合肥工业大学数理统计试题

合肥工业大学数理统计试题

姓名：__________考号：__________题号一二三四五总分评分一、单选题(共10题)1.假设总体均值为μ，方差为σ^2，从总体中抽取一个样本，样本均值为x̄，样本方差为s^2，则x̄的分布为：()A.正态分布B.均匀分布C.卡方分布D.t分布2.在参数估计中，无偏估计量是指：()A.估计量的期望值等于被估计的参数B.估计量的方差最小C.估计量的样本值等于被估计的参数D.估计量的概率密度函数与被估计的参数相同3.假设总体X～N(μ,σ^2)，则总体方差σ^2的置信区间为：()A.(x̄-Zα/2*σ/√n,x̄+Zα/2*σ/√n)B.(x̄-Zα/2*σ,x̄+Zα/2*σ)C.(μ-Zα/2*σ/√n,μ+Zα/2*σ/√n)D.(μ-Zα/2*σ,μ+Zα/2*σ)4.假设总体X～N(μ,σ^2)，则总体均值μ的置信区间为：()A.(x̄-Zα/2*σ/√n,x̄+Zα/2*σ/√n)B.(x̄-Zα/2*σ,x̄+Zα/2*σ)C.(μ-Zα/2*σ/√n,μ+Zα/2*σ/√n)D.(μ-Zα/2*σ,μ+Zα/2*σ)5.假设两个总体X和Y的方差相等，且均服从正态分布，那么两个总体的均值差的置信区间为：()A.(x̄-ȳ-Zα/2*σ/√(n1+n2),x̄-ȳ+Zα/2*σ/√(n1+n2))B.(x̄-ȳ-Zα/2*σ/√(n1),x̄-ȳ+Zα/2*σ/√(n1))C.(x̄-ȳ-Zα/2*σ/√(n2),x̄-ȳ+Zα/2*σ/√(n2))D.(x̄-ȳ-Zα/2*σ/√(n1+n2),x̄-ȳ+Zα/2*σ/√(n1+n2))*√(n1+n2)6.假设总体X～N(μ,σ^2)，则样本均值x̄的抽样分布为：()A.正态分布B.均匀分布C.卡方分布D.t分布7.在假设检验中，第一类错误是指：()A.实际上拒绝了零假设，但根据检验统计量却接受了零假设B.实际上接受了零假设，但根据检验统计量却拒绝了零假设C.实际上拒绝了备择假设，但根据检验统计量却接受了备择假设D.实际上接受了备择假设，但根据检验统计量却拒绝了备择假设8.假设总体X～N(μ,σ^2)，则样本均值x̄的标准误差为：()A.σ/√nB.σ^2/√nC.√(σ^2/n)D.√(σ/n)9.假设总体X～N(μ,σ^2)，则样本方差s^2的抽样分布为：()A.正态分布B.均匀分布C.卡方分布D.t分布10.在假设检验中，第二类错误是指：()A.实际上拒绝了零假设，但根据检验统计量却接受了零假设B.实际上接受了零假设，但根据检验统计量却拒绝了零假设C.实际上拒绝了备择假设，但根据检验统计量却接受了备择假设D.实际上接受了备择假设，但根据检验统计量却拒绝了备择假设11.假设总体X～N(μ,σ^2)，则样本均值x̄的置信区间长度与以下哪个量成反比：()A.样本量nB.总体标准差σC.置信水平αD.样本均值x̄二、多选题(共5题)12.以下哪些是数理统计中常用的分布？()A.正态分布B.二项分布C.泊松分布D.卡方分布E.t分布13.在参数估计中，以下哪些是常用的估计量？()A.最大似然估计B.贝叶斯估计C.矩估计D.最小二乘估计E.拉格朗日乘数法14.以下哪些是假设检验中的类型I和类型II错误？()A.实际上拒绝了零假设，但根据检验统计量却接受了零假设B.实际上接受了零假设，但根据检验统计量却拒绝了零假设C.实际上拒绝了备择假设，但根据检验统计量却接受了备择假设D.实际上接受了备择假设，但根据检验统计量却拒绝了备择假设15.以下哪些是数理统计中常用的统计量？()A.样本均值B.样本方差C.样本标准差D.卡方统计量E.t统计量16.以下哪些是数理统计中常用的置信区间方法？()A.矩估计置信区间B.最大似然估计置信区间C.贝叶斯估计置信区间D.基于样本的置信区间E.基于参数的置信区间三、填空题(共5题)17.在正态分布中，如果已知均值μ和标准差σ，那么该分布的密度函数公式为：18.如果样本量n足够大，那么样本均值x̄的抽样分布将趋近于：19.在假设检验中，如果零假设H0为真，那么拒绝H0的概率称为：20.在参数估计中，无偏估计量是指估计量的期望值等于被估计的参数，用数学公式表示为：21.如果总体方差σ^2未知，但样本方差s^2与总体方差σ^2成比例，那么在假设检验中使用的统计量是：四、判断题(共5题)22.在数理统计中，样本量越大，样本均值x̄的分布越接近正态分布。()A.正确B.错误23.在假设检验中，犯第一类错误的概率被称为显著性水平α。()A.正确B.错误24.在参数估计中，无偏估计量一定比有偏估计量更准确。()A.正确B.错误25.在正态分布中，均值μ和标准差σ决定了分布的形状。()A.正确B.错误26.在卡方检验中，如果计算得到的卡方值小于临界值，则拒绝零假设。()A.正确B.错误五、简单题(共5题)27.请简述中心极限定理的内容及其在实际应用中的意义。28.解释什么是假设检验中的功效（power）？如何提高一个假设检验的功效？29.什么是最大似然估计？它与矩估计相比有哪些优缺点？30.简述置信区间的概念及其在数理统计中的应用。31.在卡方检验中，为什么需要使用自由度调整后的卡方值？

合肥工业大学数理统计试题一、单选题(共10题)1.【答案】D【解析】当总体服从正态分布时，样本均值x̄也服从正态分布，当样本量较大时，其分布接近正态分布。2.【答案】A【解析】无偏估计量是指估计量的期望值等于被估计的参数，即E(θ̂)=θ。3.【答案】C【解析】总体方差的置信区间是基于样本方差s^2和χ^2分布得到的。4.【答案】A【解析】总体均值的置信区间是基于样本均值x̄和正态分布得到的。5.【答案】A【解析】当两个总体方差相等时，均值差的置信区间使用合并标准误差。6.【答案】D【解析】当总体服从正态分布时，样本均值x̄的抽样分布近似为t分布，当样本量较大时，其分布接近正态分布。7.【答案】B【解析】第一类错误是指实际上接受了零假设，但根据检验统计量却错误地拒绝了零假设。8.【答案】A【解析】样本均值x̄的标准误差是σ/√n，其中σ是总体标准差，n是样本量。9.【答案】C【解析】样本方差s^2的抽样分布是卡方分布，其自由度为n-1，其中n是样本量。10.【答案】C【解析】第二类错误是指实际上拒绝了备择假设，但根据检验统计量却错误地接受了备择假设。11.【答案】A【解析】置信区间的长度与样本量n成反比，样本量越大，置信区间越短。二、多选题(共5题)12.【答案】ABCDE【解析】正态分布、二项分布、泊松分布、卡方分布和t分布都是数理统计中常用的概率分布，用于描述不同类型的随机变量。13.【答案】ACD【解析】最大似然估计、矩估计和最小二乘估计是参数估计中常用的方法。贝叶斯估计和拉格朗日乘数法虽然也是估计方法，但不如前三种常用。14.【答案】AB【解析】类型I错误是实际上接受了零假设，但根据检验统计量却错误地拒绝了零假设；类型II错误是实际上拒绝了备择假设，但根据检验统计量却错误地接受了备择假设。15.【答案】ABCDE【解析】样本均值、样本方差、样本标准差、卡方统计量和t统计量都是数理统计中常用的统计量，用于描述样本的特征和进行统计推断。16.【答案】BDE【解析】最大似然估计置信区间、贝叶斯估计置信区间和基于参数的置信区间是常用的置信区间方法。矩估计置信区间虽然也是一种方法，但不如其他三种常用。基于样本的置信区间是一个较为宽泛的概念，通常指的是基于样本统计量的置信区间。三、填空题(共5题)17.【答案】f(x)=(1/(σ√(2π)))*e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))【解析】正态分布的概率密度函数公式为f(x)=(1/(σ√(2π)))*e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))，其中μ是均值，σ是标准差。18.【答案】正态分布【解析】当样本量n足够大时，根据中心极限定理，样本均值x̄的抽样分布将趋近于正态分布，其均值为总体均值μ，标准差为σ/√n。19.【答案】第一类错误【解析】在假设检验中，如果零假设H0为真，拒绝H0的概率称为第一类错误，也称为α错误，它表示错误地拒绝了真实的零假设。20.【答案】E(θ̂)=θ【解析】无偏估计量的定义是估计量的期望值等于被估计的参数，用数学公式表示为E(θ̂)=θ，其中θ̂是估计量，θ是参数。21.【答案】t统计量【解析】当总体方差σ^2未知时，可以使用样本方差s^2来估计总体方差。在这种情况下，假设检验中使用的统计量是t统计量，它考虑了样本方差s^2与总体方差σ^2的比例关系。四、判断题(共5题)22.【答案】正确【解析】根据中心极限定理，当样本量足够大时，样本均值x̄的分布将趋近于正态分布，无论总体分布如何。23.【答案】正确【解析】在假设检验中，显著性水平α定义为拒绝零假设的错误概率，即犯第一类错误的概率。24.【答案】错误【解析】无偏估计量是指估计量的期望值等于被估计的参数，但它并不一定比有偏估计量更准确，有偏估计量可能更接近真实值。25.【答案】正确【解析】在正态分布中，均值μ决定了分布的中心位置，标准差σ决定了分布的离散程度和形状。26.【答案】错误【解析】在卡方检验中，如果计算得到的卡方值小于临界值，则接受零假设，没有足够的证据拒绝零假设。五、简答题(共5题)27.【答案】中心极限定理指出，当样本量足够大时，无论总体分布如何，样本均值的分布都将趋近于正态分布。这一定理在数理统计中具有重要意义，因为它允许我们使用正态分布的性质来推断总体参数，即使总体本身不是正态分布。【解析】中心极限定理是数理统计中的一个基本定理，它为我们提供了从样本数据推断总体特征的理论基础。在实际应用中，它使得我们可以使用正态分布的统计方法来处理非正态分布的数据，简化了统计推断过程。28.【答案】假设检验的功效是指在正确拒绝零假设的情况下，检验能够正确地识别出备择假设的概率。提高假设检验的功效可以通过以下几种方法：增加样本量、减小显著性水平α、减小总体参数与零假设的差距。【解析】功效是假设检验的一个重要性能指标，它反映了检验在正确识别备择假设时的能力。通过增加样本量、减小显著性水平或减小总体参数与零假设的差异，可以提高检验的功效，使得检验更可靠。29.【答案】最大似然估计是一种参数估计方法，它通过寻找使似然函数最大的参数值来估计总体参数。与矩估计相比，最大似然估计的优点是通常能得到更精确的估计值，但缺点是计算过程可能更复杂，且对异常值比较敏感。【解析】最大似然估计是一种常用的参数估计方法，其原理直观且在许多情况下都能给出较好的估计结果。然而，它的计算复杂度较高，且在数据中存在异常值时，可能会导致估计结果偏差较大。矩估计则相对简单，但可能不如最大似然估计精确。30.【答案】置信区间是数理统计中用来估计总体参数的一种区间估计方法，它提供了一种估计参数的可能范围。置信区间包括置信水平和置信区间的宽度，置信水平表示区间包含真实参数的概率，而置信区间的宽度则反映了估计的精度。【解析】置信区间是数理统计