专题01 对数的概念（高效培优讲义）数学北师大版2019必修第一册（解析版）

27/28专题01对数的概念教学目标1.理解对数的定义，明确对数与指数的相互关系，能进行指数式与对数式的互化。2.学会指数式与对数式的互化、求值等对数的性质的应用。教学重难点重点：(1)对数的定义（含底数、真数范围）；(2)对数与指数的互化。难点：理解对数是指数运算的逆运算；(2)正确运用互化关系解决问题，避免混淆底数、真数限制。知识点01对数的概念（重点）1.对数的定义如果ax＝Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>0，且a≠1))，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2.几种特殊的对数(1)常用对数：以10为底，记作lg_N；(2)自然对数：以e为底，记作ln_N．3.指数与对数的互化当a>0，a≠1时，ax＝N⇔logaN＝x．用图表示为：【知识剖析】为什么规定底数a>0,且a≠1?(1)当a＝0时，ax恒等于0，没有研究的必要．(2)当a<0时，对于某些取值，ax无意义，即不利于定义的扩充．(3)当a＝1时，则无论x取何值，ax恒等于1，没有研究的必要．【即学即练】1．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，.故选：A.2.在对数式中，实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据对数的概念，底数大于且不等于，真数大于0，列不等式组即可求解．【解析】要使对数式有意义，需满足，解得或，所以实数的取值范围是．故选:D.知识点02对数的性质（难点）(1)零和负数没有对数；(2)1的对数为零，即loga1＝0(a>0且a≠1)；(3)底数的对数为1，即logaa＝1(a>0且a≠1).(4)对数恒等式:＝N＝x.(a>0，且a≠1，N>0).【即学即练】1．（24-25高一上·北京大兴·期末）方程的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先根据真数大于零解得或，再将1转化为，即可解得，都使得方程有意义，即可知正确选项.【解析】由题意，，解得或，由，得，则，解得，所以方程的解集为.故选：D.2.（24-25高一上·上海浦东新·期中）已知，那么=（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据对数的定义，先求出，进而求出x.【解析】因为，所以，则x=2.故选：B.题型一对数概念的理解【典例1-1】（24-25高一上·河北衡水·随堂练习）给出下列说法:①零和负数没有对数;②任何一个指数式都可以化成对数式;③以10为底的对数叫作常用对数;④以为底的对数叫作自然对数.其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据对数的概念和定义，对每个选项进行逐一分析，即可判断选择.【解析】零和负数没有对数，命题①正确；，不能写成对数式，命题②错误，；以10为底的对数叫做常用对数，命题③正确；以为底的对数叫作自然对数，命题④正确；故正确命题是①③④，故选：C.【典例1-2】（24-25高一上·山东德州·阶段测试）对数式中实数的取值范围是（

） B．C． D．【答案】C【分析】根据对数函数的定义和性质，得到关于的不等式组，求解即可得到答案.【解析】由对数式有意义得解得.故选：C.对数式成立的条件在对数式中，必须注意：真数大于0，底数大于0且不等于1．【变式1-1】（24-25高一上·陕西·单元检测）若对数式有意义，则实数的取值范围是（

） B． C． D．【答案】B【分析】根据对数式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【解析】要使对数式有意义，需，解得且，所以，实数的取值范围是.故选：B.【变式1-2】（24-25高一上·辽宁·课后练习）使对数有意义的的取值范围为且 B． C．且 D．【答案】B【分析】根据对数成立的条件，建立不等式即可得到结论．【解析】要使对数有意义，则，解得，故选：B．题型二指数式与对数式的互化（重点）【典例2】（24-25高一上·全国·随堂练习）把下列指数式写成对数式，对数式写成指数式:；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.【解析】（1）因为，则.（2）因为，则.（3）因为，则.（4）因为，则.（5）因为，则.（6）因为，则.（7）解：因为，则.（8）因为，则.指数式、对数式互化的技巧指数式ab＝N与对数式logaN＝b的互化规则是“底数不变，左右交换”，即：①两式均以a为底；②b，N两个字母在等号左右互换其位置．幂值相等的指数式问题，求解时一般设相等的指数式为同一个常数，然后取对数求解.【变式2-1】（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）将下列指数式改写成对数式，对数式改写成指数式.；（2）；（3）．【分析】直接利用指数和对数的关系实现对指互化.【解析】（1）由可得；（2）由得；（3）由可得．【变式2-2】（24-25高一上·全国·课堂练习）将下列对数式为指数式或指数式化为对数式：；(2)；(3)；(4)．【分析】利用指数和对数互化求解.【解析】（1）解：因为，,所以．（2）因为，所以．（3）因为，所以．（4）因为，所以．题型三利用对数性质求值【典例3】（24-25高一上·安徽蚌埠·阶段练习）求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】（1）；（2）；（3）；（4）.利用对数性质求值的两注意利用对数性质求值时，一是要注意底数与真数之间的关系，以免用错性质；二是要注意结合对数的定义.【变式3-1】（24-25高一上·贵阳·期末）求下列各式的值:(1)log1162;(2)log7【解析】(1)设log1162=x,则116∴-4x=1,x=-14,即log116(2)设log7349=x,则7x=3∴x=23,即log73【变式3-2】（24-25高一上·福建·期中）①；②；③若，则；④若，则．其中正确的是（

）①③ B．②④ C．①② D．③④【答案】C【分析】根据对数的运算性质计算逐一判断可得选项.【解析】解：对于①，，故①正确；对于②，，故②正确；对于③，若，则，故③不正确；对于④，若，则，故④不正确．故选：C.题型四利用指数、对数式互化求值【典例4】（24-25高一上·山东聊城·阶段练习）求下列各式中x的值：（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】（1）因为，所以；（2）因为，所以，所以，因为且，所以；（3）因为，所以，所以；（4）因为，所以，即，所以，所以利用指数、对数式互化求值利用指数、对数式互化求值时，要注意方程思想的应用，即通过解方程及指对互化的策略，求得相应未知量的值.【变式4-1】（24-25高一上·北京·课后作业）求下列各式中x的值：x＝；(2)x＝log9eq\r(3)；(3)logx8＝－3；(4)logeq\f(1,2)x＝4.【解析】(1)由x＝，得＝4，所以＝22，－eq\f(x,2)＝2，x＝－4.(2)由x＝log9eq\r(3)，可得9x＝eq\r(3)，即32x＝所以2x＝eq\f(1,2)，x＝eq\f(1,4).(3)由已知得x－3＝8，即＝23，eq\f(1,x)＝2，x＝eq\f(1,2).(4)由已知得x＝＝eq\f(1,16).【变式4-2】（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）求x的值：＝【答案】x＝ 【分析】先化简为，再通过对指互化即得解.【解析】由题得.题型五指数、对数性质的综合应用【典例5】（24-25高一上·江苏扬州·课后作业）计算下列各式：(1)log2(log93);(2)22-log2[解析](1)设log93=x,则9x=3,即32x=3,∴x=12设log212=y,则2y=12=2∴y=-1.∴log2(log93)=-1.(2)2lo(3)＝＝eq\f(4,2)＝2.指数、对数性质的综合应用策略对于指数、对数性质的综合应用问题，要注意利用指数幂的性质（含运算性质），将所求代数式分割成多个对数式的运算，而对于每一个对数式，则可以考虑对数的性质求得其值.【变式5-1】（24-25高一上·乌鲁木齐·阶段练习）计算下列各式：(1)lg1-lne2+21+log2【解析】(1)原式=0-2+2×2lo＝＝eq\f(243,7).【变式5-2】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，那么等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用对数运算性质求出，再代入计算即可.【解析】由条件知，所以，即，所以．故选：C.题型六利用对数解指数型方程【典例6】（24-25高一上·天津·期末）已知2×9x－28＝，则x＝()A．log37－log32 B．logeq\f(14,3) C．log34 D．log37【答案】C【解析】选C.2×9x－28＝，所以2×(3x)2－28－3x＝0，即(3x－4)(2·3x＋7)＝0，解得3x＝4，则x＝log34.故选C.解与指数有关的方程的策略利用对数解与指数有关的方程的策略有二：一是将方程转化为某个具体数的x次方为一具体数的形式，再转化为对数式求得x的值；二是将方程左右两边都化为同底的指数式或对数式，再利用指数相等或真数相等列方程求解.【变式6-1】（24-25高一上·甘肃兰州·阶段练习）方程3log2x=【答案】18【解析】∵3log2x=127=3-3,∴log2x=-3,∴【变式6-2】（24-25高一上·陕西渭南·随堂练习）方程的解为.【答案】2【分析】将对数式转为指数式即可求出解.【解析】由题意得lg(2x－3)＝0，得2x－3＝1，解得x＝2.练基础1．（24-25高一上·江苏南通·期末）将化为对数式正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据对数的定义判断．【解析】化为对数式为，故选：B．2．（24-25高一上·安徽亳州·期中）若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由指数式和对数式的互化可得结果.【解析】因为，所以，.故选：A.3．（24-25高一上·四川成都·期末）式子的值为（

）A． B．10 C．11 D．12【答案】C【分析】根据指、对数运算求解即可.【解析】由题意可得：原式.故选：C.4．（多选）（24-25高一上·河北保定·阶段练习）（多选题）下列指数式与对数式互化正确的是（

）A．与 B．与C．与 D．与【答案】AD【分析】利用指数式和对数式的互化关系逐个选项判断求解即可.【解析】首先，我们给出指数式和对数式的互化关系式，对于A，可化为，故A正确，对于B，可化为，故B错误，对于C，可化为，故C错误，对于D，可化为，故D正确.故选：AD5．（多选）（24-25高一上·辽宁沈阳·期中）（多选题）下列说法等式正确的有（

）A． B．C．若，则 D．若，则【答案】AB【解析】对于选项A：，故A正确；对于选项B：，故B正确；对于选项C：若，则，故C错误；对于选项D：若，则，故D错误.故选：AB.6．（24-25高一上·江苏南通·课后作业）（多选）下列选项中，使有意义的a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】利用对数函数的定义列出关于a的不等式组，求解即可.【解析】要使有意义，则，解得或，所以a的取值范围是.故选：BC.7．（24-25高一上·山东淄博·随堂练习）通常我们将的对数叫做常用对数，并把记为.【答案】以10为底8．（24-25高一上·江苏无锡·课堂作业）在对数式中，实数的取值范围是．【答案】且【解析】由对数式可知：,解之得：且9．（24-25高一上·山西晋中·阶段练习）计算：.【答案】3【解析】.10．（24-25高一上·广州湛江·随堂练习）计算：．【答案】4【分析】根据对数的定义和指数幂运算求解.【解析】由题意可知：.11．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）将下列指数式与对数式互化：(1)；(2)；(3)；(4).【分析】（1）（2）（3）（4）利用指数式和对数式的互化关系式求解即可.【解析】（1）首先，我们给出指数式和对数式的互化关系式，对于，可化为.（2）对于，可化为.（3）对于，可化为.（4）对于，可化为.练提升12．（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）（多选题）下列命题正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】AB【