-8,4,9}，分别从集合M，N中随机抽取一个数m和n，构成二次函数f(x)=mx²-nx-1。（1）求数对(m,n)的样本空间中所含样本点的个数；（2）记事件A为"[-4,+∞)是f(x)的单调递增区间"，事件B为"(-∞,0]是f(x)的单调递减区间"，求P(A∪B)。解析：（1）M有4个元素，N有4个元素，样本点个数=4×4=16（2）f(x)对称轴x=n/(2m)，开口方向由m决定：事件A：[-4,+∞)递增→m>0且n/(2m)≤-4→n≤-8mm=1时n≤-8→n=-20,-8（2个）；m=2时n≤-16→n=-20（1个）；m=3时n≤-24→无（0个）；m=-1时开口向下，不满足，故A包含3个样本点。事件B：(-∞,0]递减→m>0且n/(2m)≥0→n≥0m=1,2,3时n≥0，N中n=-20,-8,4,9，满足n≥0的n=4,9（2个），故B包含3×2=6个样本点。A∩B：同时满足n≤-8m且n≥0，无样本点，故P(A∪B)=P(A)+P(B)=3/16+6/16=9/16答案：（1）16；（2）9/16（12分）某学校4名同学将书包放在一起，停电后随机拿一个书包离开，求下列事件的概率：（1）恰有两名同学拿对书包；（2）至少有两名同学拿对书包；（3）书包都拿错了。解析：4人全排列有24种，记"恰有k人拿对"为事件Ak。（1）A2：从4人中选2人拿对，其余2人拿错（错位排列D2=1），样本点数C(4,2)×1=6，P(A2)=6/24=1/4（2）