2025年上学期高一数学章节小测（第一章）

2025年上学期高一数学章节小测（第一章）一、章节知识点总结1.1集合的概念与表示方法集合的定义：集合是具有某种特定性质的具体或抽象对象的总体，组成集合的对象称为元素。集合具有确定性（元素是否属于集合明确）、互异性（元素不重复）和无序性（元素排列顺序无关）三大特性。元素与集合的关系：若元素(a)属于集合(A)，记作(a\inA)；若不属于，记作(a\notinA)。常用数集：自然数集(\mathbb{N})（含0）、正整数集(\mathbb{N}^*)或(\mathbb{N}_+)、整数集(\mathbb{Z})、有理数集(\mathbb{Q})、实数集(\mathbb{R})。集合的表示方法：列举法：将元素一一列出，如({1,2,3})；描述法：用元素共同特征表示，如({x|x>0,x\in\mathbb{R}})；区间表示法：适用于连续数集，如([a,b))表示(a\leqx<b)；图示法：用Venn图直观表示集合关系。1.2集合间的基本关系子集：若集合(A)中任意元素均属于集合(B)，则(A)是(B)的子集，记作(A\subseteqB)（或(B\supseteqA)）。规定空集是任何集合的子集。真子集：若(A\subseteqB)且(B)中至少有一个元素不属于(A)，则(A)是(B)的真子集，记作(A\subsetneqqB)（或(B\supsetneqqA)）。集合相等：若(A\subseteqB)且(B\subseteqA)，则(A=B)。子集个数公式：若集合(A)有(n)个元素，则其子集个数为(2^n)，真子集个数为(2^n-1)，非空真子集个数为(2^n-2)。1.3集合的基本运算交集：由属于集合(A)且属于集合(B)的所有元素组成的集合，记作(A\capB)，即(A\capB={x|x\inA\text{且}x\inB})。性质：(A\capA=A)，(A\cap\varnothing=\varnothing)，(A\capB=B\capA)。并集：由属于集合(A)或属于集合(B)的所有元素组成的集合，记作(A\cupB)，即(A\cupB={x|x\inA\text{或}x\inB})。性质：(A\cupA=A)，(A\cup\varnothing=A)，(A\cupB=B\cupA)。补集：设全集为(U)，由不属于集合(A)但属于(U)的所有元素组成的集合，记作(\complement_UA)，即(\complement_UA={x|x\inU\text{且}x\notinA})。性质：(A\cup\complement_UA=U)，(A\cap\complement_UA=\varnothing)，(\complement_U(\complement_UA)=A)。运算律：分配律：(A\cap(B\cupC)=(A\capB)\cup(A\capC))，(A\cup(B\capC)=(A\cupB)\cap(A\cupC))；德摩根定律：(\complement_U(A\capB)=\complement_UA\cup\complement_UB)，(\complement_U(A\cupB)=\complement_UA\cap\complement_UB)。1.4充分条件与必要条件命题的概念：可以判断真假的陈述句称为命题，通常用“若(p)，则(q)”的形式表示，其中(p)为条件，(q)为结论。充分条件与必要条件：若(p\Rightarrowq)，则(p)是(q)的充分条件，(q)是(p)的必要条件；若(p\Leftrightarrowq)，则(p)是(q)的充要条件（充分必要条件）；若(p\Rightarrowq)且(q\nRightarrowp)，则(p)是(q)的充分不必要条件；若(p\nRightarrowq)且(q\Rightarrowp)，则(p)是(q)的必要不充分条件。集合与条件的关系：设集合(A={x|p(x)})，(B={x|q(x)})，则：(p)是(q)的充分条件(\LeftrightarrowA\subseteqB)；(p)是(q)的充要条件(\LeftrightarrowA=B)。1.5全称量词与存在量词全称量词：表示“全体”的量词，如“所有”“任意”“每一个”，符号为“(\forall)”。含有全称量词的命题称为全称命题，形式为“(\forallx\inM,p(x))”，其否定为“(\existsx\inM,\negp(x))”。存在量词：表示“部分”的量词，如“存在”“至少有一个”“有些”，符号为“(\exists)”。含有存在量词的命题称为特称命题，形式为“(\existsx\inM,p(x))”，其否定为“(\forallx\inM,\negp(x))”。命题的否定规则：改变量词（全称变存在，存在变全称），否定结论，不否定条件。例如，命题“(\forallx>0,x^2>0)”的否定是“(\existsx>0,x^2\leq0)”。二、练习题（一）选择题（每题5分，共30分）下列各组对象中能构成集合的是（）A.某校高一（1）班性格开朗的学生B.平面直角坐标系中第一象限内的点C.接近(\sqrt{2})的所有实数D.好看的电影已知集合(A={x|x^2-3x+2=0})，(B={1,2})，(C={x|x<3,x\in\mathbb{N}})，则下列关系正确的是（）A.(A=B)B.(A\subsetneqqB)C.(B\subsetneqqC)D.(A\inC)设全集(U={1,2,3,4,5})，集合(A={1,3,5})，(B={2,3,4})，则(\complement_U(A\capB)=)（）A.({3})B.({1,2,4,5})C.({1,2,3,4,5})D.(\varnothing)“(x>2)”是“(x^2-3x+2>0)”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件命题“(\forallx\in\mathbb{R},x^2+1\geq1)”的否定是（）A.(\forallx\in\mathbb{R},x^2+1<1)B.(\existsx\in\mathbb{R},x^2+1\leq1)C.(\existsx\in\mathbb{R},x^2+1<1)D.(\forallx\notin\mathbb{R},x^2+1<1)已知集合(A={x|a-1\leqx\leqa+2})，(B={x|3<x<5})，若(A\capB=B)，则实数(a)的取值范围是（）A.(a\leq4)B.(a\geq3)C.(3\leqa\leq4)D.(a<3)或(a>4)（二）填空题（每题5分，共30分）用描述法表示集合“所有偶数组成的集合”：__________。已知集合(A={1,2,a^2-3a+5})，且(5\inA)，则实数(a)的值为__________。设集合(A={x|x^2-4x+3=0})，(B={x|mx-3=0})，若(B\subseteqA)，则实数(m)的所有取值组成的集合是__________。已知(p)：(x>1)，(q)：(x>2)，则(p)是(q)的__________条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）。若全集(U=R)，集合(A={x|x\leq-2})，(B={x|x>1})，则(\complement_U(A\cupB)=)__________。已知集合(A)中有(m)个元素，集合(B)中有(n)个元素，且(A\capB)中有(k)个元素，则(A\cupB)中元素的个数为__________。（三）解答题（共40分）（10分）已知集合(A={x|x^2-5x+6=0})，(B={x|mx+1=0})，且(A\cupB=A)，求实数(m)的值组成的集合。（10分）设全集(U=R)，集合(A={x|x^2-2x-3<0})，(B={x|x\geq1})，求：（1）(A\capB)；（2）(\complement_U(A\cupB))。（10分）已知(p)：(-2\leqx\leq10)，(q)：(1-m\leqx\leq1+m(m>0))，若(p)是(q)的必要不充分条件，求实数(m)的取值范围。（10分）已知集合(A={x|x^2-ax+a^2-19=0})，(B={x|x^2-5x+6=0})，(C={x|x^2+2x-8=0})，且(A\capB\neq\varnothing)，(A\capC=\varnothing)，求实数(a)的值。三、参考答案与解析（一）选择题B解析：A、C、D中的对象不具有确定性，B中“平面直角坐标系中第一象限内的点”满足确定性，能构成集合。A解析：解方程(x^2-3x+2=0)得(x=1)或(x=2)，故(A={1,2}=B)；(C={0,1,2})，则(B\subsetneqqC)错误，应为(B\subseteqC)；(A)是集合，(C)中的元素是数，(A\inC)错误。B解析：(A\capB={3})，则(\complement_U(A\capB)={1,2,4,5})。A解析：解不等式(x^2-3x+2>0)得(x<1)或(x>2)，故“(x>2)”能推出“(x^2-3x+2>0)”，但反之不成立，所以是充分不必要条件。C解析：全称命题的否定是特称命题，否定结论，即“(\existsx\in\mathbb{R},x^2+1<1)”。C解析：由(A\capB=B)得(B\subseteqA)，则(\begin{cases}a-1\leq3\a+2\geq5\end{cases})，解得(3\leqa\leq4)。（二）填空题({x|x=2k,k\in\mathbb{Z}})2或3解析：由(a^2-3a+5=5)得(a^2-3a=0)，解得(a=0)或(a=3)，经检验均满足互异性。({0,1,3})解析：(A={1,3})，当(m=0)时，(B=\varnothing\subseteqA)；当(m\neq0)时，(x=\frac{3}{m}\inA)，则(\frac{3}{m}=1)或(3)，解得(m=3)或(1)。必要不充分解析：(q\Rightarrowp)但(p\nRightarrowq)，故(p)是(q)的必要不充分条件。({x|-2<x\leq1})解析：(A\cupB={x|x\leq-2或x>1})，则(\complement_U(A\cupB)={x|-2<x\leq1})。(m+n-k)解析：由容斥原理，(|A\cupB|=|A|+|B|-|A\capB|=m+n-k)。（三）解答题解：(A={2,3})，由(A\cupB=A)得(B\subseteqA)。当(B=\varnothing)时，(m=0)；当(B\neq\varnothing)时，(x=-\frac{1}{m}\inA)，则(-\frac{1}{m}=2)或(3)，解得(m=-\frac{1}{2})或(-\frac{1}{3})。综上，(m)的集合为({0,-\frac{1}{2},-\frac{1}{3}})。解：(A={x|-1<x<3})，（1）(A\capB={x|1\leqx<3})；（2）(A\cupB={x|x>-1})，(\complement_U(A\cupB)={x|x\leq-1})。解：(p)是(q)的必要不充分条件(\Leftrightarrowq\Rightarrowp)且(p\nRightarrowq)，则(\begin{cases}1-m\geq-2\1+m\leq10\end{cases})（等号不同时成立