2025年上学期高一数学知识网络构建试题

2025年上学期高一数学知识网络构建试题一、集合与函数概念综合应用1.集合运算与函数定义域设集合(A={x|\log_2(x-1)<2})，集合(B={y|y=x^2-4x+5,x\in[0,3]})。（1）求(A\capB)和(\complement_{\mathbb{R}}(A\cupB))；（2）若函数(f(x)=\sqrt{kx^2+2kx+1})的定义域为(\mathbb{R})，求实数(k)的取值范围。2.函数性质与分段函数已知函数(f(x)=\begin{cases}2^x-1&(x\geq0)\x^2+mx&(x<0)\end{cases})是奇函数。（1）求实数(m)的值；（2）判断函数(f(x))在区间((-\infty,0))上的单调性，并证明；（3）解不等式(f(x)+f(x-1)>0)。二、基本初等函数与导数初步3.指数函数与对数函数综合已知函数(f(x)=a^x+\log_a(x+1))（(a>0)且(a\neq1)）在区间([0,1])上的最大值与最小值之和为(a)。（1）求(a)的值；（2）若函数(g(x)=f(x)-2^x)，求(g(x))在区间([0,2])上的值域。4.导数的几何意义与应用（1）求函数(f(x)=x^3-3x^2+2x)在点((2,f(2)))处的切线方程；（2）已知函数(h(x)=x^2-a\lnx)在区间((1,e))上单调递增，求实数(a)的取值范围；（3）利用导数证明：当(x>0)时，(x-\frac{x^3}{6}<\sinx<x)。三、三角函数与三角恒等变换5.三角函数图像与性质已知函数(f(x)=2\sin(\omegax+\varphi))（(\omega>0)，(|\varphi|<\frac{\pi}{2})）的部分图像经过点((0,1))和((\frac{\pi}{3},0))，且相邻对称轴之间的距离为(\frac{\pi}{2})。（1）求函数(f(x))的解析式；（2）求函数(f(x))在区间([-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}])上的单调递增区间和最值。6.三角恒等变换与解三角形（1）化简：(\frac{\sin(2\alpha+\beta)}{\sin\alpha}-2\cos(\alpha+\beta))；（2）在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所对的边分别为(a,b,c)，已知(a=2\sqrt{3})，(b=2)，(\cosA=-\frac{1}{2})。①求角(B)的大小；②若(D)为(BC)的中点，求(AD)的长度。四、数列与不等式7.等差数列与等比数列综合已知数列({a_n})是等差数列，数列({b_n})是等比数列，且(a_1=b_1=2)，(a_4+b_4=27)，(a_5-b_5=10)。（1）求数列({a_n})和({b_n})的通项公式；（2）设(c_n=a_n\cdotb_n)，求数列({c_n})的前(n)项和(S_n)；（3）若不等式((-1)^n\lambda<S_n+\frac{4}{b_n})对任意(n\in\mathbb{N}^*)恒成立，求实数(\lambda)的取值范围。8.不等式证明与线性规划（1）已知(a>0)，(b>0)，且(a+2b=1)，求证：(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq3+2\sqrt{2})；（2）设变量(x,y)满足约束条件(\begin{cases}x+y\leq5\2x-y\leq4\-x+y\leq1\y\geq0\end{cases})，求目标函数(z=x^2+y^2)的取值范围。五、立体几何与空间向量9.空间几何体的体积与表面积如图，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(D)为(BC)的中点。（1）求证：(A_1B\parallel)平面(ADC_1)；（2）求三棱锥(A_1-ADC_1)的体积；（3）求二面角(A-DC_1-C)的余弦值。10.空间向量与线面位置关系在四棱锥(P-ABCD)中，底面(ABCD)是正方形，(PA\perp)底面(ABCD)，(PA=AB=2)，(E)是(PC)的中点。（1）建立空间直角坐标系，求向量(\overrightarrow{DE})和(\overrightarrow{PB})的坐标；（2）求证：(DE\perp)平面(PBD)；（3）求直线(DE)与平面(PAB)所成角的正弦值。六、解析几何初步11.直线与圆的方程已知圆(C:x^2+y^2-4x-6y+12=0)。（1）求过点(A(3,5))且与圆(C)相切的直线方程；（2）若直线(l:y=kx+2)与圆(C)相交于(M,N)两点，且(|MN|=2\sqrt{3})，求(k)的值；（3）设(P)是圆(C)上的动点，求点(P)到直线(3x+4y+8=0)的距离的最大值和最小值。12.圆锥曲线与轨迹方程已知椭圆(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的离心率为(\frac{\sqrt{3}}{2})，且过点((2,1))。（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线(l:y=kx+m)与椭圆交于(A,B)两点，且(OA\perpOB)（(O)为坐标原点），求证：原点(O)到直线(l)的距离为定值。七、概率统计与数学建模13.统计图表与概率计算某学校为了解学生的数学学习情况，随机抽取100名学生进行数学成绩调查，得到如下频率分布直方图：（1）求频率分布直方图中(a)的值，并估计这100名学生数学成绩的平均数和中位数；（2）若从成绩在([80,90))和([90,100])的学生中按分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机选取2人参加数学竞赛，求至少有1人成绩在([90,100])的概率。14.数学建模与实际应用某工厂生产一种产品，每件成本为40元，销售单价为60元，每月可销售300件。为了提高利润，工厂决定改进生产工艺，降低成本。经测算，每降低1元成本，月销售量可增加20件。（1）设每件产品的成本降低(x)元（(x\in\mathbb{N})），月利润为(y)元，求(y)关于(x)的函数关系式；（2）当每件产品的成本降低多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？八、数学思想方法与创新题型15.数形结合与分类讨论已知函数(f(x)=|x^2-4x+3|)。（1）作出函数(f(x))的图像，并写出其单调区间；（2）若关于(x)的方程(f(x)=m)有4个不同的实根，求实数(m)的取值范围；（3）若函数(g(x)=f(x)-kx)有3个零点，求实数(k)的取值范围。16.新定义与探究性问题定义：对于函数(f(x))，若存在实数(a,b)，使得函数(g(x)=f(x-a)+b)为奇函数，则称函数(f(x))为“可变换奇函数”。（1）判断函数(f(x)=x^3+x^2+1)是否为“可变换奇函数”，并说明理由；（2）若函数(f(x)=\log_2(x+\sqrt{x^2+t}))是“可变换奇函数”，求