专题1.1 利用函数性质判定方程解的存在性（高效培优讲义）数学北师大版2019必修第一册（原卷版）

专题1.1利用函数性质判定方程解的存在性教学目标1.了解函数的零点、方程的解与图象与x轴交点的关系.2.能根据零点存在定理判断函数零点大致所在区间.3.会借助函数图象与单调性判断零点的个数.教学重难点重点：函数的零点、方程的解与图象与x轴交点的关系.难点：根据零点存在定理判断函数零点大致所在区间.知识点01函数的零点1.定义:对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的.2.函数的零点、方程的解、函数的图象之间的关系函数y=f(x)有⇔方程f(x)=0有⇔函数y=f(x)的图象与x轴有.【知识点拨】函数的零点是点吗？函数的零点不是点，是使f(x)＝0的实数x，是方程f(x)＝0的根【即学即练】1．（25-26高一上·全国·课前预习）使得的数称为方程的解，也称为函数的.的零点就是函数的图象与x轴的交点的.函数y=2x-1的零点是.函数f(x)=x2+x+1有零点吗？知识点02函数零点存在定理1.前提:函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有;2.结论:函数y=f(x)在区间内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得,这个c也就是方程f(x)=0的解.【知识点拨】函数零点存在定理能判断零点的个数吗？1.函数y＝f(x)在区间上的图象是一条连续不断的曲线，当f(a)f(b)<0时函数的图象至少穿过区间一次；2.函数零点存在定理只能判断零点是否存在，而不能确定零点的个数．当函数是单调函数，且在区间上f(a)f(b)<0，则函数的零点是唯一的．【即学即练】若函数y=f(x)在区间[a,b]上满足f(a)f(b)>0,则在区间(a,b)上是不是一定没有零点？题型01求函数的零点【典例1-1】（25-26高一上·江苏扬州·阶段练习）函数的零点为（

）A．1 B．－3 C．1和－3 D．和【典例1-2】（25-26高一上·全国·课前预习）函数的零点为（

）A． B． C．或 D．和函数零点的求法代数法：求方程f(x)＝0的实数根．几何法：对于不能用求根公式的方程f(x)＝0，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来．图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．【变式1-1】（2025高二下·湖南·学业考试）函数的零点为（

） B． C． D．【变式1-2】（23-24高一下·云南昭通·期末）函数的所有零点之和为（

）A．8 B．7 C．5 D．4【变式1-3】（25-26高三上·湖南·阶段练习）函数的两个零点分别是.【变式1-4】（25-26高一上·江苏连云港·阶段练习）已知关于的一元二次方程对应的函数有一个零点是-3，则此函数的另一个零点是．【变式1-5】（24-25高一·江苏·假期作业）求下列函数的零点：(1)；(2).题型02函数零点个数的判断【典例2-1】（25-26高三上·天津红桥·开学考试）已知函数y=f(x)的图象是连续不间断的，有如下对应表：x123456y122.521.4-7.44.5-53.1-125.5那函数f(x)在区间[1，6]上的零点个数是（

）A．只有2个 B．至多3个 C．只有3个 D．至少3个【典例2-2】（2025高三上·四川·学业考试）函数的零点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【典例2-3】（25-26高一上·全国·单元测试）函数的零点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3函数零点个数的判断方法能直接求出零点的直接求零点判断；利用函数的图象判断零点个数：①原理：函数的零点个数⇐方程的根的个数⇐移项拆分为两个初等函数，函数交点个数；②关键：拆分成的两个函数应方便作图．几何法：对于不能用求根公式的方程f(x)＝0，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来．图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．【变式2-1】（25-26高三上·四川广元·阶段练习）方程的实根个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【变式2-2】（2025高三·全国·专题练习）已知函数是周期为2的周期函数，且当时，，则函数的零点个数是（

）A．9 B．10 C．11 D．18【变式2-3】（25-26高一上·全国·单元测试）函数的零点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【变式2-4】（25-26高三上·广东·阶段练习）函数，则函数的零点个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6题型03判断零点所在区间【典例3】（24-25高二下·云南·期末）设函数，则函数的零点所在的区间为（

）A． B． C． D．判断函数零点所在区间的三个步骤(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值．(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数．则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．【变式3-1】.已知函数f(x)=6x-log2A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,+∞)【变式3-2】(2024·唐山高一检测)方程2x-2+2x=0的根所在的区间是 ()A.(-1,0) B.(0,1)C.(1,2) D.(2,3)题型04求参数的取值范围【典例4-1】（24-25高一上·天津河西·期末）“”是“函数存在零点”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【典例4-2】设f(x)=2x+1,x≤0|log2x|,关于利用零点存在定理求参数的范围1.直接法:适用于已知二次函数有几个零点求参数的取值范围,可以转化为含参一元二次方程有几个解,通过研究一元二次方程根的分布得到参数的取值范围;2.间接法:通常针对较为复杂的函数,可以拆分为两个简单函数的差,从而转化为两个简单函数有几个交点,结合图象得到满足条件的参数的取值范围．【变式4-1】若函数f(x)=ax-x-a(a>0,且a≠1)有两个零点,则a的取值范围是()A.(2,+∞)B.(1,+∞)C.0,12【变式4-2】已知函数f(x)=x2+4x+1,x≤0,|log2x|,x>0,若x1,x2,x3,x4是关于x的方程f(x)=t的四个互不相等的解,则x1A.(-2,1] B.(-2,+∞)C.-2,-32 题型05二次函数零点的分布【典例5-1】若关于x的一元二次方程x2-2ax+4=0有两个实根,且一个实根小于1,另一个实根大于2,则实数a的取值范围是()A.(-∞,-2)B.(2,+∞)C.52,+∞【典例5-2】已知二次函数y=x2-6x+m的两个零点都在区间[2,+∞)内,则实数m的取值范围是()A.(-∞,9) B.(8,9)C.[8,9) D.(8,+∞)二次函数零点分布核心：结合图像特征+代数条件四大关键：开口方向、判别式、对称轴位置、区间端点函数值符号具体步骤：1.

定开口，2.

判零点是否存在，3.

控位置：通过对称轴限定零点的区间范围，4.

验端点：根据开口方向，判断区间端点的函数值符号.【变式5-1】已知关于x的方程x2+2(m-1)x+2m+6=0,若方程至少有一个正根,则实数m的取值范围是.

【变式5-2】若函数的表达式在内有零点，求实数的取值范围．练基础1．（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数的图象是连续不间断的，且对应关系如下表：11.51.751.8752-6-2.625-0.141.342-0.158则在上的零点个数（）A．只有1个 B．至少有2个 C．至多有2个 D．只有2个2．已知是函数的一个零点，若，，则（

）A． B．C． D．3．（24-25高一上·北京顺义·期末）函数的零点所在的大致区间是（

）A． B． C． D．4．（25-26高三上·四川广元·阶段练习）方程的实根个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．35．（2025高三上·四川·学业考试）函数的零点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．36．（25-26高一上·辽宁·期中）已知函数则的零点之和为（

）A．1 B．2 C．-1 D．-27．（25-26高一上·全国·单元测试）函数的零点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．38.已知关于x的方程2kx2-2x-5k-1=0的两个实数根一个小于1,另一个大于1,则实数k的取值范围是()A.(0,+∞) B.(-1,0)C.(-∞,-1) D.(-∞,-1)∪(0,+∞)9.若函数f(x)=2x2+ax-b在x∈[0,1]上有两个不同的零点,则下列结论正确的是()A.b2+8a>0 B.a-b≥-2C.b<0 D.-2≤a≤010．（25-26高一上·江苏无锡·阶段练习）二次函数的一个零点是.11．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）函数的零点是．练提升12．（25-26高三上·北京朝阳·期中）若方程在区间上有解，则（

）A．4 B．5 C．6 D．713．（25-26高一上·北京·阶段练习）下面四个条件中，“函数存在零点”的必要但不充分的条件是（

）A． B． C． D．14．（25-26高三上·上海·阶段练习）已知是定义在上的偶函数，满足，且当时，，则下列结论错误的是（

）A．当时，B．C．的图像关于点对称D．函数有3个零点15．（2025高一·全国·专题练习）（1）若方程有两解，则实数的取值范围是；（2）若方程有一解，则实数的取值范