江苏省无锡市锡山区锡北片2026年第一次中考模拟九年级数学试卷（含解析）

江苏省无锡市锡山区锡北片2026年第一次中考模拟九年级数学试卷（含解析）考试时长：120分钟满分：150分注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题纸相应位置。2.答题时，将答案写在答题纸指定区域，写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。考查范围：九年级全册（侧重中考高频考点、易错点，贴合无锡市锡山区锡北片中考模拟命题风格，难度贴合中考梯度，注重基础巩固与综合应用能力考查）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列实数中，无理数是（）A.0.3̅B.√4C.πD.22/72.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A.等腰三角形B.平行四边形C.正方形D.正五边形3.下列计算正确的是（）A.a²·a³=a⁶B.(a²)³=a⁵C.a⁶÷a²=a⁴D.(ab)²=ab²4.已知一组数据：2，3，4，5，6，则这组数据的方差是（）A.2B.4C.√2D.105.若关于x的一元二次方程x²-2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A.k<1B.k≤1C.k>1D.k≥16.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠ABC=30°，则∠BAC的度数是（）A.30°B.45°C.60°D.90°7.反比例函数y=k/x（k为常数，k≠0）的图象经过点(2，-3)，则k的值为（）A.6B.-6C.3/2D.-3/28.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△A'BC'，则AA'的长为（）A.5B.5√2C.5√3D.109.某商品进价为每件100元，按标价的八折出售后，仍可获利20%，则该商品的标价为每件（）A.120元B.140元C.150元D.160元10.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x=1，且OA=OC，则下列结论：①abc<0；②b²-4ac>0；③a-b+c=0；④4a+2b+c>0，其中正确的是（）A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置）11.分解因式：x³-4x=__________。12.若分式x/(x-2)有意义，则x的取值范围是__________。13.已知一组数据1，3，m，5，7的平均数是4，则m的值为__________。14.如图，直线a∥b，∠1=50°，则∠2的度数为__________°。15.圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则该圆锥的侧面积为__________cm²（结果保留π）。16.已知点A(2，y₁)、B(3，y₂)在反比例函数y=k/x（k<0）的图象上，则y₁__________y₂（填“>”“<”或“=”）。17.如图，在▱ABCD中，AB=5，AD=3，AC⊥BC，则BD的长为__________。18.定义一种新运算：a※b=a²-b²+ab，若x※2=0，则x的值为__________。三、解答题（本大题共10小题，共104分。请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19.（本题满分8分）计算：（1）√12+|√3-2|-(π-3.14)⁰；（2）(1-1/a)÷(a²-1)/a。20.（本题满分8分）解下列方程：（1）2x-3=3x+1；（2）x²-4x-1=0。21.（本题满分8分）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，求证：DE=BF。22.（本题满分10分）为了解锡北片九年级学生的数学学习情况，随机抽取了部分学生的数学成绩（满分150分），整理并绘制成如下频数分布直方图和扇形统计图（部分信息未给出）。请根据图表信息，解答下列问题：（1）本次抽取的学生人数为__________人；（2）补全频数分布直方图；（3）若锡北片九年级共有1200名学生，估计该片区数学成绩在120分及以上的学生人数。23.（本题满分10分）一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同，先随机摸出一个球（不放回），再随机摸出一个球。（1）请用树状图或列表法列出所有可能的结果；（2）求两次摸出的球都是红球的概率。24.（本题满分10分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，以AD为直径的⊙O与BC相切于点E，连接AE。（1）求证：AE平分∠BAC；（2）若AC=6，BC=8，求⊙O的半径。25.（本题满分10分）某商场计划购进A、B两种商品，已知购进A商品2件和B商品3件共需270元；购进A商品3件和B商品2件共需230元。（1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？（2）商场决定A商品以每件40元出售，B商品以每件90元出售，为满足市场需求，需购进A、B两种商品共100件，且A商品的数量不少于B商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并求出最大利润。26.（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=m/x（m≠0）的图象交于A(2，3)、B(-3，n)两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D。（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）若点P是x轴上一动点，且△ADP为等腰三角形，求点P的坐标。27.（本题满分12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，点D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC上，且DE⊥DF，连接EF。（1）求证：AE=CF；（2）求EF的最小值；（3）若AE=1，求△DEF的面积。28.（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx+3（a≠0）的图象与x轴交于A(-1，0)、B(3，0)两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E。（1）求二次函数的解析式；（2）当点P在对称轴右侧的抛物线上运动时，若PE=2ED，求点P的坐标；（3）点F是抛物线的顶点，点G是直线BC上一动点，当以点F、G、C为顶点的三角形是等腰三角形时，求点G的坐标。四、参考答案与详细解析一、选择题（每小题3分，共30分）1.【答案】C【解析】无理数是无限不循环小数。A选项0.3̅是无限循环小数，属于有理数；B选项√4=2，是整数，属于有理数；C选项π是无限不循环小数，属于无理数；D选项22/7是分数，属于有理数。故选C。2.【答案】C【解析】A选项等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；B选项平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形；C选项正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形；D选项正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形。故选C。3.【答案】C【解析】A选项a²·a³=a²⁺³=a⁵，错误；B选项(a²)³=a²×³=a⁶，错误；C选项a⁶÷a²=a⁶⁻²=a⁴，正确；D选项(ab)²=a²b²，错误。故选C。4.【答案】A【解析】先求平均数：(2+3+4+5+6)÷5=4；再求方差：[(2-4)²+(3-4)²+(4-4)²+(5-4)²+(6-4)²]÷5=(4+1+0+1+4)÷5=10÷5=2。故选A。5.【答案】A【解析】一元二次方程x²-2x+k=0有两个不相等的实数根，則判别式Δ=b²-4ac>0，即(-2)²-4×1×k>0，4-4k>0，解得k<1。故选A。6.【答案】C【解析】AB是⊙O的直径，則∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）；在Rt△ABC中，∠ABC=30°，所以∠BAC=90°-30°=60°。故选C。7.【答案】B【解析】反比例函数y=k/x经过点(2，-3)，将点代入解析式得：-3=k/2，解得k=-6。故选B。8.【答案】A【解析】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，由勾股定理得AB=√(3²+4²)=5；将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△A'BC'，則BA=BA'，∠ABA'=60°，所以△ABA'是等边三角形，因此AA'=AB=5。故选A。9.【答案】C【解析】设商品标价为每件x元，八折出售后的价格为0.8x元；进价100元，获利20%，則售价为100×(1+20%)=120元；因此0.8x=120，解得x=150。故选C。10.【答案】B【解析】由抛物线图象可知：a<0（开口向下），对称轴x=-b/(2a)=1，則b=-2a>0；与y轴交于正半轴，則c>0。①abc<0（a负、b正、c正），正确；②抛物线与x轴有两个交点，則b²-4ac>0，正确；③当x=-1时，y=a-b+c，由OA=OC，C(0，c)，則A(-c，0)，当x=-c时y=0，而非x=-1，错误；④当x=2时，y=4a+2b+c，x=2与x=0关于对称轴x=1对称，x=0时y=c>0，則x=2时y>0，正确。故选B。二、填空题（每小题2分，共16分）11.【答案】x(x+2)(x-2)【解析】x³-4x=x(x²-4)=x(x+2)(x-2)（先提公因式，再用平方差公式分解）。12.【答案】x≠2【解析】分式有意义的条件是分母不为0，即x-2≠0，解得x≠2。13.【答案】4【解析】平均数为4，則(1+3+m+5+7)÷5=4，16+m=20，解得m=4。14.【答案】130【解析】直线a∥b，∠1与∠2的邻补角相等，∠1=50°，則∠2=180°-50°=130°。15.【答案】15π【解析】圆锥侧面积公式为πrl（r为底面半径，l为母线长），則侧面积=π×3×5=15π。16.【答案】>【解析】k<0，反比例函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大；点A(2，y₁)、B(3，y₂)在第四象限，2<3，則y₁<y₂（此处修正：第四象限x越大，y越大，故y₁<y₂，原答案笔误，正确答案为<）。17.【答案】2√13【解析】在▱ABCD中，AD=BC=3，AC⊥BC，則△ABC是Rt△，AC=√(AB²-BC²)=√(5²-3²)=4；对角线互相平分，設AC与BD交于点O，則AO=2，BO=√(BC²+CO²)=√(3²+2²)=√13，故BD=2BO=2√13。18.【答案】1或-2【解析】由新运算a※b=a²-b²+ab，x※2=0，則x²-2²+2x=0，x²+2x-4=0？修正：x²-4+2x=0，即x²+2x-4=0？错误，重新计算：x²-2²+x×2=0→x²+2x-4=0？不对，原式x※2=x²-2²+x×2=x²+2x-4=0，解得x=[-2±√(4+16)]/2=[-2±√20]/2=[-2±2√5]/2=-1±√5？修正：题目新运算为a※b=a²-b²+ab，則x※2=x²-4+2x=0，即x²+2x-4=0，解得x=-1±√5？此处原答案错误，正确解答：x²+2x-4=0，判别式Δ=4+16=20，根为x=[-2±2√5]/2=-1±√5，故答案为-1+√5或-1-√5（此前笔误，修正后正确）。三、解答题（共104分）19.（8分）（1）解：原式=2√3+(2-√3)-1（2分）=2√3+2-√3-1（1分）=√3+1（1分）（2）解：原式=(a-1)/a÷[(a+1)(a-1)]/a（2分）=(a-1)/a×a/[(a+1)(a-1)]（1分）=1/(a+1)（1分）20.（8分）（1）解：2x-3=3x+12x-3x=1+3（2分）-x=4x=-4（2分）（2）解：x²-4x-1=0配方：x²-4x+4=1+4（1分）(x-2)²=5（1分）x-2=±√5（1分）x₁=2+√5，x₂=2-√5（1分）21.（8分）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD（2分）∵E、F分别是AB、CD的中点，∴BE=1/2AB，DF=1/2CD（2分）∴BE=DF，且BE∥DF（2分）∴四边形DEBF是平行四边形（1分）∴DE=BF（1分）22.（10分）（1）【答案】50（2分）【解析】由频数分布直方图可知，80-90分有5人，扇形统计图中该组占比10%，則总人数=5÷10%=50人。（2）补全直方图：100-110分的人数=50-5-10-15-8=12人（画图略，2分）（3）解：120分及以上的人数占比=8÷50=16%（3分）估计总人数=1200×16%=192人（3分）答：该片区数学成绩在120分及以上的学生约有192人。23.（10分）（1）列表法：第一次摸球：红1、红2、红3、白1、白2第二次摸球（不放回）：红1：（红1，红2）、（红1，红3）、（红1，白1）、（红1，白2）红2：（红2，红1）、（红2，红3）、（红2，白1）、（红2，白2）红3：（红3，红1）、（红3，红2）、（红3，白1）、（红3，白2）白1：（白1，红1）、（白1，红2）、（白1，红3）、（白1，白2）白2：（白2，红1）、（白2，红2）、（白2，红3）、（白2，白1）所有可能的结果共20种，每种结果出现的可能性相同（4分）（2）解：两次摸出都是红球的结果有6种：（红1，红2）、（红1，红3）、（红2，红1）、（红2，红3）、（红3，红1）、（红3，红2）（3分）∴概率P=6/20=3/10（2分）答：两次摸出的球都是红球的概率为3/10。（1分）24.（10分）（1）证明：连接OE，∵BC是⊙O的切线，∴OE⊥BC（2分）∵∠C=90°，∴AC⊥BC，∴OE∥AC（2分）∴∠OEA=∠EAC（1分）∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA（1分）∴∠OAE=∠EAC，即AE平分∠BAC（1分）（2）解：設⊙O的半径为r，則AD=2r，OC=AC-AD=6-2r，OE=r（1分）∵OE∥AC，∴△BOE∽△BAC（1分）∴OE/AC=BO/BA，由勾股定理得BA=√(6²+8²)=10，BO=10-2r（1分）∴r/6=(10-2r)/10，解得r=30/16=15/8（1分）答：⊙O的半径为15/8。25.（10分）（1）解：設A商品每件进价x元，B商品每件进价y元，根据题意得：{2x+3y=270{3x+2y=230（2分）解得：{x=30{y=70（2分）答：A商品每件进价30元，B商品每件进价70元。（1分）（2）解：設购进A商品m件，則购进B商品(100-m)件，利润为W元，由题意得：m≥4(100-m)，解得m≥80（1分）W=(40-30)m+(90-70)(100-m)=10m+20(100-m)=-10m+2000（2分）∵-10<0，∴W随m的增大而减小，∴当m=80时，W最大，W最大=-10×80+2000=1200元，此时100-m=20件（1分）答：获利最大的进货方案是购进A商品80件、B商品20件，最大利润为1200元。（1分）26.（12分）（1）解：将A(2，3)代入反比例函数y=m/x，得m=2×3=6，∴反比例函数解析式为y=6/x（2分）将B(-3，n)代入y=6/x，得n=6/(-3)=-2，∴B(-3，-2)（1分）将A(2，3)、B(-3，-2)代入一次函数y=kx+b，得：{2k+b=3{-3k+b=-2（1分）解得：{k=1{b=1（1分）∴一次函数解析式为y=x+1（1分）（2）解：令y=0，則x+1=0，x=-1，∴C(-1，0)；令x=0，則y=1，∴D(0，1)（2分）△AOB的面积=△AOC的面积+△BOC的面积=1/2×OC×|y_A|+1/2×OC×|y_B|=1/2×1×3+1/2×1×2=2.5（2分）（3）解：设P(x，0)，A(2，3)，D(0，1)，分三种情况：①AD=AP；②AD=DP；③AP=DP，计算得P点坐标为(2+√13，0)、(2-√13，0)、(-2，0)、(4，0)（2分）答：点P的坐标为(2+√13，0)、(2-√13，0)、(-2，0)、(4，0)。27.（12分）（1）证明：连接CD，∵Rt△ABC中，AC=BC，D是AB中点，∴CD⊥AB，CD=AD=BD，∠ACD=∠B=45°（2分）∵DE⊥DF，∴∠EDF=90°，∠CDE+∠CDF=90°，∠CDF+∠BDF=90°，∴∠CDE=∠BDF（2分）在△CDE和△BDF中，{∠CDE=∠BDF，CD=BD，∠DCE=∠B，∴△CDE≌△BDF（ASA），∴CE=BF，又AC=BC，∴AE=CF（2分）（2）解：設AE=CF=x，則CE=4-x，BF=