专题2.1~2.2 实际问题的函数刻画用函数模型解决实际问题（高效培优讲义）数学北师大版2019必修第一册（解析版）

专题2.1~2.2实际问题的函数刻画，用函数模型解决实际问题教学目标理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.2.结合具体问题,利用计算工具,比较对数函数、线性函数、指数函数增长速度的差异.3.在实际情境中,会选择合适的数学模型刻画现实问题的变化规律.教学重难点重点、难点：结合具体问题,利用计算工具,比较对数函数、线性函数、指数函数增长速度的差异.在实际情境中,会选择合适的数学模型刻画现实问题的变化规律.知识点01基本初等函数模型（基础核心）1.一次函数模型：y=kx+b（k≠0，k为斜率，b为截距）应用场景：匀速变化问题（如行程、成本计算）二次函数模型：y=ax2+bx+c（a≠0）应用场景：最值问题（如利润最大化、面积最值）指数函数模型：y=ax（a>0且a≠1）应用场景：增长减问题（如人口增长、复利计算、半衰期）4.对数函数模型：y=logax（a>0且a≠1）应用场景：数据处理（如pH值计算、地震震级）5.幂函数模型：y=xa知识点02分段函数模型（实际问题高频）定义：不同区间对应不同解析式应用场景：阶梯收费（水电费、税费）、分段计价（行程费用）知识点03拟合函数模型（数据建模）定义：根据实际数据，选择合适函数类型拟合趋势（如线性拟合、指数拟合）核心步骤：1.收集数据；2.绘制散点图；3.选择函数模型；4.求参数（待定系数法）；5.检验拟合度常见类型：线性拟合（一次函数）、指数拟合（增长减）、二次拟合（抛物线趋势）【即学即练】1．（24-25高二·全国·课堂例题）判断：解决应用问题的关键是建立数学模型．()【答案】正确【知识点】建立拟合函数模型解决实际问题2．（25-26高一上·全国·随堂练习）判断：利用已知模型计算所得数据与实际问题完全一致.()【答案】错误【知识点】利用给定函数模型解决实际问题【分析】由模型只是近似模拟，即可判断.【详解】模型只是近似拟合，与实际数据不一定完全一致，错误.故答案为：错误3.(2024-2025·北京高一检测)假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如图所示:横轴为投资时间(单位:天),纵轴为回报,根据以上信息,若使回报最多,下列说法正确的是;①投资3天以内(含3天),采用方案一;②投资4天,不采用方案三;③投资6天,采用方案二;④投资10天,采用方案二.【解析】观察图象,从每天回报看,在第一天到第三天,方案一最多,①正确;在第四天,方案一、方案二一样多,方案三最少,②正确;在第五到第八天,方案二最多,③正确;从第九天开始,方案三比其他两个方案所得回报都多,④不正确.答案:①②③【知识剖析】函数拟合与预测的一般方法(1)若已知的数据较多,可以绘出散点图,观察图象的增长(下降)的趋势特征,选择函数模型,再通过具体数据验证;(2)若已知函数模型的解析式含有未知参数,可以利用已知的部分数据求出函数的解析式,再代入其他数据,通过分析所得数据与实际数据的关系选择函数模型.题型01已知函数模型解决实际问题【典例1-1】（浙江省91高中联盟2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题）年8月日，我国新疆、西藏等地发生多次至级地震，一般来说，震级在3级以上时，我们称该地震为有感地震（即人们能感觉到此次地震）.里氏震级R与地震释放能量E的关系为.已知6级地震释放的能量为，则下列说法正确的是（

）A．震级越大，地震释放的能量越大B．C．8级地震释放的能量为6级地震释放能量的1000倍D．某次地震释放的能量为，则该地震为有感地震【答案】ACD【知识点】指数函数模型的应用（2）、利用给定函数模型解决实际问题【分析】根据题中所给的里式震级R与地震释放能量E的关系进行分析判断可得.【详解】由6级地震释放的能量为，所以，解得，所以B错误；，根据指数函数的性质，R越大，则E就越大，所以A正确；当R=8时，，当R=6时，，所以.所以C正确；当时，，地震释放的能量为，则该地震超过了3级，所以有震感，所以D正确.故选：ACD.【典例1-2】（25-26高三上·甘肃嘉峪关·期中）某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元时，不享受任何折扣；如果顾客购物总金额超过800元时，那么超过800元部分享受一定的折扣优惠，按下表折扣分别累计计算可以享受折扣优惠金额折扣率不超过500元的部分超过500元的部分某人在此商场购物总金额为x元，可以获得的折扣金额为y元，则y关于x的解析式为，若元，则他购物实际所付金额为元.【答案】1320【知识点】利用给定函数模型解决实际问题【分析】首先判断，再代入相关函数得到方程，解出即可.【详解】若，则，因此.由，得（元），所以实际所付金额为元.故答案为：1320【典例1-3】（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）学校和学校相距20km，现计划在学校外以为直径的半圆弧（不含，两点）上选择一点建造一家污水处理厂.其对学校的影响度与所选地点到学校的距离有关，对学校的影响度与所选地点到学校的距离的平方成反比，比例系数为1；对学校的影响度与所选地点到学校的距离的平方成反比，比例系数为.对学校和学校的总影响度为学校和学校的影响度之和.记点到学校的距离为km，建在处的污水处理厂对学校和学校的总影响度为.统计调查表明：当在的中点时，对学校和学校的总影响度为0.085.(1)将表示成的函数；(2)判断半圆弧（不含，两点）上是否存在一点，使得建在此处的污水处理厂对学校和学校的总影响度最小？若存在，求出该点到学校的距离，以及总影响度的最小值；若不存在，说明理由.【知识点】基本（均值）不等式的应用、建立拟合函数模型解决实际问题、分式型函数模型的应用【分析】（1）根据垂直关系可知，，再根据题意，转化为，再代入数据，即可求解；（2）根据（1）的结果，利用换元法，基本不等式求函数的最值.【详解】（1）由为直径，得，所以，由已知得，又当垃圾处理厂是的中点时，对城和城的总影响度为，即时，，代入上式得，解得，所以表示成的函数为：；（2），令，，则，又，当且仅当时，即时，等号成立，所以，当时，等号成立，所以弧上存在一点，该点到城的距离为km时，建在此处的垃圾处理厂对城市和城的总影响度最小为.利用函数模型解决实际问题函数的解析式中往往含有未知系数,可以通过初始值等条件求出系数,再利用函数的性质、指数对数运算解决实际问题．【变式1-1】（2025高三·全国·专题练习）已知火箭的最大速度v（单位：km/s）与燃料质量M（单位：kg）、火箭（除燃料外）的质量m（单位：kg）的函数关系为．若已知火箭的质量为3100kg，火箭的最大速度为11km/s，则火箭需要加注的燃料质量约为（参考数据：，结果精确到0.01t，）（

）A．890.23t B．755.44t C．244.69t D．243.69t【答案】B【知识点】对数的运算性质的应用、利用给定函数模型解决实际问题【分析】根据解析式代入的值，求解方程可得答案.【详解】根据题意时，则，所以，则，即，所以．故选：B．【变式1-2】（25-26高三上·上海·期中）在资源有限的情况下，种群数量随时间（单位：天）的变化满足逻辑斯蒂模型：，其中常数为环境容纳量，为种群初始数量，为比增长率生态学家高斯（）曾经做过单独培养大草履虫的实验：初始时，在培养液中放入个草履虫，观察到时，种群数量为；时，种群数量为.根据逻辑斯蒂模型，可估算大草履虫种群的比增长率为．（保留两位有效数字）参考数235711131719230.6931.0991.6091.9452.3982.5652.8332.9443.135【答案】【知识点】指数函数模型的应用（2）、利用给定函数模型解决实际问题【分析】将已知数据代入函数模型，求出的值，再利用指对互化以及对数运算求解即可.【详解】由题意，，，则，因此，整理得，解得或（舍），因此，解得.所以大草履虫种群的比增长率约为.故答案为：【变式1-3】（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·月考）某公司出售一款网红玩偶，假设购进该款产品能够全部售出.采购此玩偶有两种渠道，渠道一：若采购数量不超过25万件，只能从经销商处按每件成本60元购买，且另需投入400万元固定费用，此时销售定价也与购进数量有关，若购进产品数量不超过15万件，定价160元/件即可；若购进该产品数量多于15万件且不超过25万件，需降低定价销售，且销量每增加5000件，单价降低2元（例：若购进16万件，则定价为156元/件）；渠道二：若购进数量在25万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行采购和销售，此时利润（万元）与采购量x（万件）的关系为.(1)当购进产品数量为12万件时，利润是多少?（利润=销售收入-成本）(2)写出利润（万元）关于采购（万件）的函数解析式；(3)购进并销售产品多少万件时，利润最大?此时利润是多少?【知识点】基本（均值）不等式的应用、建立拟合函数模型解决实际问题、利用给定函数模型解决实际问题【分析】（1）根据题意和已知条件代入求解即可；（2）对进行分类讨论写出的解析式；（3）对分类讨论写出各段函数的最大值进行比较.【详解】（1）（万元）.所以当购进产品数量为12万件时，利润是800万元.（2）当时，，当时，单价为：，所以，当时，，所以．（3）由（2）知，当时，，当（万件），利润最大，此时利润是1100（万元），当时，，当（万件），利润最大，此时利润是1200（万元），当时，，，当且仅当，即，当（万件），利润最大，此时利润是1590（万元），因为，所以当（万件）时，利润最大，此时利润是1590（万元）．题型02建立函数模型解决实际问题【典例2-1】（25-26高一上·全国·单元测试）某网店新年礼盒促销，其中四款礼盒的价格分别为40元/盒、45元/盒、60元/盒、70元/盒．为增加销量，一次购买礼盒的总价达到80元，顾客就少付元．每笔订单顾客网上支付成功后，店家会得到支付款的80%．在促销活动中，为保证每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则的最大值为（

）A．6 B．8 C．9 D．10【答案】D【知识点】建立拟合函数模型解决实际问题【分析】根据题意，设订单总价为元，当时，且，求解即可.【详解】设订单总价为元，当时，实际支付元，该笔订单店家得到的金额为，根据题意，恒成立，即即的最大值为10．故选：D【典例2-2】（24-25高一上·江苏南京·期中）某厂因技术改革，今年上半年两个季度生产总值持续增加.第一季度的增长率为，第二季度的增长率为，则该厂这两个季度生产总值的平均增长率为（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】建立拟合函数模型解决实际问题【分析】设该厂这两个季度生产总值的平均增长率为，由题意列方程求解即可；【详解】设该厂这两个季度生产总值的平均增长率为，则，解得或（舍去），所以该厂这两个季度生产总值的平均增长率为，故选：D.【典例2-3】（24-25高一上·江苏盐城·期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.9mg/mL.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（

）（结果取整数，参考数据：，）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【知识点】指数函数模型的应用（1）、对数的运算性质的应用、利用给定函数模型解决实际问题【分析】设经过个小时才能驾驶，则，再根据指数函数的性质及对数的运算性质计算可得.【详解】设经过个小时才能驾驶，则，即，由于函数在定义域上单调递减，所以，故他至少经过7小时才能驾驶.故选：D.【典例2-4】（24-25高一上·贵州贵阳·期中）随着清镇市城市规模的扩大、城市经济发展水平的不断提高，为了清镇市巡游出租车市场健康发展、提高巡游出租车驾驶员的服务质量、保障人民群众合法利益，结合清镇实际，在充分听取各方面意见和建议的基础上，经市人民政府同意，现建立市区巡游出租汽车油价——运价联动机制及对运价结构进行调整，于2023年8月2日起施行．现将相关事宜告知如下：（1）起步价：白天（06:30—22:00下同）7元、夜间（22:00—06:30下同）10元（白天、夜间所示时间下同），起租里程：3公里；（2）车公里单价：白天3公里以上5公里以内每行驶500米跳表0.80元，5公里以上每行驶500米跳表1.20元；夜间行车3公里以上5公里以内每行驶500米跳表1.00元；5公里以上每行驶500米跳表1.50元．小华同学在周日下午14:00—15:00乘坐出租车返校，已知他家离学校打车距离刚好8公里，则返校时按计价表支付，他需要给出租车司机（

）元．【1公里1000米】A．13.6 B．15 C．17.4 D．19【答案】C【知识点】建立拟合函数模型解决实际问题【分析】由题意，结合题设求解即可.【详解】由题意，他需要给出租车司机：元．故选：C.关于建立函数模型解决实际问题(1)熟练应用指数函数模型y=a(1±x)n,a>0,0<x<1,解题时特别注意增长(衰减)次数,审清如年初、年底等字眼.对于比较复杂的问题,可以写出前若干次的表达式,找出规律后再写第n次的.【变式2-1】（24-25高一下·湖南长沙·阶段练习）在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数．假设某种传染病的基本传染数为个感染者在每个传染期会接触到个新人，这个人中有个人接种过疫苗（称为接种率），那么1个感染者传染人数为．已知某种传染病在某地的基本传染数，为了使1个感染者传染人数不超过1，则该地疫苗的接种率至少为（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】建立拟合函数模型解决实际问题【分析】根据题意1个感染者传染人数为，解出不等式即可.【详解】因为，所以1个感染者传染人数为，又1个感染者传染人数不超过1，所以，解得，即该地疫苗的接种率至少为，故选：D.【变式2-2】（2025高一上·全国·专题练习）某企业员工小李的住处与他的办公室相距，某天下班后，小李发现有份重要材料丢在办公室，于是他从住处出发，先匀速跑步来到办公室，停留，然后匀速步行返回住处．在这个过程中，小李行进的速度和行走的路程都是时间的函数，则速度函数和路程函数的示意图分别是下面四个图像中的（

）A．①④ B．②③ C．④① D．③②【答案】A【知识点】函数图像的识别、利用给定函数模型解决实际问题【分析】设行进的速度为，行走的路程为，得出关于的函数，关于的函数解析式，进而判断函数图像．【详解】设行进的速度为，行走的路程为，则，．根据速度函数及路程函数的解析式，其示意图像分别为①和④．故选：A．【变式2-3】（2024高三·全国·专题练习）装裱，是装饰书画、碑帖等的一门特殊技艺，即以各种绫锦纸绢对古今纸绢质地的书画作品进行装裱美化或保护修复，其中“立轴”是中国传统书画中最常见的装裱形式．如图，以“立轴”装裱后，中间部分称为画心，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，且一般天头长与地头长的比例为六比四，若画心长、宽分别为，的作品装裱后长是宽的4倍，且左、右边宽均为天头长与地头长之和的，则地头长为cm．【答案】16【知识点】建立拟合函数模型解决实际问题【分析】设装裱后天头长为，则地头长为，边宽为，由题意构建函数关系求解即可；【详解】设装裱后天头长为，则地头长为，边宽为，则由题意得，解得，故地头长为16cm．故答案为：16.【变式2-4】（25-26高一上·江苏南京·阶段练习）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为（四个阴影部分加中间小正方形）的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为元.设总造价为（单位：元），长为（单位：m）(1)请用表示的长；(2)请写出关于的函数关系式，并求出的取值范围；(3)若总造价不超过138000元，求的取值范围；(4)当为何值时，最小?并求出这个最小值.【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、解不含参数的一元二次不等式、基本不等式求和的最小值【分析】（1）设，根据十字形地域的面积得出的关系式，即可求解；（2）由（1）可求得，从而可求出各个图形的面积，将花坛、地坪、草坪的各个区域造价相加，求得总造价，即可求解；.（3）根据不等式求解可求得的取值范围.（4）利用基本不等式求出最小值即可.【详解】（1）设，由两个相同的矩形和构成的面积为，得，解得，由，得，所以.（2）由（1）知，则，矩形的面积为，正方形为，所以，由及，得，所以.（3）由（2）知，若总造价不超过138000元，即，化简得，即，则，解得，所以的取值范围.（4）由（2）知当时，，当且仅当，即时取等号，所以当时，取得最小值118000元.题型03选择函数模型解决实际问题【典例3-1】（25-26高三上·贵州铜仁·阶段练习）某条公共汽车路线收支差额收支差额车票收入支出费用与乘客量的图象如图所示．由于目前本条路线存在亏损情况，公司有关人员提出了两条建议：（1）不改变车票价格，减少支出费用；（2）不改变支出费用，提高车票价格．图中虚线表示调整前的状态，实线表示调整后的状态．下列说法正确的是（

）．A．①反映了建议（2），③反映了建议（1） B．①反映了建议（1），③反映了建议（2）C．②反映了建议（1），④反映了建议（2） D．④反映了建议（1），②反映了建议（2）【答案】B【知识点】函数图像的识别、函数图象的应用、利用给定函数模型解决实际问题【分析】根据题意即可结合函数图象求解.【详解】建议（1）是不改变车票价格，减少支出费用，也就是增大，车票价格不变，即平行于原图象，故①反映了建议（1），建议（2）是不改变支出费用，提高车票价格，即图形增大倾斜度，提高价格，故③反映了建议（2）故选：B．【典例3-2】（2025·云南昆明·模拟预测）根据统计数据可将某池塘里浮萍的面积单位：与时间单位：月的关系近似表示为如图所示函数关系，已知第1个月时，浮萍面积为，第5个月时，浮萍面积就会超过，下列函数模型：①，②，③，④中，最符合浮萍面积y与时间t关系的模型是填写序号，若浮萍蔓延到，所经过的时间.【答案】③【知识点】建立拟合函数模型解决实际问题、对数函数模型的应用（2）【分析】由已知结合基本初等函数的图象判断函数模型，求出函数解析式，即可求解【详解】为线性增长，的增长速度会逐渐变慢，由图象可知，模型①④不符合，将，代入模型②③，得，，即模型②，模型③，当时，模型②，不符合，当时，模型③，，选模型③；由，解得故答案为：③；【典例3-3】（25-26高一上·全国·课堂例题）网购女鞋时，常常会看到一张女鞋尺码对照表(如下表)，第一行是脚长（新鞋码，单位：mm），第二行是我们习惯称呼的“鞋号（旧鞋码，单位:号）”.脚长/mm220225230235240245250255260鞋码/号343536373839404142(1)求鞋号关于脚长的函数模型.(2)如果看到一款“30号”的女童鞋，知道对应的脚长是多少吗?(3)一名脚长为262mm的女篮球运动员，又该穿多大号的鞋呢?【知识点】建立拟合函数模型解决实际问题、利用给定函数模型解决实际问题【分析】（1）从表格可以得到鞋号是关于脚长的一次函数，设脚长为，鞋号为，待定系数法进行求解；（2）在中，令得，故对应的脚长是mm；（3）在中，令得，故该穿43号的鞋.【详解】（1）从表格可以看出脚长每增加5mm，鞋号则增加1，故鞋号是关于脚长的一次函数，设脚长为，鞋号为，满足，将代入可得，解得，故；（2）中，令得，解得，故对应的脚长是mm；（3）中，令得，因实际鞋码取整数，且42.4>42，故向上取整为43号，即一名脚长为262mm的女篮球运动员，该穿43号的鞋.【典例3-4】（25-26高一上·上海浦东新·期中）上海市某非遗剪纸传承人传承海派剪纸技艺，主打款“传统福字剪纸”和款“外滩建筑剪纸”．已知制作1幅款剪纸的材料成本为12元，制作1幅款剪纸的材料成本为18元，每天用于两款剪纸的材料总成本固定为144元，且制作每款剪纸的数量均为正整数．(1)设每天制作款剪纸幅、款剪纸幅，求的最大值，并说明此时，的取值；(2)若款剪纸每幅可获利润20元，款剪纸每幅可获利润28元，在（1）的成本约束下，每天如何安排制作数量，才能使总利润最大？最大总利润是多少元？【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、基本（均值）不等式的应用【分析】（1）根据题意得，即，再根据基本不等式求解即可；（2）根据题意，结合分情况讨论求解即可．【详解】（1）根据题意，即，，即，当且仅当，即时取等，所以的最大值为，此时；（2）设利润为，则，又，则，此时；，此时；，此时；所以每天制作款9幅，款2幅时总利润最大，最大总利润为236元．【典例3-5】（25-26高一上·江苏无锡·期中）某公司为了提高生产效率，决定投入200万元购进一套生产设备，预计使用该设备后，前）年的支出成本为万元，每年的销售收入112万元，设前年的总盈利额为万元．(1)写出与的函数关系式，并求出从第几年开始盈利；(2)使用若干年后，对该设备处理的方案有两种：方案一：当总盈利额达到最大值时，以10万元价格处理该设备；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，以50万元价格处理该设备．你认为哪种方案较为合理？请说明理由．（注：年平均盈利额为）【知识点】求二次函数的值域或最值、利用二次函数模型解决实际问题、利用给定函数模型解决实际问题、基本（均值）不等式的应用【分析】（1）根据题意，得到总收入为万元，总成本为万元，求得总盈利额为，其中，令，求得不等式的解集，即可得到答案.（2）方案一：由函数，结合二次函数的性质，求得方案一的总盈利；再由，结合基本不等式，求得时，平均利润取得最大值，求得方案二的总盈利，通过比较分析，得出答案.【详解】（1）解：由题意知，前的总收入为万元，总成本为万元，所以总盈利额为，其中，令，即，即，解得，且，所以第3年该公司可以盈利.（2）解：由（1）知，其中，方案一：由函数为二次函数，其图象开口向下，对称轴为，当时，可得；当时，可得，所以当时，方案一的总获利取得最大值，最大值为万元；方案二：前年的平均利润为，因为，当且仅当时，即时，等号成立，所以，即时，平均利润取得最大值，当时，可得万元，所以方案二的总盈利为万元，综上，可得方案一与方案二的总盈利都是万元，当方案二更早实现收益，所以方案二更为合理，因为资金回收更早，提高了资金使用效率，降低风险.函数拟合与预测的一般方法(1)若已知的数据较多,可以绘出散点图,观察图象的增长(下降)的趋势特征,选择函数模型,再通过具体数据验证;(2)若已知函数模型的解析式含有未知参数,可以利用已知的部分数据求出函数的解析式,再代入其他数据,通过分析所得数据与实际数据的关系选择函数模型.【变式3-1】（24-25高一上·北京·期中）长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益.每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数）来衡量每座水库的水位情况.假设某次联合调度要求如下：（ⅰ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间；（ⅱ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低；（ⅲ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变.记为调度前该水库的蓄满指数，为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个关于的函数解析式：①；②；③；④.则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是（

）A．②④ B．①④ C．②③ D．③④【答案】A【知识点】建立拟合函数模型解决实际问题【分析】需满足四个条件：（1）自变量的取值范围是；（2）函数值域为的子集；（3）该函数在上恒有；（4）该函数在上为增函数.逐一对照分析即可求解.【详解】函数的对称轴为，所以，超出了范围，不符合题意；，时，，且在上单调递增，，即，符合题意；函数在上单调递减，在上单调递增，故不符合题意；函数为增函数，且时，，，则，即，符合题意.故满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是②④.故选：.【变式3-2】（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示：时间（天）1234利润（万元）23.988.0115.99则下列函数中不符合销售这种空调的函数模型的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【知识点】建立拟合函数模型解决实际问题【分析】把代入每一个选项，逐一与题目中的数据对比，可得答案.【详解】对于A，把代入，可得下表：对于B，把代入，可得下表：对于C，把代入，可得下表：对于D，把代入，可得下表：显然只有的值最接近表格中的对应的值，故A，C，D符合题意．故选：ACD.【变式3-3】（25-26高一上·上海·期中）为帮助同学们更合理地安排课余时间，高二的学长针对“各类课余活动对学习效率的影响”开展了专项调研.调研中，学长们通过小游戏测试学生注意力的恢复情况，以此量化学习效率的变化情况.研究发现，运动对注意力提升的效果存在明显规律：初始阶段，注意力恢复速度较快；但随着运动时长增加，恢复效果的提升速率会逐渐变缓.若设运动时长为（单位：分钟，），相对“未运动状态”的注意力恢复效果为，则当运动时长（即未运动）时，（表示恢复效果与未运动时一致）.以下是调研收集到的部分数据：0103011.51.7(1)请从以下三个函数模型中，选择最符合上述规律的模型，并求出关于的具体函数解析式（参数精确到0.1）：①；②；③.(2)某个篮球场开放时间：18：00-19：00，曹同学和张同学小组都想通过运动恢复学习效率，所以他们商量轮流使用篮球场，请用（1）的函数模型解释，若两个小组都希望学习效率恢复效果（即注意力恢复对应的值）提升到1.6以上，则曹同学小组使用篮球场的时长范围是多少？（结果精确到1分钟）【知识点】对数的运算、指数函数模型的应用（2）、对数函数模型的应用（2）、利用给定函数模型解决实际问题【分析】（1）根据数据的规律结合单调性及相邻数据差不为同一常数排除①②,代入数据③中求参数得函数解析式；（2）由题意建立方程，化为对数式，根据对数运算求解.【详解】（1）模型①:假设；，当时，不是，故①不符合题意；模型②:假设；时，当时，不是，故②不符合题意；模型③:假设；时符合，当时，得，当时，，故③符合题意；最符合上述规律的是模型③，.（2）由题意，所以分钟，因为单调递增，故，当且仅当.设曹同学小组使用篮球场的时长为，张同学小组使用篮球场的时长为，则且，故分钟，又所以曹同学小组使用篮球场的时长范围是分钟到分钟.【变式3-4】（25-26高一上·江西南昌·阶段练习）在当下中国足球的版图中，省内城市联赛宛如一股炽热的新兴力量，以燎原之势迅速蔓延，苏超、赣超等联赛的火爆场景，成为了各地体育文化生活中一道最为亮丽的风景线，如同一幅绚丽多彩的画卷，生动地展现着足球运动的无限魅力与城市发展的蓬勃生机.某奥体中心计划在场内建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的媒体采访区，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案：方案一：媒体采访区的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为；方案二：其给出的整体报价为元，.(1)当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求的值；(2)求的函数解析式，并求报价的最小值；(3)若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围.【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、基本不等式的实际应用、函数不等式恒成立问题【分析】（1）将代入解析式直接计算即可求解；（2）设地面长为，则，从而有，然后利用基本不等式求解最小值即可；（3）由题意时，恒成立，分离参数得，结合换元法，利用对勾函数的单调性求解最值即可得解.【详解】（1）宽度为8米时，方案二的报价为29700元，所以，解得，所以的值为18.（2）设地面长为，，所以墙面面积为，所以，因为，当时取等，所以，最小值为.（3）对任意的时，方案二都比方案一省钱，即时，恒成立，整理得，因为，，设，则，又由对勾函数性质可得在上单调递增，，又，所以，所以方案二都比方案一省钱，的取值范围为.【变式3-5】（25-26高一上·广西百色·阶段练习）某糕点连锁店现有五家分店，出售两款糕点，A为特价糕点，为吸引顾客按进价销售.已知用16000元购进A糕点与用22000元购进B糕点的重量相同，且B糕点每斤的进价比A糕点每斤的进价多6元.(1)求两种糕点每斤的进价；(2)因为使用进价销售的A糕点物美价廉，所以深受顾客青睐，五个分店每月的总销量为10000斤.今年年初该连锁店用50万购进一批设备，用于生产A糕点，已知每斤糕点的原材料价格为8元，若生产A糕点个月（）所用的原材料之外的各种费用总计为万元，若只考虑A糕点，记该连锁店前个月的月平均利润为万元，求的最大值.【知识点】分式型函数模型的应用、利用给定函数模型解决实际问题、基本不等式求和的最小值【分析】（1）由A、B两款糕点重量相同列等式求解；（2）总利润=前n个月原材料总利润设备成本其他费用，利用基本不等式求最值.【详解】（1）设A糕点每斤的进价为元，则B糕点每斤的进价为元，则，解得，所以A糕点每斤的进价为元，B糕点每斤的进价为元.（2）设前n个月的总利润为元，因为A糕点每斤售价为16元，每月可售出10000斤，故每月可收入16万元，其中原材料为8万元，则所以月平均利润为当且仅当时即时等号成立，此时有最大值为万元．【变式3-6】（25-26高一上·江苏南通·阶段练习）某工厂计划建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案：方案一：墙面报价每平方米200元，屋顶和地面报价共7200元，总报价记为；方案二：其给出的整体报价为元，（）.(1)当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求的值；(2)试用表示方案一的总报价，并求的最小值；(3)若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围.【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、基本（均值）不等式的应用【分析】（1）根据函数定义直接代入可计算；（2）根据题意求出长方体侧面积，然后可求函数，再利用基本不等式求最值；（3）代入进行参变分离，接着求函数最值即可.【详解】（1）宽度为8米时，方案二的报价为29700元，，所以的值为18.（2）设底面长为，，所以墙面面积为，，，当时取等，所以，最小值为.（3）对任意的时，方案二都比方案一省钱，即时，恒成立，整理得，因为，，设，则，而，当且仅当，即时，即时取等号.所以，又，所以，所以方案二都比方案一省钱，的取值范围为.练基础1．（25-26高一上·辽宁·期中）设表示不大于的最大整数.已知某店开张的第天进店消费的人数与成正比，且开张首日进店消费的人数为8，则该店开张的第6天进店消费的人数为（

）A．16 B．24 C．18 D．20【答案】D【知识点】利用给定函数模型解决实际问题【分析】建立起消费的人数与的函数关系式，代入即得答案.【详解】设该店开张的第天进店消费的人数，依题意得，解得，则.故选：D2．（25-26高三上·甘肃·阶段练习）中华人民共和国国家标准（GB11533-2011）中的《标准对数视力表》采用的是五分视力记录方式（缪氏记录法）：，其中为被测试眼睛的视力值，为该眼睛能分辨清楚的标准视力表最低一行“E”形视标的笔画宽度（单位：毫米），为被测试人到标准视力表的距离（单位：米），是与，无关的常量.由于场地大小受限，小华在距离标准视力表4米处检测右眼的视力值，若此时，不考虑其他因素的影响，则小华右眼的视力值为（参考数据：）（

）A．4.8 B．4.9 C．5.0 D．5.1【答案】B【知识点】对数的运算性质的应用、利用给定函数模型解决实际问题【分析】直接代入数据求值即可.【详解】由题意，得，小华在距离标准视力表4米处检测右眼的视力值，即，代入，得.故选：B.3．（25-26高一上·全国·单元测试）长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益．每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数）来衡量每座水库的水位情况．假设某次联合调度要求如下：（ⅰ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间；（ⅱ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低；（ⅲ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变．记为调度前该水库的蓄满指数，为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个关于的函数解析式：①；②；③；④．则满足此次联合调度要求的函数解析式有（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】BD【知识点】建立拟合函数模型解决实际问题【分析】依次判断函数是否满足条件.【详解】函数①图象的对称轴为，所以，超出了值域范围，A不符合题意．函数时，，且在上单调递增，，即，B合题意．函数③在上单调递减，在上单调递增，C不符合题意．函数④为增函数，且时，，，又，所以，则，即，D符合题意．故选：BD4．（25-26高一上·上海闵行·期中）某地火力发电厂大气污染物排放标准规定：排放废气中二氧化硫最高允许浓度为.为满足此要求，该地一火力发电厂通过某种工艺对排放废气进行过滤处理，处理后废气中剩余二氧化硫的浓度（单位：）与处理时间（单位：分钟）满足关系式：，其中为二氧化硫的初始浓度.若该火力发电厂排放废气中二氧化硫的初始浓度为，那么从现在起至少经过分钟才能达到排放标准.（结果精确到整数,）【答案】【知识点】对数的运算性质的应用、利用给定函数模型解决实际问题【分析】根据题干给出的关系式，结合排放标准列出不等式，再通过对数运算求解不等式即可.【详解】由题意得，，其中为二氧化硫的初始浓度，又二氧化硫的初始浓度为，，又排放废气中二氧化硫最高允许浓度为，，两边同时取对数，得，即，，又，解得，又结果精确到整数，从现在起至少经过分钟才能达到排放标准.故答案为：.5．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知某零件原来的售价为15元，可售出50万件，据市场调查，该零件的单价每提高1元，销售量就减少2万件，现该零件的销售商计划对该零件进行提价销售，设提价后的零件售价为元．(1)求提价后该零件的销售总收入（单位：万元）的最大值；(2)若提价后该零件的销售总收入（单位：万元）不低于原来的销售总收入，求的取值集合．【知识点】利用二次函数模型解决实际问题、建立拟合函数模型解决实际问题【分析】（1）先求出提价后该零件的销售总收入与的关系，再根据二次函数的性质即可得解；（2）根据题意列出不等式，解之即可.【详解】（1）由题意可得提价后该零件的销售总收入，因为，所以当时，取得最大值800万元，即该零件的售价为20元时，该零件的销售总收入取得最大值800万元；（2）由题意可得，整理得，即，解得，又，所以的取值集合为．6．（24-25高一上·安徽亳州·期末）某高校为了方便冬季体育活动，计划建造一间室内面积为900的体育馆，在馆内划出三块相同的矩形区域供三个班级同时使用，相邻区域之间间隔3米，其余部分离墙1米（如图）．设体育馆室内长为x米，三块区域的总面积为S平方米．(1)求S关于x的函数关系式；(2)当体育馆室内长为多少米时，三块区域的总面积最大？并求其最大值．【知识点】建立拟合函数模型解决实际问题、基本不等式求和的最小值【分析】（1）由长方形面积公式即可求解；（2）由基本不等式即可求解；【详解】（1）由题设，得，由已知得故．所以，．（2）因为，所以，当且仅当时等号成立，从而．故当矩形温室的室内长为60m时，S最大，最大为676．7．（24-25高一上·天津西青·期末）依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）.2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额，税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额应纳税所得额税率-速算扣除数.①应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额=综合所得收入额-基本减除费用-专项扣除-专项附加扣除-依法确定的其它扣除.②其中，“基本减除费用”（免征颁）为每年60000元，税率与速算扣除数见下表：级数全年应纳税所得额所在区间税率（%）速算扣除数130210252032016920已知小华缴纳的专项扣除：基本养老保险，基本医疗保险费，失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是，专项附加扣除是52800元，依法确定的其它扣除是4560元.设小华全年应纳税所得额为（不超过300000元）元，应缴纳个税税额为元，则；如果小华全年综合所得收入额为220000元，那么他全年应缴纳个税元.【知识点】建立拟合函数模型解决实际问题、分段函数模型的应用、利用给定函数模型解决实际问题【分析】根据表格中数据，得到函数表达式，并得到小华全年综合所得收入额为220000元时，应纳税所得额，代入表达式，求出答案.【详解】当时，，当时，，当时，，故；小华全年综合所得收入额为220000元时，应纳税所得额，，故，故他全年应缴纳个税3344元.故答案为：；33448．（25-26高一上·上海·阶段练习）2025年上海奇迹花园国际艺术花展于9月20日正式启幕，本次花展首次实现沉浸IP展、花卉景观、跨界艺术、光影夜花园四展合一，为市民游客打造一个可游、可赏、可感的秋季治愈系童话世界．某公园受此启发打算设计一个八边形活动区域，该区域的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形地域，十字形的面积为．计划在正方形上建一座花坛，造价为2100元：在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺地砖，造价为105元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为40元．设长为，总造价为元，求：(1)设长为，用表示，并求出的取值范围；(2)如何设计可使总造价最低，并求出最低造价；(3)若总造价不超过69000元，求长的取值范围．【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、解不含参数的一元二次不等式、基本不等式求和的最小值【分析】（1）设，根据十字形地域的面积得出的关系式，即可求解；（2）由（1）可求得，从而可求出各个图形的面积，将花坛、地坪、草坪的各个区域造价相加，求得总造价，利用基本不等式即可求解最低造价；（3）根据不等式求解可求得的取值范围.【详解】（1）设，因为两个相同的矩形和构成的面积为，所以可得，解之可得，由得，解得；（2）由（1）知，所以矩形的面积为正方形为，所以.，当且仅当，即时，取等号；故时，元；（3）由（2）知，若总造价不超过69000元，即化简可得，即，解之可得，所以的取值范围.9．（25-26高一上·湖南长沙·期中）某科技公司为提高研发速度，计划建造一个高为3米，宽度为米，地面面积为80平方米的长方体形状的实验室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案．方案一：实验室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计9600元，总报价记为P；方案二：其给出的整体报价为元（）．(1)若当宽度为6米时，方案二的报价为28000元，求实数m的值；(2)求P的函数解析式，并求总报价P的最小值；(3)若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求实数m的取值范围．【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、建立拟合函数模型解决实际问题、基本（均值）不等式的应用【分析】（1）根据给定函数代入计算即得；（2）根据题意求出实验室墙面面积，然后可求的解析式，再利用基本不等式求最值；（3）依题列出不等式，再参变分离，将问题转化为，接着利用基本不等式求函数的最小值即得.【详解】（1）因宽度为6米时，方案二的报价为28000元，且则，解得所以的值为20.（2）设底面长为，由题意易得，故墙面面积为，则，因，则，当且仅当时取等，即总报价P的最小值为.（3）对任意的时，方案二都比方案一省钱，即时，恒成立，整理得，设，，因，则，，当且仅当，即时，取得最小值，故，又，则，所以若对任意的时，方案二比方案一省钱，则的取值范围为.10．（25-26高一上·四川内江·阶段练习）某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为元，朱古力蜂果蛋糕单价为元，现有两种购买方案：方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为个，花费记为；方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为个，花费记为.（其中，，且）(1)试问哪种购买方案花费更少？请说明理由；(2)若同时满足，求这两种购买方案花费的差值最小值（注：差值花费较大值花费较小值）.【知识点】建立拟合函数模型解决实际问题、基本不等式的实际应用、作差法比较代数式的大小【分析】（1）根据可得结论；（2）由（1）可得，结合基本不等式可求得最小值.【详解】（1）由题意知：，，，，，，，，即，购买方案二花费更少.（2）由（1）得：；，（当且仅当，即时取等号）；，（当且仅当，即时取等号）；差值的最小值为（当且仅当，，，时取最小值）.11．（25-26高一上·浙江温州·期中）2024苏州足球邀请赛组委会为保障赛事后勤服务，购进一套移动餐饮服务车，用于为赛场观众和工作人员提供餐饮.该服务车初始购置费用为36万元，预计从第1年到第年（），花在该服务车上的维护费用总计为万元（为使用年数）.该服务车每年可为赛事提供餐饮服务，稳定获得收入24万元.(1)该服务车使用几年后开始盈利？（即总收入减去初始购置费用及维护费用之差为正值）(2)若该服务车使用若干年后，组委会计划处理该设备，有两种方案：①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出；②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出.哪一种方案较为合算？请说明理由.【知识点】求二次函数的值域或最值、利用给定函数模型解决实际问题、解不含参数的一元二次不等式、基本不等式求和的最小值【分析】（1）根据盈利列不等式，由此求得开始盈利的年份.（2）①利用基本不等式进行求解，并求得最后的利润；②利用二次函数的性质进行求解，并求得最后的利润.比较两个方案最后的利润，从而选择合算的方案.【详解】（1）由题意可得，即，解得，，该车运输3年后开始盈利；（2）该车运输若干年后，处理方案有两种：①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出，，当且仅当时，取等号，方案①最后的利润为：（万）②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出，，时，利润最大为，方案②最后的利润为（万），两个方案的利润都是53万，按照时间成本来看，第一个方案更好，因为用时更短，方案①较为合算.12．（24-25高一上·江西·期末）近几年，直播平台逐渐被越来越多的人们关注和喜爱．某平台从2021年初建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加．已知从2021到2024年，该平台会员每年年．末的人数如下表所示：（注：第4年数据为截止至2024年10月底的数据）建立平台第年1234会员人数（千人）16285286(1)请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算建立该平台年后平台会员人数（千人），求出你所选择模型的解析式，并预测2024年年末会员人数：①，②且，③且；(2)为了更好的维护管理平台，该平台规定会员人数不能超过千人，请根据（1）中你选择的函数模型求的最小值．【知识点】利用函数单调性求最值或值域、建立拟合函数模型解决实际问题、指数函数模型的应用（2）【分析】（1）根据表格中的数据可选择模型③，将表格中的数据代入函数模型解析式，求出三个参数的值，即可得出函数模型解析式，再将代入函数模型解析式，即可得解；（2）由已知可得出，令，则，令，求出函数在区间上的最大值，即可得实数k的最小值.【详解】（1）由表格中的数据可知，函数是一个增函数，且函数增长得越来越快，故选择模型③较为合适，由表格中的数据可得，解得所以，函数模型的解析式为，令，预测2024年年末的会员人数为100千人．（2）由题意可得，令，则，令，，则函数的定义域上单调递增，又关于在定义域上单调递减，根据复合函数的单调性，，即．所以的最小值为4．练提升13．（24-25高一下·湖南衡阳·期中）某动力电池生产企业为提高产能，计划投入7200万元购买一批智能工业机器人，使用该批智能机器人后前年的维护成本为万元，每年电池销售收入为7600万元，设使用该批智能机器人后前x年的总盈利额为y万元(1)写出y关于x的函数关系式，并求该电池生产企业从第几年开始盈利；(2)使用若干年后对该批智能机器人处理方案有两种方案一：当总盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以2000万价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以5200万元的价格处理问哪种方案更合理？并说明理由.【知识点】建立拟合函数模型解决实际问题、求二次函数的值域或最值、基本不等式求和的最小值【分析】（1）先写出相应的解析式，再解不等式，求出该企业从第2年开始盈利；（2）方案一：配方得到时y取到最大值12800，进而得到总利润为万元；方案二：年平均盈利额为，由基本不等式求出最大值，此时处理掉智能机器人，总利润为万元，得到结论.【详解】（1）由题意可得，由得且，该企业从第2年开始盈利；（2）方案二更合理，理由如下：方案一：，当时y取到最大值12800，若此时处理掉智能机器人，总利润为万元，方案二：年平均盈利额万元，当且仅当时，年平均盈利额最大，若此时处理掉智能机器人，总利润为万元，综上，两种方案总利润都是14800万元，但方案一需要五年，方案二仅需三年即可，故方案二更合理.14．（24-25高一上·江西景德镇·期末）现代研究成果显示，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用100°C的水泡制，待茶水温度降至60°C时，饮用口感最佳.某中学学生利用课余时间探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，