2025年上学期高一数学知识梳理测试（二）

2025年上学期高一数学知识梳理测试（二）一、函数模块1.1函数的概念与性质核心概念函数是从非空数集A到非空数集B的映射，记为(y=f(x))，其中x为定义域，f(x)为值域。函数的三要素包括定义域、对应法则和值域，若两个函数的三要素完全相同，则称两函数相等。性质解析单调性：若对定义域内任意(x_1<x_2)，都有(f(x_1)<f(x_2))（或(f(x_1)>f(x_2))），则函数在该区间单调递增（或递减）。判断方法包括定义法、导数法（若(f'(x)>0)则递增）及图像法。奇偶性：奇函数满足(f(-x)=-f(x))，图像关于原点对称；偶函数满足(f(-x)=f(x))，图像关于y轴对称。定义域关于原点对称是函数具备奇偶性的前提条件。周期性：若存在非零常数T，使得(f(x+T)=f(x))对定义域内任意x成立，则T为函数周期，最小正周期是其中最小的正数T。典型例题例1：求函数(f(x)=\frac{\sqrt{x+2}}{x-1})的定义域。解析：依题意需满足(\begin{cases}x+2\geq0\x-1\neq0\end{cases})，解得(x\geq-2)且(x\neq1)，故定义域为([-2,1)\cup(1,+\infty))。例2：判断函数(f(x)=x^3+\sinx)的奇偶性。解析：定义域为(\mathbb{R})，且(f(-x)=(-x)^3+\sin(-x)=-x^3-\sinx=-f(x))，故为奇函数。1.2基本初等函数指数函数与对数函数指数函数(y=a^x)（(a>0)且(a\neq1)）：当(a>1)时单调递增，当(0<a<1)时单调递减，图像恒过点(0,1)。对数函数(y=\log_ax)（(a>0)且(a\neq1)）：与指数函数互为反函数，当(a>1)时单调递增，当(0<a<1)时单调递减，图像恒过点(1,0)。幂函数形如(y=x^\alpha)（(\alpha)为常数）的函数，常见类型包括：(\alpha=1)（正比例函数）、(\alpha=2)（二次函数）、(\alpha=-1)（反比例函数）等。典型例题例3：比较大小：(2^{0.3})，(\log_20.3)，(0.3^2)。解析：(2^{0.3}>2^0=1)，(\log_20.3<\log_21=0)，(0<0.3^2=0.09<1)，故(\log_20.3<0.3^2<2^{0.3})。二、三角函数模块2.1三角函数的定义与诱导公式任意角的三角函数设角(\alpha)终边上一点P(x,y)，(r=\sqrt{x^2+y^2})，则：(\sin\alpha=\frac{y}{r})，(\cos\alpha=\frac{x}{r})，(\tan\alpha=\frac{y}{x})（(x\neq0)）。诱导公式核心口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。例如：(\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha)（(\pi)为奇数倍(\frac{\pi}{2})，正弦变余弦；(\alpha)视为锐角时，(\pi+\alpha)在第三象限，正弦为负）(\cos(2\pi-\alpha)=\cos\alpha)（(2\pi)为偶数倍(\frac{\pi}{2})，余弦不变；(2\pi-\alpha)在第四象限，余弦为正）典型例题例4：已知(\sin(\pi-\alpha)=\frac{1}{3})，求(\cos(2\pi+\alpha))的值。解析：由诱导公式得(\sin\alpha=\frac{1}{3})，则(\cos(2\pi+\alpha)=\cos\alpha=\pm\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\pm\frac{2\sqrt{2}}{3})。2.2三角恒等变换基本公式和差角公式：(\sin(A\pmB)=\sinA\cosB\pm\cosA\sinB)二倍角公式：(\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha)，(\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha)辅助角公式：(a\sin\alpha+b\cos\alpha=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\alpha+\varphi))，其中(\tan\varphi=\frac{b}{a})典型例题例5：化简(\cos^4\theta-\sin^4\theta)。解析：原式(=(\cos^2\theta-\sin^2\theta)(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=\cos2\theta\cdot1=\cos2\theta)。例6：求函数(f(x)=\sinx+\sqrt{3}\cosx)的最大值。解析：由辅助角公式得(f(x)=2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right))，故最大值为2。2.3三角函数的图像与性质正弦函数(y=\sinx)定义域(\mathbb{R})，值域([-1,1])，最小正周期(2\pi)单调递增区间：([-\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi])（(k\in\mathbb{Z})）对称中心：((k\pi,0))，对称轴：(x=\frac{\pi}{2}+k\pi)余弦函数(y=\cosx)定义域(\mathbb{R})，值域([-1,1])，最小正周期(2\pi)单调递增区间：([-\pi+2k\pi,2k\pi])（(k\in\mathbb{Z})）对称中心：((\frac{\pi}{2}+k\pi,0))，对称轴：(x=k\pi)典型例题例7：求函数(y=2\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)+1)的最小正周期及单调递减区间。解析：最小正周期(T=\frac{2\pi}{2}=\pi)；令(\frac{\pi}{2}+2k\pi\leq2x-\frac{\pi}{3}\leq\frac{3\pi}{2}+2k\pi)，解得(\frac{5\pi}{12}+k\pi\leqx\leq\frac{11\pi}{12}+k\pi)，故递减区间为([\frac{5\pi}{12}+k\pi,\frac{11\pi}{12}+k\pi])（(k\in\mathbb{Z})）。三、数列模块3.1等差数列与等比数列定义与通项公式等差数列：从第2项起，每一项与前一项的差为常数d，通项公式(a_n=a_1+(n-1)d)，前n项和(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d)。等比数列：从第2项起，每一项与前一项的比为常数q（(q\neq0)），通项公式(a_n=a_1q^{n-1})，前n项和(S_n=\begin{cases}na_1&(q=1)\\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}&(q\neq1)\end{cases})。性质对比|性质|等差数列|等比数列||------------------|---------------------------------------|---------------------------------------||中项公式|(2a_m=a_{m-k}+a_{m+k})|(a_m^2=a_{m-k}\cdota_{m+k})||前n项和性质|(S_n,S_{2n}-S_n,S_{3n}-S_{2n})成等差|(S_n,S_{2n}-S_n,S_{3n}-S_{2n})成等比（(S_n\neq0)）||单调性|(d>0)递增，(d=0)常数列，(d<0)递减|(a_1>0,q>1)或(a_1<0,0<q<1)递增；反之递减|典型例题例8：等差数列({a_n})中，(a_3=5)，(a_7=13)，求(a_{10})及(S_{10})。解析：设公差为d，则(a_7-a_3=4d=8\Rightarrowd=2)，(a_1=a_3-2d=1)，故(a_{10}=1+9\times2=19)，(S_{10}=\frac{10(1+19)}{2}=100)。例9：等比数列({a_n})中，(a_2=2)，(a_5=16)，求公比q及前5项和(S_5)。解析：(q^3=\frac{a_5}{a_2}=8\Rightarrowq=2)，(a_1=\frac{a_2}{q}=1)，(S_5=\frac{1(1-2^5)}{1-2}=31)。3.2数列求和方法常用方法公式法：直接应用等差、等比数列求和公式。错位相减法：适用于“等差×等比”型数列，如(a_n=(2n-1)\cdot2^n)。裂项相消法：将通项拆分为两项差，如(\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})。倒序相加法：适用于首末两端对称项之和相等的数列，如等差数列求和公式推导。典型例题例10：求数列({n\cdot3^n})的前n项和(S_n)。解析：(S_n=1\cdot3+2\cdot3^2+\cdots+n\cdot3^n)(3S_n=1\cdot3^2+2\cdot3^3+\cdots+n\cdot3^{n+1})两式相减得：(-2S_n=3+3^2+\cdots+3^n-n\cdot3^{n+1}=\frac{3(1-3^n)}{1-3}-n\cdot3^{n+1})，化简得(S_n=\frac{(2n-1)3^{n+1}+3}{4})。四、不等式模块4.1不等式的基本性质与解法基本性质对称性：若(a>b)，则(b<a)；传递性：若(a>b)且(b>c)，则(a>c)；可加性：若(a>b)，则(a+c>b+c)；可乘性：若(a>b)且(c>0)，则(ac>bc)；若(c<0)，则(ac<bc)。一元二次不等式标准形式：(ax^2+bx+c>0)（(a>0)），解法步骤：求对应方程(ax^2+bx+c=0)的根(x_1,x_2)（(x_1\leqx_2)）；根据二次函数图像开口方向（(a>0)开口向上），解集为((-\infty,x_1)\cup(x_2,+\infty))（大于0取两边）或([x_1,x_2])（小于0取中间）。典型例题例11：解不等式(x^2-3x-4<0)。解析：方程(x^2-3x-4=0)的根为(x_1=-1)，(x_2=4)，故不等式解集为((-1,4))。4.2基本不等式均值不等式对于正数a,b，有(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab})，当且仅当(a=b)时等号成立。推广至三个正数：(\frac{a+b+c}{3}\geq\sqrt[3]{abc})。应用条件：“一正二定三相等”——各项为正，和或积为定值，等号可取得。典型例题例12：求函数(f(x)=x+\frac{4}{x})（(x>0)）的最小值。解析：由均值不等式得(x+\frac{4}{x}\geq2\sqrt{x\cdot\frac{4}{x}}=4)，当且仅当(x=\frac{4}{x}\Rightarrowx=2)时取等号，故最小值为4。例13：已知(x+2y=1)（(x>0,y>0)），求(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})的最小值。解析：(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=(x+2y)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=1+\frac{x}{y}+\frac{2y}{x}+2=3+\frac{x}{y}+\frac{2y}{x}\geq3+2\sqrt{2})，当且仅当(\frac{x}{y}=\frac{2y}{x}\Rightarrowx=\sqrt{2}y)时取等号，最小值为(3+2\sqrt{2})。五、立体几何初步5.1空间几何体的结构与体积多面体与旋转体棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边互相平行，体积(V=Sh)（S为底面积，h为高）。棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，体积(V=\frac{1}{3}Sh)。圆柱：由矩形绕一边旋转而成，体积(V=\pir^2h)，表面积(S=2\pir(r+h))。圆锥：由直角三角形绕一条直角边旋转而成，体积(V=\frac{1}{3}\pir^2h)，表面积(S=\pir(r+l))（l为母线长）。典型例题例14：一个正三棱柱的底面边长为2，高为3，求其体积与表面积。解析：底面积(S=\frac{\sqrt{3}}{4}\times2^2=\sqrt{3})，体积(V=Sh=3\sqrt{3})；表面积(S=2\sqrt{3}+3\times2\times3=2\sqrt{3}+18)。5.2空间点、线、面的位置关系公理与定理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。线面平行判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。面面垂直判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。典型例题例15：已知直线(a\parallel)平面(\alpha)，直线(b\subset\alpha)，判断a与b的位置关系。解析：由线面平行性质知，a与b无公共点，故a与b平行或异面。六、解析几何初步6.1直线与方程直线的倾斜角与斜率倾斜角(\alpha)：直线向上方向与x轴正方向所成的最小正角，范围([0,\pi))。斜率(k=\tan\alpha)（(\alpha\neq\frac{\pi}{2})），若直线过点((x_1,y_1))，((x_2,y_2))，则(k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1})（(x_1\neqx_2)）。直线方程形式点斜式：(y-y_0=k(x-x_0))（过点((x_0,y_0))，斜率k）斜截式：(y=kx+b)（斜率k，纵截距b）一般式：(Ax+By+C=0)（A,B不同时为0）典型例题例16：求过点((2,1))且与直线(2x-y+1=0)垂直的直线方程。解析：已知直线斜率为2，故所求直线斜率为(-\frac{1}{2})，方程为(y-1=-\frac{1}{2}(x-2))，化简得(x+2y-4=0)。6.2圆与方程圆的标准方程与一般方程标准方程：((x-a)^2+(y-b)^2=r^2)，圆心((a,b))，半径r。一般方程：(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0)，圆心(\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right))，半径(r=\frac{\sqrt{D^2+E^2-4F}}{2})（需满足(D^2+E^2-4F>0)）。直线与圆的位置关系设圆心到直线的距离为d，半径为r：相离：(d>r)；相切：(d=r)；相交：(d<r)。典型例题例17：求圆心在直线(x-y=0)上，且过点((1,1))和((2,-2))的圆的方程。解析：设圆心为((a,a))，则((1-a)^2+(1-a)^2=(2-a)^2+(-2-a)^2)，解得(a=-1)，半径(r^2=(1+1)^2+(1+1)^2=8)，故方程为((x+1)^2+(y+1)^2=8)。七、概率统计初步7.1随机事件的概率基本概念必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，概率为1。不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，概率为0。互斥事件：不能同时发生的两个事件，概率加法公式：(P(A\cupB)=P(A)+P(B))。对立事件：必有一个发生的互斥事件，(P(\overline{A})=1-P(A))。典型例题例18：从1,2,3,4,5中随机抽取一个数，求抽到偶数的概率。解析：偶数为2,4，共2个基本事件，总事件数为5，故概率(P=\frac{2}{5})。7.2古典概型与几何概型古典概型：试验中所有可能结果有限且每个结果出现的可能性相等，概率(P(A)=\frac{A包含的基本事件数}{基本事件总数})。几何概型：试验中所有可能结果构成区域(\Omega)，事件A对应区域(A)，概率(P(A)=\frac{A的度量（长度、面积、体积）}{\Omega的度量})。典型例题例19：在区间[0,2]上随机取一个数x，求(x\leq1)的概率。解析：几何概型，区间长度为2，事件A对应区间[0,1]，长度为1，故概率(P=\frac{1}{2})。八、综合应用题例20：某工厂生产一种产品，每件成本为20元，售价为x元（(x\geq20)），且销量(y=1000-10x)（件）。（1）求利润L关于售价x的函数关系式；（2）售价x为多少时，利润最大？最大利润是多少？解析：（1）利润(L=(x-20)y=(x-20)(1000-10x)=-10x^2+1200x-20000)（(x\geq20)）。（2）(L=-10(x-60)^2+16000)，当(x=60)时，(L_{\text{max}}=16000)，故售价为60元时，最大利润为16000元。例21：在(\triangleABC)中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知(a=2)，(b=3)，(\cosC=\frac{1}{4})，求c及(\sinA)。解析：由余弦定理(c^2=a^2+b^2-2ab\cosC=4+9-2\times2\times3\times\frac{1}{4}=10\Rightarrowc=\sqrt{10})；由(\sinC=\sqrt{1-\cos^2C}=\frac{\sqrt{15}}{4})，正弦定理(\frac{a}{\sinA}=\frac{c}{\sinC}\Rightarrow\sinA=\frac{a\sinC}{c}=\frac{2\times\frac{\sqrt{15}}{4}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{6}}{4})。例22：已知数列({a_n})满足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+1)，求通项公式(a_n)。解析：构造等比数列，设(a_{n+1}+t=2(a_n+t))，对比得(t=1)，故({a_n+1})是以2为首项，2为公比的等比数列，(a_n+1=2^n\Rightarrowa_n=2^n-1)。例23：求函数(f(x)=x^3-3x^2+2)在区间[0,3]上的最大值与最小值。解析：(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2))，令(f'(x)=0\Rightarrowx=0)或(x=2)；计算(f(0)=2)，(f(2)=-2)，(f(3)=2)，故最大值为2，最小值为-2。例24：已知圆(C:x^2+y^2-4x+6y-3=0)，直线(l:mx-y+1-m=0)，求证：直线l与圆C恒相交。解析：圆C方程化为((x-2)^2+(y+3)^2=16)，圆心(2,-3)，半径4；直线l方程化为(m(x-1)-(y-1)=0)，恒过定点(1,1)；计算定点到圆心距离(d=\sqrt{(2-1)^2+(-3-1)^2}=\sqrt{17}<4)，故定点在圆内，直线l与圆C恒相交。例25：某班有50名学生，其中男生30人，女生20人，现从中随机抽取2人参加活动，求抽到1男1女的概率。解析：古典概型，总事件数(C_{50}^2=1225)，事件A包含(C_{30}^1C_{20}^1=600)，故概率(P=\frac{600}{1225}=\frac{24}{49})。例26：已知函数(f(x)=\sin\omegax+\cos\omegax)（(\omega>0)）的最小正周期为(\pi)，求(\omega)的值及函数的单调递增区间。解析：(f(x)=\sqrt{2}\sin\left(\omegax+\frac{\pi}{4}\right))