专题03 对数函数指数函数、对数函数与幂函数增长的比较（高效培优讲义）数学北师大版2019必修第一册（原卷版）

专题03对数函数，指数函数、幂函数、对数函数增长的比较教学目标1.

理解对数函数定义，掌握其与指数函数的反函数关系。2.

会画对数函数图象，能通过图象归纳其性质（定义域、值域、定点、单调性等）。3.

能运用性质解决比较大小、解不等式及复合函数定义域、值域问题。4.

理解指数、幂、对数函数的增长差异，能结合图象比较三者增长速度，解决实际问题。教学重难点1.重点：(1)对数函数概念、图象与性质（过定点、单调性等），及性质应用（比较大小、解不等式）。(2)三类函数增长快慢的特征及图象差异。2.难点:(1)理解与指数函数的反函数关系，底数对图象性质的影响，复合函数问题。(2)理解“指数爆炸”“对数平缓”的本质，及不同区间内函数大小的比较。知识点01对数函数的概念（重点）1.对数函数的定义【特别说明】判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件：（1）系数为1；（2）底数为大于0且不等于1的常数；（3）对数的真数仅有自变量．函数叫做对数函数．其中【特别说明】判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件：（1）系数为1；（2）底数为大于0且不等于1的常数；（3）对数的真数仅有自变量．2.两种特殊的对数函数（1）常用对数函数：以10为底的对数函数.（2）自然对数函数：以无理数e为底的对数函数.【即学即练】1.（25-26高一上·全国·课后作业）给出下列函数：①y=logx4；②y=log3A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2.(多选)下列函数表达式中，是对数函数的有()A．y＝logex B．y＝logeq\r(2)xC．y＝log4x2 D．y＝log2(x＋1)知识点02反函数（重点）定义一般地，指数函数y=(a>0且a≠1)与对数函数y=(a>0且a≠1)互为性质函数y=f(x)的定义域、值域分别为它的反函数y=的互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称【即学即练】1.（24-25高一上·全国·课前预习）函数y=A．(0,+∞) B．13,81 C．(1,4) 2.（24-25高一上·山西大同·期末）已知函数，若函数是的反函数，则等于（

）A．1 B．2 C．3 D．43.（24-25高一上·广东广州·期末）已知函数，与互为反函数，则（

）A． B．1 C．2 D．4知识点03对数函数的图象与性质（重、难点）对数函数的图象与性质列表如下：y＝logax(a>0，且a≠1)底数a>10<a<1图象定义域值域R单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数共点性图象过定点，即x＝1时，y＝0函数值特点x∈(0,1)时，y∈；x∈[1，＋∞)时，y∈x∈(0,1)时，y∈；x∈[1，＋∞)时，y∈对称性函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称注意：掌握对数函数的图象和性质，其关键是理解图象的特征，利用几何直观掌握函数的性质.【即学即练】1.（24-25高一上·上海·课堂例题）画出下列函数的图象：(1)y=log3x；(2)y=知识点04底数a对对数函数图象的影响（拓展）1.底数a与1的决定了对数函数图象的“升降”.

当a>1时，对数函数的图象“”;

当0<a<1时,对数函数的图象“”.

2.函数y=与y=(a>0,且a≠1)的图象关于x轴.

3.底数的大小决定了图象相对位置的：

无论是a>1还是0<a<1,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大.

①上下比较：在直线x=1的右侧,a>1时,a越大,图象越靠近x轴;0<a<1时,a越小,图象越靠近x轴;

②左右比较：比较图象与直线y=1的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大.提示：在第一象限内，底数从小到大，图象从左往右．【即学即练】1.（24-25高三上·云南·阶段练习）函数f(x)=log2x，g(x)=log5x，h(x)=lgx的图象如图所示，则A．①②③ B．③①②C．③②① D．①③②【知识剖析】对数函数图象的识别及应用(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.知识点【知识剖析】对数函数图象的识别及应用(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.指数函数对数函数一次函数解析式y＝axeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>1))y＝logaxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>1))y＝kxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k>0))单调性在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，＋∞))是增函数图象(随x的增大)趋向于和x轴垂直趋向于和x轴平行呈直线上升增长速度(随x的增大)y的增长速度越来越快y的增长速度越来越慢y的增长速度不变归纳总结总会存在一个x0，当x>x0时，ax>kx>logax【即学即练】1.有一组实验数据如下表所示：t3.06.09.012.015.0v1.52.52.93.64.0现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（

）A． B． C． D．题型01对数函数的判断【典例1】（24-25高一上·全国·课前预习）下列函数是对数函数的是（

）A．y=loga5+x（a>0C．y=log3−x D．y判断一个函数是否为对数函数的方法判断一个函数是对数函数必须是形如y判断一个函数是否为对数函数的方法判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a>0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：(1)系数为1.(2)底数为大于0且不等于1的常数．(3)对数的真数仅有自变量x.A．y=log23x2 B．y【变式1-2】（24-25高一上·上海·课堂例题）下列函数是对数函数的有．①y=3log2x；②y=log6【变式1-3】（2023高一上·上海·专题练习）下列函数中，哪些是对数函数？(1)y=(2)y(3)y=8(4)y=(5)y=题型02求对数函数解析式【典例2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知对数函数的图象过点M9,−2A．y=log2C．y=log1【变式2-1】（24-25高一上·广西桂林·阶段练习）若点在函数的图象上，点在的反函数图象上，则.【变式2-2】（24-25高一下·山东潍坊·开学考试）已知，则.【变式2-3】（24-25高一上·全国·课前预习）若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为．【变式2-4】（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知函数，若图象过点，则的值为（

）A．－2 B．2 C． D．题型03反函数的理解与简单应用【典例3-1】求下列函数的反函数。(1)y＝10x；(2)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))x；(3)y＝logeq\f(1,3)x；(4)y＝log2x。【典例3-2】（2025高三·全国·专题练习）求函数的反函数.反函数的求法：（1）由y＝ax或y＝logax，解得x反函数的求法：（1）由y＝ax或y＝logax，解得x＝logay或x＝ay；（2）将x＝logay或x＝ay中的x与y互换位置，得y＝logax或y＝ax；（3）由y＝ax或y＝logax的值域，写出y＝logax或y＝ax的定义域。A．1 B．2 C．3 D．4【变式3-2】（2025·浙江绍兴·三模）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（

）A． B． C． D．【变式3-3】（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）函数的反函数为，则（

）A．2 B．3 C．8 D．9题型04对数型函数定义域问题【典例4-1】（2025高二下·湖南·学业考试）函数的定义域为（

）A． B． C． D．【典例4-2】（24-25高二下·浙江·期中）函数的定义域为（

）A． B． C． D．求对数型函数的定义域时应遵循的原则(1)分母不能为0.(2)根指数为偶数时，被开方数非负．(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.【变式4-1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知集合，求对数型函数的定义域时应遵循的原则(1)分母不能为0.(2)根指数为偶数时，被开方数非负．(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.A． B． C． D．【变式4-2】（2025·湖南·二模）已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．【变式4-3】函数f(x)＝lg(2－3x)的定义域是________。【变式4-4】（2025·北京朝阳·一模）函数的定义域为．【变式4-5】（24-25高一下·贵州毕节·期末）函数的定义域为.题型05对数型函数过定点问题【典例5】（24-25高一下·云南昭通·阶段练习）已知函数的图象恒过定点，且点又在函数的图像上，则（

）A．3 B．5 C．8 D．11关于定点问题求函数y＝m＋logaf(x)(a>0，且关于定点问题求函数y＝m＋logaf(x)(a>0，且a≠1)的图象过定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m).【变式5-2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知对数函数（，且）的图象过点．(1)求；(2)若函数，求的定义域．题型06对数型函数单调性问题【典例6】求函数y＝log0.3(3－2x)的单调区间。求复合函数单调性的具体步骤(1)求定义域；(2)拆分函数；(3)分别求y＝f(u)，u＝φ(求复合函数单调性的具体步骤(1)求定义域；(2)拆分函数；(3)分别求y＝f(u)，u＝φ(x)的单调性；(4)按“同增异减”得出复合函数的单调性．A.(－∞，－2)B.(－∞，1)C.(1，＋∞) D.(4，＋∞)【变式6-2】函数y＝log2(x2－1)的递增区间是________.题型07利用对数型函数单调性求参数范围【典例7】（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（

）A． B．C． D．与对数相关的复合函数单调性(1)首先求出函数的定义域，再利用复合函数单调性的复合法则“同增异减”求单调区间；(2)若已知函数在某个区间上的单调性，则该区间为函数相应单调区间的子区间，从而求参数的范围．【变式7-1】（24-25高一下·广东深圳·期末）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（

）与对数相关的复合函数单调性(1)首先求出函数的定义域，再利用复合函数单调性的复合法则“同增异减”求单调区间；(2)若已知函数在某个区间上的单调性，则该区间为函数相应单调区间的子区间，从而求参数的范围．A． B． C． D．【变式7-2】（2025·河北·模拟预测）已知函数在上单调，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．题型08比较大小问题【典例8】利用对数函数比较大小(1)log0.31.8，log0.32.7；(2)log67，log76；(3)log3π，log20.8；(4)log712，log812.比较对数值大小时常用的四种方法(1)同底数的利用对数函数的单调性．(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化．(3)底数和真数都不同，找中间量．(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．【变式8-1】（24-25高一下·河南濮阳·期末）已知比较对数值大小时常用的四种方法(1)同底数的利用对数函数的单调性．(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化．(3)底数和真数都不同，找中间量．(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．A． B． C． D．【变式8-2】（21-22高三上·安徽·阶段练习）已知，，，则a、b、c的大小顺序为（）A． B． C． D．【变式8-3】（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）设，则（

）A． B．C． D．【变式8-4】（24-25高一上·全国·课前预习）比较下列各组数的大小．(1)与；(2)与；(3)，与．题型09解对数不等式【典例9-1】（2025高三·全国·专题练习）求不等式的解集．【典例9-2】（24-25高二下·海南海口·期末）已知，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．两类对数不等式的解法(1)形如logaf(x)<logag(x两类对数不等式的解法(1)形如logaf(x)<logag(x)的不等式.①当0<a<1时，可转化为f(x)>g(x)>0；②当a>1时，可转化为0<f(x)<g(x).(2)形如logaf(x)<b的不等式可变形为logaf(x)<b＝logaab.①当0<a<1时，可转化为f(x)>ab；②当a>1时，可转化为0<f(x)<ab.A． B． C． D．【变式9-2】已知log0.3(3x)<log0.3(x＋1)，则x的取值范围为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))【变式9-3】不等式log0.5(2x＋3)<log0.5(5x－6)的解集为()A.(－∞，3)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，3))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(6,5))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)，3))题型10对数型函数图像问题【典例10-1】如图所示,曲线是对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象,已知a取3,43,35,110,则曲线C1,C2,CA.3,43,35,110 【典例10-2】作出函数y＝|log2(x＋1)|的图象．对数函数底数对图象的影响其中对数函数底数对图象的影响其中a，b，c，d是图象对应的对数函数的底数，根据图象，其大小关系为0<c<d<1<a<b.【变式10-1】(多选)如图是三个对数函数的图象，则()A． B．C． D．【变式10-2】函数y=log2|x|的图象大致是()题型11利用对数函数的单调性求值域【典例11】（24-25高一上·广西河池·阶段练习）已知集合，则（

）A． B．C． D．关于利用对数函数的单调性求值域首先确定对数函数的单调性，再利用单调性确定取得最值时的自变量的值，分别代入后求出最值，进而得到值域．【变式11-1】（24-25高三下·四川成都·阶段练习）已知集合，，则（

）关于利用对数函数的单调性求值域首先确定对数函数的单调性，再利用单调性确定取得最值时的自变量的值，分别代入后求出最值，进而得到值域．A． B． C． D．【变式11-2】（2025·湖北·模拟预测）已知集合，则（

）A． B．C． D．题型12对数型复合函数的值域【典例12】（22-23高一上·陕西商洛·期末）函数的值域为（

）A． B． C． D．关于值域问题1.与对数函数有关的复合函数值域：关于值域问题1.与对数函数有关的复合函数值域：一方面，要抓住对数函数的值域；另一方面，要抓住中间变量的取值范围，利用对数函数的单调性来求其值域(多采用换元法)．对于形如y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的复合函数的值域的求法的步骤：①分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数；②求f(x)的定义域；③求u的取值范围；④利用y＝logau的单调性求解．【变式12-1】函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为()A．(0，＋∞)B．[0，＋∞)C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)【变式12-2】（24-25高一上·重庆·期末）函数的值域为（

）A． B． C． D．【变式12-3】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）函数，的值域为（

）A．B．C．D．【变式12-4】（2025高二下·湖南株洲·学业考试）函数的值域是.【变式12-5】（24-25高一上·湖南岳阳·期末）已知函数，，则函数的值域为．题型13利用对数型复合函数单调性求参数范围【典例13-1】（24-25高一下·广西·期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【典例13-2】（2025·吉林·三模）若函数（且）在区间上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．利用对数型复合函数单调性求参数范围(1)本质还是复合函数单调性问题，需要注意帧数大于0，转化成内函数的单调性问题.(2)若底数中含有字母，需要对字母分大于1，小于1大于0两种情况讨论．【变式13-1】（2025·广东·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（

）利用对数型复合函数单调性求参数范围(1)本质还是复合函数单调性问题，需要注意帧数大于0，转化成内函数的单调性问题.(2)若底数中含有字母，需要对字母分大于1，小于1大于0两种情况讨论．A． B． C． D．【变式13-1】（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）已知函数在内单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．题型14对数函数模型在实际问题中的应用【典例14】（24-25高一上·全国·课后作业）人们早就发现了放射性物质的衰减现象．在考古工作中，常用的含量来确定有机物的年代．已知放射性物质的衰减服从指数规律：，其中t表示衰减的时间，表示放射性物质的原始质量，表示经衰减了t年后剩余的质量．为计算衰减的年代，通常给出该物质质量衰减一半的时间，称其为该物质的半衰期．的半衰期大约是5730年．人们又知道，放射性物质的衰减速度与其质量成正比．1950年，在伊拉克发现一根古巴比伦王国时期刻有汉谟拉比王朝字样的木炭，当时测定，其的衰减速度为4.09个/（），而新砍伐树木烧成的木炭中的衰减速度为6.68个/（）．请估算出汉谟拉比王朝所在年代．（参考数据：）对数函数模型在实际问题中的应用解题步骤：(1)列出指数关系式对数函数模型在实际问题中的应用解题步骤：(1)列出指数关系式x＝ay，并根据实际问题确定变量的范围；(2)利用指对互化转化为对数函数y＝logax；(3)代入自变量的值后，利用对数的运算性质、换底公式计算．【变式14】（2025·北京海淀·三模）历史上，在5月27日曾有多次地震记录．例如：2006年5月27日，印尼爪哇发生里氏6.3级地震，2024年5月27日，四川木里县发生里氏5.0级地震，经过科学家的研究发现，地震时释放出来的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．印尼爪哇地震所释放出来的能量约是四川木里地震的（

）倍．（精确到1．参考数据：）A．87 B．88 C．89 D．90题型15对数函数性质的综合应用【典例15-1】（24-25高一下·湖南·阶段练习）已知命题的值域为，命题的定义域为，则是的（

）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【典例15-2】（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数（且）的图象过点．(1)求a的值；(2)若（i）求的定义域并判断其奇偶性；（ii）求的单调递减区间．解决综合性问题的关注点(1)增强定义域意识：无论是求单调区间、证奇偶性、解不等式都要先求定义域，符合定义域是满足性质的前提；(2)增强性质的应用意识：解对数不等式的关键是转化为常见的不等式，转化工具就是对数函数的单调性．【变式15-1】（24-25高一上·广东揭阳·阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（

）解决综合性问题的关注点(1)增强定义域意识：无论是求单调区间、证奇偶性、解不等式都要先求定义域，符合定义域是满足性质的前提；(2)增强性质的应用意识：解对数不等式的关键是转化为常见的不等式，转化工具就是对数函数的单调性．A． B． C． D．【变式15-2】（24-25高一上·天津南开·阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式15-3】（2025·河北·模拟预测）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式15-4】（24-25高一上·河南周口·期末）已知函数且.(1)若的图象经过点，求不等式的解集；(2)若存在x，使得，求a的取值范围.题型16三种函数的性质及增长速度比较【典例16-1】(多选题)设，当时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论中，错误的是（

）A．的增长速度最快，的增长速度最慢B．的增长速度最快，的增长速度最慢C．的增长速度最快，的增长速度最慢D．的增长速度最快，的增长速度最慢常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型：线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．(2)指数函数模型：指数函数模型常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型：线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．(2)指数函数模型：指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．(3)对数函数模型：对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．(4)幂函数模型：幂函数y＝xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．A．B．C． D．由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数．【变式16-1】下列函数增长速度最快的是（

由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数．A． B．C． D．【变式16-2】四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是：①，②，③，④.如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是.（只要填序号）【典例16-3】4.函数和的图象如图所示．设两函数的图象交于点，且.请指出图中曲线分别对应的函数.

练基础1．（24-25高二下·江西·期末）若，则（

）A． B． C． D．2．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）已知，则（

）A． B． C． D．3．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）函数的单调递增区间为（

）A． B． C． D．