2025-2026学年山东省泰安市新泰一中高一上学期第一次月考数学试题含答案

高中高中新泰中学2025级高一上学期第一次阶段性考试一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知命题，则命题的否定为（）A. B.C. D.3.下列命题为真命题是（）A.，当时，B.集合与集合是相同的集合C.若，，则D.最小值为84.设、，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.的解集为6.已知，则以下错误的是（）A B.C. D.7.已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（）A. B.C.或 D.或8.已知，，且，则最小值为（）A. B. C. D.4二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知实数a，b，c满足，且，则下列说法正确的是（）A. B. C. D.10.中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题:“今有物，不知其数，三三数之，剩二;五五数之，剩三;七七数之，剩二.问:物几何?”现有数学语言表达如下:已知，，若，则下列选项中符合题意的整数为（）A.8 B.23 C.37 D.12811.已知x，y均为正实数，则（）A.最大值为B.若，则的最大值为8C.若，则的最小值为D.若，则的最小值为三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共计15分.）12.已知集合，若，则的值为__________.13.若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围是___________.14已知函数，，则________四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知集合或.（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围.16设集合，．（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的取值范围．17.已知二次函数的图像过点和原点，对于任意，都有．（1）求函数的表达式；（2）设，若函数≥在上恒成立，求实数的最大值．18.如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目即图中阴影部分，这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为，两栏之间的中缝空白的宽度为，设广告牌的高为．（1）求广告牌的面积y关于x的表达式；（2）如何设计才能使广告牌的面积最小，并求出最小值．19.已知函数.（1）关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集;（2）已知，当时，，①若存在正实数a，b，使不等式有解，求的取值范围;②求的最小值.新泰中学2025级高一上学期第一次阶段性考试一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.）1已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据绝对值不等式的解法，结合集合交集的定义进行求解即可.【详解】因为，，所以，故选：A2.已知命题，则命题的否定为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可.【详解】因为命题，所以命题的否定为：，故C正确；故选：C.3.下列命题为真命题的是（）A.，当时，B.集合与集合是相同的集合C.若，，则D.最小值为8【答案】C【解析】【分析】利用不等式的性质，运用作差法判断选项A，C，根据集合的性质结合二次函数性质判断选项B，利用基本不等式判断选项D．【详解】选项A：，，，则，，，即，当时，，故A错误；选项B：集合表示的定义域，即，集合表示的值域，即，，故B错误；选项C：，又，，则，，，即，故C正确；选项D：令，由得，表达式变为，根据基本不等式：，当且仅当时取等号，即等号不成立，的最小值不为8，故D错误．故选：C．4.设、，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】设，分析函数在上的单调性，结合函数的单调性以及充分条件、必要条件判断可得出合适的选项.【详解】设，则函数在、上均为增函数，又因为函数在上连续，故函数在上单调递增，若，则，即；若，则，可得.因此，“”是“”的充要条件.故选：C.5.已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.的解集为【答案】D【解析】【分析】根据不等式与方程的关系，结合韦达定理，求得的关系，再分析选项即可求解.【详解】对于A，由已知可得开口向下，即，故A错误；对于BCD，是方程的两个根，所以，所以，，故BC错误，D正确；故选：D.6.已知，则以下错误的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由不等式的性质结合特殊值排除法逐项分析即可.【详解】因为，所以，对于A，，,,综上可得，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，当时，，故D错误；故选：D.7.已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（）A. B.C.或 D.或【答案】A【解析】【分析】根据题意，分和两种情况讨论，即可求出的取值范围．【详解】当时，不等式化为恒成立，当时，不等式不能恒成立，当时，要使不等式恒成立，需，解得，综上所述，不等式对任意恒成立，的取值范围是，故选：A.8.已知，，且，则最小值（）A. B. C. D.4【答案】C【解析】【分析】先分离常数得到，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【详解】，结合可知：原式，且当且仅当，时等号成立．即最小值为．故选：C二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知实数a，b，c满足，且，则下列说法正确的是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】根据不等式性质及条件判断A、D；根据题意得，结合不等式的性质判断B；结合题意，利用函数的单调性判断C.【详解】对于A，因，所以，所以，故A错误；对于B，由于且，故，所以，故，B正确；对于C，因为，且函数在R上单调递增，所以，故C正确；对于D，因为，所以，所以，故D错误.故选：BC10.中国古代重要数学著作《孙子算经》下卷有题:“今有物，不知其数，三三数之，剩二;五五数之，剩三;七七数之，剩二.问:物几何?”现有数学语言表达如下:已知，，若，则下列选项中符合题意的整数为（）A.8 B.23 C.37 D.128【答案】BD【解析】【分析】直接将各选项的数字变形判断即可.【详解】因为，故；，故；因，则；则.故选：BD.11.已知x，y均为正实数，则（）A.的最大值为B.若，则的最大值为8C.若，则的最小值为D.若，则的最小值为【答案】ACD【解析】【分析】根据题意，结合基本不等式，可判定A、C正确，B错误，再由，化简得到，得出，结合二次函数的性质，可判定D正确.【详解】A中，因为，可得，当且仅当时，等号成立，所以，即的最大值为，所以A正确；B中，由，则，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为，所以B不正确；C中，若，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以C正确；D中，由，可得，则，令，则，又由，所以当，可得，所以，所以D正确.故选：ACD.三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共计15分.）12.已知集合，若，则的值为__________.【答案】【解析】【分析】分类讨论和，注意元素的互异性.【详解】因为，所以或，当，即时，，此时集合中有重复元素3，所以不符合题意，舍去；当时，解得或（舍去），此时当时，符合题意，综上可知，，故答案为：.13.若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围是___________.【答案】或【解析】【分析】先对不等式进行因式分解，再根据m和1的大小关系进行分类讨论，结合题意，即可求解.【详解】由得：，①当时，不等式的解集为：，因为解集中恰有3个整数，所以；②当时，不等式的解集为，不符合题意；③当时，不等式的解集为：，因为解集中恰有3个整数，所以；综上所述：实数m的取值范围是：或.故答案为：或14.已知函数，，则________【答案】，且【解析】【分析】根据已知关系及解析式直接写出的解析式，并标注函数的定义域.【详解】由，且，可得且，所以，其定义域为且.故答案为：，且四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知集合或.（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据集合的并集运算即可列不等式求解，（2）根据包含关系列不等式求解.【小问1详解】因为或所以，解得，所以实数的取值范围是.【小问2详解】或，由得当时，，解得；当时，，即，要使，则，得.综上，.16.设集合，．（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出集合、，由可得出关于的等式，进而可求得实数的值；（2）求得集合，由可得出实数所满足的不等式组，进而可解得实数的取值范围.【详解】（1），，，且，所以，，解得；（2），，则或.又，所以，解得.因此，实数的取值范围是.【点睛】本题考查利用集合的运算结果求参数，同时也考查了一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于基础题.17.已知二次函数的图像过点和原点，对于任意，都有．（1）求函数的表达式；（2）设，若函数≥在上恒成立，求实数的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意得，得，从而恒成立，得，即可求解；（2）依题意可得，分和两种情况，当时，分离变量进行求解即可.【小问1详解】由题意得，所以，因为对于任意，都有，即恒成立，故，解得，.所以；【小问2详解】由≥得当时，不等式恒成立；当时，，令，则，即，当且仅当时，即时，实数取得最大值.18.如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目即图中阴影部分，这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为，两栏之间的中缝空白的宽度为，设广告牌的高为．（1）求广告牌的面积y关于x的表达式；（2）如何设计才能使广告牌的面积最小，并求出最小值．【答案】（1）；（2）设计广告牌的高度为时广告牌的面积最小，且最小值为．【解析】【分析】（1）设广告牌的宽为，则由题意可得，且，从而可求得广告牌的面积y关于x的表达式；（2）由（1）可得，然后利用基本不等式求解即可【详解】解：（1）依题意设广告牌的宽为，则，所以，且，所以广告牌的面积．（2）由（1）知，，当且仅当，即时等号成立．所以当时，广告牌的面积最小最小值为．答：设计广告牌的高度为时广告牌的面积最小，且最小值为．19.已知函数.（1）关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集;（2）已知，当时，，①若存在正实数a，b，使不等式有解，求的取值范围;②求的最小值.【答案】（1）答案见解析（2）①，②36【解析】【分析】（1）由根与系数的关系求出关系，代入所求不等式，分类讨论解集；（2）由条件得，再利用基本不等式求解