专题1.4 随机事件的运算（高效培优讲义）数学北师大版2019必修第一册（原卷版）

PAGE11NUMPAGES11专题1.4随机事件的运算教学目标1.了解随机事件的并、交与互斥的含义.2.能结合实例进行随机事件的并、交运算.教学重难点1.重点：用简单随机事件的并、交表示复杂的随机事件2.难点：对互斥事件、对立事件的理解.知识点01事件的运算（重点）定义记法图示事件A与事件B的并事件（和事件）事件A与事件B所构成的事件，称为事件A与事件B的并事件（和事件），这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中A∪B(或A+B)事件A与事件B的交事件（积事件）事件A与事件B所构成的事件，称为事件A与事件B的交事件（或积事件），这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中A∩B(或AB)【知识剖析】（1）和事件①按照定义可知，事件A+B发生时，当且仅当事件A与事件B中至少有一个发生.②不难看出，A⊆（A+B）且B⊆（A+B）（2）积事件按照定义可知，事件AB发生时，当且仅当事件A与事件B都发生.【即学即练】1．打靶3次，事件表示“共击中发”，其中，那么表示（

）A．“全部击中” B．“至少击中1次”C．“至多脱靶2次” D．“至少击中2次”2．从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，若“这2个数的和大于4”为事件A，“这2个数的和为偶数”为事件，则和包含的样本点数分别为（

）A．1，6 B．4，2 C．5，1 D．6，1知识点02事件的关系（重点）定义记法图示包含关系一般地，如果事件A发生时，事件B，则称“A包含于B”（或B“包含A”）A⊆B或相等关系如果事件A发生时，事件B；而且事件B发生时，事件A也，则称“A与B相等”记作A=B.A=B⇔A⊆B且B⊆A⇔A与B有相同的样本点A=B互斥事件给定事件A，B，若事件A与B，则称A与B互斥，AB=∅或A∩B=∅对立事件若，且,则称事件A与事件B互为对立事件，事件A的对立事件记作AA∩A=∅,【知识剖析】（1）包含关系①不可能事件记作∅，任何事件都包含不可能事件，即C⊇∅（C为任一事件）.②事件A也包含于事件A，即A⊆A.③事件B包含事件A，其含义就是事件A发生，事件B一定发生，而事件B发生，事件A不一定发生.④A⊆B也可用充分必要的语言表述为∶A发生是B发生的充分条件，B发生是A发生的必要条件.（2）相等关系①两个相等事件总是同时发生或同时不发生.②所谓事件A=B，就是说事件A，B是同一事件.③在验证两个事件是否相等时，常用到相等事件的定义.④A=B⟺A⊆B且B⊆A，A=B也可用充分必要的语言表述为∶A发生是B发生的充要条件·(3)互斥与对立的理解①事件A与事件B互斥:表示事件A与事件B不可能同时发生，即A与B两个事件同时发生的概率为0.②用集合的观点来看，A是A在Ω中的补集，如果B=A，则称A与B相互对立.【即学即练】1.(2025湖北省新八校协作体高二上联考，易)某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加比赛，那么互斥且不对立的两个事件是（

）A．至少有1名女生与全是女生 B．至少有1名女生与全是男生C．恰有1名女生与恰有2名女生 D．至少有1名女生与至多有1名男生2．（多选）（24-25高一下·内蒙古锡林郭勒盟·期末）从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都是白球”互斥而非对立的事件是以下事件中的哪几个（

）A．事件“两球都不是白球” B．事件“两球恰有一白球”C．事件“两球至少有一个白球” D．事件“两球不都是白球”3.连续掷一枚质地均匀的硬币三次，得到如下三个事件：A为“3次正面向上”，B为“只有1次正面向上”，C为“至少有1次正面向上”，试判断事件A,题型01进行事件的运算【典例1-1】（2025·湖南娄底·二模）某同学参加跳远测试，共有3次机会．用事件（）表示随机事件“第i（）次跳远成绩及格”，那么事件“前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格”可以表示为（

）A． B． C． D．【典例1-2】对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，则下列关系正确的是（

）A． B．C． D．互斥事件与对立事件的判断方法要判断两个事件是不是互斥事件，只需要找出各个事件包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生，在互斥的前提下，看两个事件中是否必有一个发生，可判断是否为对立事件．注意辨析“至少”“至多”等关键词语的含义，知道它们对事件结果的影响．必要时可以把具体的事件列举出来，更易于分辨．【变式1-1】（2025吉林通化高二上联考）掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或3”为事件A，“向上的点数是1或5”为事件B，则（

）A．B．表示向上的点数是1或3或5C．表示向上的点数是1或3D．表示向上的点数是1或5【变式1-2】(多选)从5个女生和4个男生中任选两个人参加某项活动,有如下随机事件:A=“至少有一个女生”,B=“至少有一个男生”,C=“恰有一个男生”,D=“两个都是女生”,E=“恰有一个女生”.下列结论正确的有()A.C=EB.A=BC.D∩E≠⌀D.B∩D=⌀,B∪D=Ω题型02互斥事件与对立事件【典例2-1】（24-25高一下·全国·课后作业）若干人站成一排，其中为互斥事件的是（

）A．“甲站排头”与“乙站排头” B．“甲站排头”与“乙站排尾”C．“甲站排头”与“乙不站排头” D．“甲不站排头”与“乙不站排头”【典例2-2】（23-24高一下·北京通州·期末）一个口袋内装有大小、形状相同的红色、黄色和绿色小球各2个，不放回地逐个取出2个小球，则与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立的事件有（

）A．2个小球恰有一个红球 B．2个小球至多有1个红球C．2个小球中没有绿球 D．2个小球至少有1个红球【变式2-1】从装有3个黄球和4个蓝球的口袋内任取3个球，那么互斥不对立的事件是(

)A．恰有一个黄球与恰有一个蓝球 B．至少有一个黄球与都是黄球C．至少有一个黄球与都是蓝球 D．至少有一个黄球与至少有一个蓝球【变式2-2】(24-25高二上·黑龙江哈尔滨·开学考试）从一批产品（其中正品､次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数和次品件数，下列事件是互斥事件的是.①恰好有1件次品和恰好有2件次品；②至少有1件次品和全是次品；③至少有1件正品和至少有1件次品；④至少有1件次品和全是正品.题型03事件的包含与相等【典例3-1】（23-24高二上·河南信阳·阶段练习）同时掷两枚硬币，“向上的面都是正面”为事件A，“向上的面至少有一枚是正面”为事件B，则有()A．A=B B．C．A⊆B D．A与【典例3-2】在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1={出现1点}，事件C2={出现2点}，事件C3={出现3点}，事件C4={出现4点}，事件C5={出现5点}，事件C6={出现6点}，事件(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件．判断事件间关系的方法（1）要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立，其发生的条件都是一样的.（2）考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析.【变式3-1】（多选）（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）抛一枚质地均匀的骰子，记“向上的点数是4或5或6”为事件A，“向上的点数是1或2”为事件B，“向上的点数小于5”为事件C，“向上的点数大于3”为事件D，则（

）A．A与B是互斥事件，但不是对立事件 B．CC．A与C是互斥事件D．A【变式3-2】从一副52张的扑克牌中任取一张，设事件A：抽出红桃，事件B：抽出黑桃，事件C：抽出红色牌，事件D：抽出黑色牌．分别讨论以下事件之间的关系：(1)A与B；(2)C与D；(3)B与D．练基础1．事件M⊆N，当N发生时，下列必发生的是()A．MB．M∩NC．M∪ND．M的对立事件2．若干人站成一排，其中为互斥事件的是()A．“甲站排头”与“乙站排头”B．“甲站排头”与“乙站排尾”C．“甲站排头”与“乙不站排头”D．“甲不站排头”与“乙不站排头”3.(2025广东佛山市顺德区乐从中学高二上月考)向上抛掷一枚均匀的骰子两次，事件表示两次点数之和小于8，事件表示两次点数之和既能被2整除又能被3整除，则事件用样本点表示为（

）A． B．C． D．4.(2025湖北省新八校协作体高二上联考)某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加比赛，那么互斥且不对立的两个事件是（

）A．至少有1名女生与全是女生 B．至少有1名女生与全是男生C．恰有1名女生与恰有2名女生 D．至少有1名女生与至多有1名男生5．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设={2名全是男生}，{2名全是女生}，{恰有一名男生}，{至少有一名男生}，则下列关系不正确的是(

)A． B． C． D．6．（多选）一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件：事件A：恰有1件次品；事件B：至少有2件次品；事件C：至少有1件次品；事件D：至多有1件次品，以下结论正确的是（

）A． B．是必然事件C． D．7．向上抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件“点数为2或4”，事件“点数为2或6”，事件“点数为偶数”，则事件C与A，B的运算关系是．8.抛掷相同硬币3次，记“至少有一次正面向上”为事件A，“一次正面向上，两次反面向上”为事件B，“两次正面向上，一次反面向上”为事件C，“至少一次反面向上”为事件D，“3次都正面向上”为事件E.(1)试判断事件

与事件B，C，E的关系；(2)试求AD，B+C所包含的样本点，并判断AD与B+C的关系.9．（22-23高一下·天津河北·期末）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球（标号为1和2），2个绿球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，M＝“两个球颜色相同”，N＝“两个球颜色不同”．(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；(2)写出事件R与G，M与N之间的关系；(3)写出事件R与事件G的并事件与事件M的关系．练提升10．从1，2，3，4，5中任取2个数，设事件“2个数都为偶数”，“2个数都为奇数”，“至少1个数为奇数”，“至多1个数为奇数”，则下列结论正确的是(

)A．与是互斥事件 B．与是互斥但不对立事件C．与是互斥但不对立事件 D．与是对立事件11．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是6”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则(

)A．甲与丙是互斥事件 B．乙与丙是对立事件C．甲与丁是对立事件 D．丙与丁是互斥事件12．（多选）（23-24高一上·安徽亳州·期末）中国四大名楼是一种泛称，特指山西永济鹳雀楼、江西南昌滕王阁、湖北武汉黄鹤楼、湖南岳阳岳阳楼．记事件“只去黄鹤楼”，事件“至少去两个名楼”，事件“只去一个名楼”，事件“一个名楼也不去”，事件“至多去一个名楼”，则下列命题正确的是（

）A．E与H是互斥事件 B．F与I是互斥事件，且是对立事件C． D．13．（24-25高一下·全国·课后作业）给出以下三个命题：（1）将一枚硬币抛掷两次，记事件A：“二次都出现正面”，事件B：“二次都出现反面”，则事件A与事件B是对立事件；（2）在命题（1）中，事件A与事件B是互斥事件；（3）在10件产品中有3件是次品，从中任取3件，记事件A：“所取3件中最多有2件是次品”，事件B：“所取3件中至少有2件是次品”，则事件A与事件B是互斥事件，其中真命题的个数是．14．从一副扑克牌(去掉大、小王，共52张)中随机选取1张，下列每组事件是否为互斥事件？若是互斥事件，则是否互为对立事件？若不是对立事件，请分别说出事件、事件的对立事件．(1)表示“抽出的牌是红心”，表示“抽出的牌是方片”；(2)表示“抽出的牌是红心”，表示“抽出的牌是K”；(3)表示“抽出的牌是红色牌”，表示“抽出的牌是黑色牌”；(4)表示“抽出的牌面是2，3，4，6，10之一”，表示“抽出的牌是方片”；(5)表示“抽出的牌面是2，3，4，5，6，7，8，9，10之一”，表示“抽出的牌面是J，Q，K，A之一”；(6)表示“抽出的牌面是2，3，4，5，6，7之一的一张方片”，表示“抽出的牌面是8，9，10，J，Q，K，A之一的一张方片”．15．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：=“点数为i”，其中；=“点数不大于2”，=“点数大于2”，=“点数大于4”；E=“点数为奇数”，F=“点数为偶数”.判断下列结论是否正确.(1)与互斥；(2)，为对立事件；(3)；(4)；(5)，；(6)；(7)；(8)E，F为对立事件；(9)；(10)16．扑克牌中的秘密扑克牌有54张，52张正牌表示一年有52个星期，2张副牌中的大猫代表太阳，小猫代表月亮；黑桃、红桃、方块、梅花表示春、夏、秋、冬四季，红色牌代表白昼，黑色牌代表黑夜；每一季13个星期与扑克牌每一花色13张正好一致，52张牌的点数相加是364，再加上小猫的一点，是365，与一般年份天数相同；如果再加上大猫的一点，那就