2025年上学期高一数学模型构建能力试题

2025年上学期高一数学模型构建能力试题一、函数模型应用题（40分）（一）基础模型构建（15分）某城市为优化共享单车投放方案，收集了2025年1月至3月的骑行数据。已知该时段内每日骑行人数(y)（千人）与气温(x)（℃）的关系近似满足二次函数模型(y=ax^2+bx+c)。下表为部分统计数据：气温(x)（℃）-5010骑行人数(y)（千人）3.525求该二次函数的解析式；若4月某日气温为15℃，预测当日骑行人数；结合函数图像，分析气温在什么范围内骑行人数随温度升高而增加？（二）模型优化与拓展（25分）共享单车公司发现，实际骑行人数还受节假日因素影响。定义“节假日系数”(k)：非节假日(k=1)，节假日(k=1.5)。调整后模型为(y=k(ax^2+bx+c)+d)，其中(d)为随机干扰项（单位：千人），且(d\simN(0,0.2^2))（正态分布）。若4月5日（清明节，节假日）气温为15℃，求骑行人数(y)的期望与方差；公司计划在骑行人数超过8千人时增派运维人员，若4月10日（非节假日）预报气温为20℃，判断是否需要增派人员？（参考数据：若(Z\simN(\mu,\sigma^2))，则(P(Z\leq\mu+2\sigma)\approx0.977)）从模型适用性角度，指出该二次函数模型可能存在的两个缺陷，并提出改进建议。二、几何模型应用题（35分）（一）空间几何体构建（15分）某博物馆计划设计一个正四棱锥展台，要求：底面为正方形，侧棱长为(2\sqrt{5})米；顶点到底面的距离（高）为4米。求底面正方形的边长；计算该棱锥的表面积（不含底面）；若在展台内部放置一个球体文物，求球体的最大半径。（二）动态几何模型（20分）如图1，在矩形(ABCD)中，(AB=6)cm，(AD=8)cm，点(P)从点(A)出发，沿(A→B→C→D)方向匀速运动，速度为2cm/s，同时点(Q)从点(C)出发，沿(C→D→A)方向匀速运动，速度为1cm/s。设运动时间为(t)秒（(0\leqt\leq10)）。用(t)表示线段(PQ)的长度；当(t)为何值时，(\triangleAPQ)的面积为12cm²？在运动过程中，是否存在某一时刻(t)，使得(PQ\perpAC)？若存在，求出(t)的值；若不存在，说明理由。三、概率统计模型应用题（45分）（一）数据处理与模型选择（20分）某高中为研究学生每周运动时间与数学成绩的关系，随机抽取100名学生，得到如下数据：每周运动时间（小时）[0,3)[3,6)[6,9)[9,12]数学成绩优秀人数5152010总人数10304020完成2×2列联表（以“运动时间≥6小时”和“成绩是否优秀”为分类变量），并判断是否有95%的把握认为“数学成绩优秀与每周运动时间≥6小时有关”？（参考公式：(\chi^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)})，临界值(\chi^2_{0.05}=3.841)）若用频率估计概率，从该校学生中随机抽取3人，记其中“每周运动时间≥6小时且成绩优秀”的人数为(X)，求(X)的分布列与数学期望。（二）综合建模与决策（25分）某电商平台“618”促销期间，用户可通过两种方式获得优惠券：方式A：直接领取固定金额50元券；方式B：参与抽奖，有(\frac{1}{3})概率获得100元券，(\frac{2}{3})概率获得20元券。若用户只能选择一种方式，从期望收益角度应选择哪种？平台为提高用户活跃度，设置“邀请好友助力”机制：每邀请1位好友助力，方式B的100元券概率增加0.1（最多邀请3位，概率不超过1）。设邀请好友数为(n)（(n=0,1,2,3)），写出方式B的期望收益(E(n))关于(n)的函数关系式，并求当(n)为何值时，方式B的期望收益超过方式A？某用户计划购买一款原价2000元的商品，若使用优惠券后的实付金额为(Y)元，比较以下两种策略的实付金额期望：策略1：直接使用方式A；策略2：邀请2位好友助力后使用方式B。四、开放探究题（30分）（一）模型设计（15分）某社区拟在半径为50米的圆形广场内修建一个矩形健身区域，要求矩形的两个顶点在广场边界上，另外两个顶点在一条直径上（如图2）。设矩形的一边长为(x)米，面积为(S)平方米。建立(S)关于(x)的函数模型，并求出定义域；如何设计矩形的尺寸，使得健身区域面积最大？（二）模型评价与创新（15分）若广场改为椭圆形状（长轴长120米，短轴长80米），原矩形设计方案是否仍适用？说明理由；结合2025年课标要求，阐述在数学建模过程中“问题转化”与“模型检验”两个环节的重要性，并举例说明。（注：全卷共四大题，满分150分，考试时间120分钟）试题设计说明：内容覆盖：严格依据2025年课标要求，涵盖函数（二次函数、正态分布）、几何（正四棱锥、动态几何）、概率统计（独立性检验、分布列）三大核心模块，突出数学建模、数据分析等核心素养。能力层级：基础题（如函数解析式求解、几何体表面积计算）占40%，综合应用题（如含干扰项的模型优化、概率决策问题）占40%，开放探究题（如模型缺陷分析、椭圆场景拓展）占20%，符合“基础性—综合性—创新性”的梯度设计。情境真实性：选取共享单车、电商促销、社区规划